(完整)高中文科数学解三角形部分讲练整理

高中文科数学解三角形部分整理正弦定理）知识与工具正弦定理：在△ABC中,

sinAsinBsinC变形：a:b:c=sinA:sinB:sinC在这个式子当中,已知两边和一角或已知两角和一边,可以求出其它所有的边和角。注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化,在变形中,注意三角形中其他条件的应用：（1）三内角和为180°两边之和大于第三边,两边之差小于第三边A+B.CA+B.C=sin—cos=sin-A+BCsin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,sin=cos〒,1abc⑶面积公式：s=absinC=忝=2R2sinAsinBsinC（二）题型使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1利用正弦定理公式原型解三角形例一、在△ABC中，若C=90o,a=6,B=30o，则c-b等于（）A.1B.—1C.2、：3D.—2*3【解析】C.—=tan3Oo,b=atan3Oo=2\/3,c=2b=4、：'4,c—b=2€3题型2利用正弦定理公式变形边角互化解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。例二、在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A.300或600b.450或600c.1200或600d.300或15001【解析】D.b=2asinB,sinB=2sinAsinB,sinA=—,A=300或1500题型3三角形解的个数的讨论方法一：画图看

题型3三角形解的个数的讨论方法一：画图看方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。例三、等腰三角形一腰上的高是y3，这条高与底边的夹角为600，则底边长为(D).-■3_A.2B.C.3D.2「32二余弦定理(一)知识与工具：a2二余弦定理(一)知识与工具：a2=b2+c2-2bccosAcosA=b2+c2一a22bca2+c2一b2b2=a2+c2-2accosBcosB=—2acc2c2=a2+b2-2abcosCa2+b2一c2cosC=—2ab注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。在变形中，注意三角形中其他条件的应用：三内角和为180°；两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。(3)面积公式：1abc(3)面积公式：1abcS=2absinC==2R2sinAsinBsinC(4)三角函数的恒等变形。(二)题型使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型题型1利用余弦定理公式的原型解三角形例一、在△ABC中，若a2二b2+bc+c2,则A二=一2,A=1200b2+c2=一2,A=1200解析】1200cosA解析】12002bc题型2利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。题型3判断三角形的形状结论：根据余弦定理，当a2+b2<c2、b2+c2<a2、c2+a2<b2中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当a2+b2>c2、b2+c2>a2,c2+a2>b2中有一种关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论。判断三角形形状的方法：(1)将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系从而判断三角形的形状。例一、在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC,则厶ABC的形状是什么？解：acosA+bcosB-ccosC,sinAcosA+sinBcosB-sinCcosCsin2A+sin2B=sin2C,2sin(A+B)cos(A一B)=2sinCcosCcos(A-B)=一cos(A+B),2cosAcosB=0兀兀cosA=0或cosB=0，得A=一或B=—所以△ABC是直角三角形。2)应用题两点间不可通又不可视两点间可视但不可达两点都不可达底部可达两点间不可通又不可视两点间可视但不可达两点都不可达底部可达底部不可达题型1计算高度题型题型1计算高度题型2计算距离题型3计算角度题型4测量方案的设计实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型再通过正弦定理和余弦定理进行求解。例一、三)其他常见结论2S1三角形内切圆的半径：r=—，a+b+ca+b一c特别地，r=斜直22三角学中的射影定理：在厶ABC中，b=a-cosC+c-cosA，…3两内角与其正弦值：

在厶ABC中，A<BosinA<sinB，…例一、在△ABC中，若a=7,b=3,c=8，则其面积等于（）A．12B．21CA．12B．21C.28d.6月【解析】DcosA=1,A二60o,S2VABC基础练习一、选择题TOC\o"1-5"\h\z若AABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）—A.sinAb.cosAC.tanAD.-tanA在△ABC中，角均为锐角，且cosA>sinB,则厶ABC的形状是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A.900B.—200C.—350D.—500在△ABC中，A:B:C=1:2:3，则a:b:c等于（）A.1:2:3B.3:2:1C.1：朽：2D.2^3:1在△ABC中，若A=2B，则a等于（）A.2bsinAB.2bcosAC.2bsinBD.2bcosB在△ABC中，若lgsinA-lgcosB-lgsinC=lg2，则△ABC的形状是（）A.直角三角形B.等边三角形C.不能确定D.等腰三角形7.在△ABC中，若（a+b+c）（b+c-a）=3bc,则A=（）AA．900B．600C．1350D．1500A-Ba-b8.在△ABC中，若tan=，则△ABC的形状是（）2a+bA.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形、填空题1．在^ABC中，若a2二b2+be+c2,则A二2．在^ABC中，若b=2,B-30o,C二135o,则a=3．4．在厶ABC中，若sinA:sinB:sinC=7:8:13，则C=若在△ABC中,山=6。0,b=1,鶴°=富则a:1B:sinC5．在厶ABC中，若a二9,b二10,e二12,则厶ABC的形状是.6．__6+.'2在厶ABC中，若a=<3,b=叮2,e=_于一则A=三、解答证明题1．在厶ABC中，A=1200,e>b,a=J21,S=叮3，求b,e。VABC2．3．ab在厶ABC中，若A+B=1200，则求证：+=1。b+ea+eCA3b在人ABC中，若acos2+ecos2=，则求证：a+e=2b2224．abcosBcosA在厶ABC中，求证：丁一一=e(-)baba【答案】选择题A0<A<n,sinA>0兀兀nnnCcosA=sin(—-A)>sinB,—-A,B都是锐角，则一一A>B,A+B<一，C>—222223.Bc52+82—721c设中间角为°，则cos0==—,°=6Oo,18Oo—6Oo=12Oo为所求2x5x824.CA=—,B=叟,C=殳,a:b:c=sinA:sinB:sinC=丄:三:—=1:\3:26322225.DsinA=sin2B-2sinBcosB,a=2bcosB6.Dlg一里咚二lg2,一里咚二2,sinA二2cosBsinCcosBsinCcosBsinCsin(B+C)=2cosBsinC,sinBcosC一cosBsinC=0,sin(B—C)二0,B二C，等腰三角形7.B(a+b+c)(b+c一a)=3bc,(b+c)2一a2=3bc,=3bc,cosA=b2+c2—a22bc=2,A=600A+BA—BA—Ba—bsinA—sinBcos—2—"口—2—8.Dtan===2a+bsinA+sinB2-A+BA一B2sincos22A—BA—Btan^^A—Bc~A+B、tan=,tan=0，或tan=12+A+B22tan2所以A=B或A+B=—填空题1.12OOcosA=b2+c2—a22bc2,A=1200A=150,bsinA=4sinA=4sin150=4xv'6—243.1200a:b:c=sinA:sinB:sinC=7:8:13,a2+b2—c21令a=7k,b=8k,c=13kcosC==—,C=12002ab2^.394-3S=bcsinA=丄cx"=J3,c=4,a2=13,a=x/13AABC222sinAsinBsinBa+b+csinA+sinB+sinCa_713_2>/39sinA翦35.锐角三角形C为最大角，cosC>0,C为锐角6.600cosA=b6.600cosA=b2+c2一a22bc8+4j3一32^2x四、解答证明题11.解：S=bcsinA=•、.<：3,be=4,AABC2a2=b2+c2-2bccosA,b+c=5，而c>b所以b=1,c=4aba+cosC1+cosA3sinB+cosC1+cosA3sinBAsinA-+sinC-=22即sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinBAsinA+sinC+sin(A+C)=3sinB即sinA+sinC=2sinB，.:a+c=2b2.证明：要证+=1，只要证=1,b+ca+cab+bc+ac+c2即