冀教版八年级数学上册第十二章分式和分式方程课件

第十二章分式和分式方程12.1分式（第1课时）第十二章分式和分式方程1某种商品,原来每盒售价为p元,现在每盒的售价降低了2元.用500元钱购买这种商品,现在比原来可多买多少盒?怎样用代数式表示现在比原来可多买多少盒?

问题思考某种商品,原来每盒售价为p元,现在每盒的售价降2学习新知1.一项工程,甲施工队5天可以完成.甲施工队每天完成的工程量是多少?3天完成的工程量又是多少?如果乙施工队a天可以完成这项工程,那么乙施工队每天完成的工程量是多少?b(b<a)天完成的工程量又是多少?2.已知甲、乙两地之间的路程为mkm.如果A车的速度为nkm/h,B车比A车每小时多行20km,那么从甲地到乙地,A车和B车所用的时间各为多少?活动一:感知分式学习新知1.一项工程,甲施工队5天可以完成.甲施工队每3问题:1.以上代数式中哪些是整式?哪些不是整式?2.不是整式的代数式有哪些共同特征?活动二:大家谈谈——总结分式定义类比分数剖析分式概念:形式:与分数一样,分式也是由分子、分母和分数线组成.内容:分数的分子、分母都是整数,分式的分子、分母都是整式.要求:分式的分母中必须含字母;分子中可以含字母,也可以不含字母.一般地,把形如的代数式叫做分式,其中,A,B都是整式,且B含有字母.A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.问题:1.以上代数式中哪些是整式?哪些不是整式?活动二:大家4活动三:例题讲解——深化对分式的认识例1指出下列各式中,哪些是整式,哪些是分式.思考：1.含有分母的式子就是分式吗？2.分式和整式相除有什么关系？解:

都是整式;因为

的分母中都含有字母,所以它们都是分式.活动三:例题讲解——深化对分式的认识例1指出下列各式中,5在什么情况下,下列各分式无意义?活动四:大家谈谈—分式的字母可以任意取值吗问题:1.分数在什么情况下无意义?2.分式中分母的字母可以任意取值吗?3.在什么情况下上面的三个分式无意义?(1)分式有意义,需要分母不为0,需要解一个带“≠”的不等式;反之,当分式无意义时,则分母为0.(2)分式的值为0,既要分子等于0,也要分母不为0.可以用方程和不等式组成条件组表示上述条件.在什么情况下,下列各分式无意义?活动四:大家谈谈—分式的字母6例2当x取什么值时,下列分式有意义?解:(1)要使有意义,必须使4x+1≠0，即.所以当时,有意义.(2)要使有意义,必须使1-|x|≠0,即x≠±1,所以当x≠±1时,

有意义.(3)要使有意义,必须使x+3≠0且x-2≠0,即x≠-3且x≠2.所以当x≠-3且x≠2时,有意义.例2当x取什么值时,下列分式有意义?解:(1)要使71.分式的形式与分数类似,但它们是有区别的,分数是整式,不是分式,分式是两个整式相除的商式,其根本区别如下表:

2.分式与分数是相互联系的,由于分式中的字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性;分数是分式中字母取特殊值后的特殊情况.3.注意分母含π的代数式容易判断错误,如:不是分式,因为π不是字母,而是常数.4.注意分式的值为0时,容易忽略分母不为0的条件.对于分式的定义和成立的条件要注意以下几点:分式分数整式区别分母中含有字母分子、分母中都不含有字母分母中不含有字母[知识拓展]1.分式的形式与分数类似,但它们是有区别的,分数是整式,不是8活动五:分式的基本性质1.请看下面的问题:归纳：分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.(M是不等于0的整式).用式子表示为:【注意】

因为0不能作除数,所以分式的分子、分母同乘(或除以)的这个整式不能等于0.活动五:分式的基本性质1.请看下面的问题:归纳：分式的分子和9知识要点关键总结注意事项分式的概念一般地,把形如

的代数式叫做分式,其中A,B是整式,且B中含有字母,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.分母含π的代数式容易判断错误.分式有意义或无意义或分式值为0的条件(1)分式有意义:分母不为0;(2)分式无意义:分母为0;(3)分式值为0:分子为0且分母不为0.判断分式的值为0时,容易忽略分母不为0的条件.分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.课堂小结知识要点关键总结注意事项分式的一般地,把形如的代数式叫10规律方法总结1.判断分式的依据是看分母中是否含有字母,分母中含有字母的代数式是分式.2.(1)分式的基本性质的作用:分式进行变形的依据.(2)在运用分式基本性质时,必须注意乘或除以的是同一个整式,且不为0.(3)分式基本性质的研究方法:从分数→分式;从特殊→一般.规律方法总结1.判断分式的依据是看分母中是否含有字母,分母中11检测反馈1.如果分式

有意义,那么x的取值范围是(

)A.任意数

B.x=1C.x≠1

D.x=0C解析:分式有意义,分母x-1≠0,据此可以求得x的取值范围是x≠1.故选C.检测反馈1.如果分式有意义,那么x的取值范围122.若将分式(a,b均为正数)中的字母a,b的值分别扩大为原来的2倍,则分式的值 (

)A.扩大为原来的2倍B.缩小为原来的C.不改变D.缩小为原来的B解析:分式中的字母分别扩大为原来的2倍,分式的分子扩大为原来的2倍,分式的分母扩大为原来的4倍,所以分式的值缩小为原来的.故选B.2.若将分式(a,b均为正数)中的字母133.下列代数式是分式的有

.(填序号)

②③④⑤①②③④⑤⑥⑦【解析】判断一个代数式是否是分式，看分母中是否含有字母，若分母含有字母是分式；若分母不含有字母则不是分式．,,,中分母含有字母是分式，和是整式，不是分式，因为π不是字母，而是常数．3.下列代数式是分式的有.(填序号)

②③④144.已知分式,当x=

时,分式无意义.-3【解析】根据分式无意义，分母等于0列式计算即可得解．根据题意，得x+3=0，

解得x=-3，故答案为-3．4.已知分式,当x=15分母加上c，只有当c=0时成立，其余条件下不一定成立，因此（2）错误；当c=0时，【解析】此类题主要考查分式的基本性质．对于,条件中隐含a≠0，分子、分母同时乘a，可得不成立，因此（3）错误.在中，隐含c≠0，分子、分母同时除以c，式子成立，因此（4）正确．5.判断下列从左到右的变形是否正确.(1)(2)(3)(4)（√）（×）（×）（√）成立，因此（1）正确；在分子、分母加上c，只有当c=0时成立，其余条件下不一定成立，因此（16【解析】分式没有意义时，分母为0；分式的值为0时，分子为0、分母不为0.6．已知分式，当x=-3时，该分式没有意义；当x=-4时，该分式的值为0，求（m+n）2016的值．解：根据分式没有意义的条件，x+m=0则x=-m，当x=-3时，m=3，再根据分式的值为0的条件，可求得n的值为-4，代入求出（m+n）2016，则（m+n）2016=（3-4）2016=1．【解析】分式没有意义时，分母为0；分式的值为0时，分子为0、177．不改变分式的值，使式子的分子与分母的系数化为整数．解：【解析】利用分式的基本性质，分子与分母同时乘6即可．(答案不唯一)7．不改变分式的值，使式子1812.1分式（第2课时）12.1分式（第2课时）19下面的等式中右式是怎样从左式得到的?这种变换的理论根据是什么?问题思考解:(1)式中的左边,分式的分子与分母都除以2a2b2,得到右式,这里a≠0,b≠0.

(2)式中的左边,分式的分子与分母都除以(x+y),得到右式,这里(x+y)≠0.这种变换的根据是分式的基本性质:分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.化简:.并说出这是什么运算?运算的依据是什么?这种运算是分数的约分,运算的依据是分数的基本性质.下面的等式中右式是怎样从左式得到的?这种变换的理论根据是什么20学习新知活动一:分式的约分和最简分式1.分式的约分想一想：分式

能不能化简？若能,化简的依据是什么,化简的结果又是什么？学习新知活动一:分式的约分和最简分式21归纳:(1)分式约分的依据是根据分式的基本性质.(2)约分:依据分式的基本性质,把分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.约分的步骤:①先找分子与分母中的公因式.②分子与分母同时除以公因式.思考:若分子、分母都是单项式时,如何找公因式?当分子、分母都是多项式时,又如何找公因式?公因式的确定方法:①当分子与分母都是单项式时,所分离出的公因式的系数应是分子系数与分母系数的最大公约数,字母因式是分子、分母相同字母的最低次幂的乘积.②当分子与分母都是多项式时,应先分别进行因式分解,再找出它们的公因式.归纳:(1)分式约分的依据是根据分式的基本性质.约分的步骤:22如果几个分式约分后,分别得到了

这几个分式有什么特点?还能继续约分吗?1.找出下列分式中分子与分母的公因式这几个分式的分子与分母,除1以外没有其他的公因式,不能继续约分了,这样的分式叫最简分式.即分子和分母(除1以外)没有公因式的分式叫做最简分式.如果几个分式约分后,分别得到了23在化简分式时,小颖和小明的做法出现了分歧:小颖:小明:你对他们俩的解法有何看法?说说看!在化简分式时,小颖和小明的做法出现24我们观察:这一过程由左到右是怎样变形的?根据的是什么?(小组讨论回答)我们把以上两式由右到左的变形过程叫分式的约分.(1)中的3b与(2)中的(a+b)分别是分子与分母的公因式.利用分式的基本性质,把分式中分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.我们观察:25是最简分式.这种说法对吗?为什么?[知识拓展]分式的化简,就是把复杂的分式化为整式或最简分式,分式的约分是根据分式的基本性质,约去分子、分母中的公因式,最终变为整式或最简分式.解:不正确.因为分式的分子和分母还能约分,即分子与分母中含有公因式a,所以不是最简分式.是最简分式.这种说法对吗?为什么?[知识拓展]分式的化简,26活动二:例题讲解例题约分:解：活动二:例题讲解例题约分:解：27(1)如果分式的分子、分母都是单项式,那么直接约去分子与分母的公因式;(2)如果分式的分子、分母是多项式,那么能因式分解的先因式分解,由此找出公因式,再进行约分.(3)约分后,分子与分母(除1外)不能再有公因式.方法归纳：(1)如果分式的分子、分母都是单项式,那么直接约去分子与分母28【拓展延伸】约分，为了把上述分式约分,应该先确定分式的分子与分母的公因式,那么分式的分子与分母的公因式是什么?解：做一做【拓展延伸】约分291.约分:(1)分式约分的结果一定要化成最简.(2)如果分式的分子或分母是多项式,可先考虑把它分解因式,得到因式乘积形式,再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式,此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.2.最简分式:判断一个分式是不是最简分式,关键是确定其分子和分母(除1以外)是否有公因式.3.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式或整式.分式约分时要注意正确运用乘方的符号法则,如x-y=-(y-x),(x-y)2=(y-x)2,(x-y)3=-(y-x)3.课堂小结1.约分:(1)分式约分的结果一定要化成最简.课堂小结30检测反馈1.化简的结果是()

A.

B.C. D.

A

【解析】故选A．检测反馈1.化简的结果31【解析】A.，故A选项错误；B.,故B选项错误；C.，故C选项正确；

，故D选项错误．故选C．2.下列约分正确的是(

)A.B.C.D.CD.【解析】A.，故A选项错误；B.323.下列分式是最简分式的是(

)A. B.C. D.A【解析】A.不能约分，是最简分式，,C.，D..故选A．B.3.下列分式是最简分式的是()A【解析】A.不能约分，334.下列各式中,正确的是(

)A【解析】A.,故此选项正确；，故此选项错误；,故此选项错误；,故此选项错误；故选A．B.C.D.4.下列各式中,正确的是()A【解析】A.,故此选项正34【解析】（1）根据分式的基本性质，分子分母同时除以;（2）约去分母、分子中的公因式（a+b）即可；（3）先把分子中的（a﹣x)2转变成（x﹣a）2，再分子、分母约分即可；（4）根据平方差公式进行因式分解，再约分即可.5.将下列分式约分.【解析】（1）根据分式的基本性质，分子分母同时除以35解：解：366.在给出的三个多项式:x2+4xy+4y2,x2-4y2,x2+2xy中,请你任选出两个分别作为分子和分母组成分式,并进行化简运算.解：(答案不唯一)选x2+4xy+4y2作分子，x2-4y2作分母，则：【解析】任意选择出两个多项式，一个作为分子，另一个作为分母，再进行因式分解，约分即可．6.在给出的三个多项式:x2+4xy+4y2,x2-4y237第十二章分式和分式方程12.2分式的乘除（第1课时）第十二章分式和分式方程38观察下列算式:猜一猜:=?与同伴交流.分数乘法法则:两个分数相乘,分母与分母相乘的积作为积的分母,分子与分子相乘的积作为积的分子。观察下列算式:猜一猜:=?与39

受节约能源宣传的影响,一向满不在乎的小刚也开始节约用水了,他想知道自己过去到底用了多少水,于是他通过调查资料得出一个信息:他平均每天的用水量是千克,而他自己的有效利用率为,他想了半天也没有弄明白每天实际有效利用多少水.你能告诉他吗?列式为:,提出问题:(1)这个式子是分式的哪种运算?(2)又应该怎样计算呢?受节约能源宣传的影响,一向满不在乎的小刚也开始节约用水了,40活动一:分式的乘法法则分式与分式相乘,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.字母表述:学习新知活动一:分式的乘法法则分式与分式相乘,用分子的积作为积的分子41活动二1.分式的分子和分母是单项式的乘法解：例1

计算下列各式活动二1.分式的分子和分母是单项式的乘法解：例1计算下列各422.分子和分母是多项式的分式乘法解：例2：计算下列各式：2.分子和分母是多项式的分式乘法解：例2：计算下列各式：433.做一做：计算下列各式：解：3.做一做：计算下列各式：解：44【知识拓展】（1）分式乘法运算结果如果不是最简分式，要进行约分。（2）根据分式乘法法则有：①分式与分式相乘时，如果分子与分母是多项式，那么应先分解因式，再看能否约分，再与分式相乘。②整式与分式相乘时，可以直接把整式看成分母是1的代数式，再与分式相乘。③分式的乘法实质就是约分，所以计算结果如能约分，必须约分，或通过分解因式后能约分的也要约分，必须把结果化为最简分式或整。【知识拓展】452.注意事项:(1)在运算过程中,当分子、分母都是单项式时,可直接约分再计算;当分子、分母是多项式时,能分解因式的要先分解因式,再约分、计算.(2)运算结果一定要化成最简分式或整式.1.分式的乘法法则：字母表述:课堂小结分式与分式相乘,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.2.注意事项:1.分式的乘法法则：字母表述:课堂小结分式与分462.计算

的结果为（

）检测反馈A．a B．a5

C．a6

D．a41.计算的结果是（

）A【解析】原式=，故选A．A【解析】原式=.故选A.2.计算的结果为（）检测反馈A．a 47【解析】原式分子分母分别立方，计算即可得到结果．原式=.故选C.3.化简

的结果是（

）4.计算的结果是（）CB

【解析】原式=.故选B.【解析】原式分子分母分别立方，计算即可得到结果．.故选C.3485.计算

的结果是（）A．﹣m﹣1

B．﹣m+1

C．﹣mn+mD．﹣mn﹣mB6.计算的结果为（）

A【解析】原式=．故选B．【解析】原式=．故选A．5.计算497.计算，其结果为（）D【解析】原式=

故选D.8.化简：解:原式7.计算，其结果为（）D【解析】原式=故选D.8.化509.计算：解：原式【解析】原式先计算乘方运算，再计算乘法运算即可得到结果．9.计算：解：原式【解析】原式先计算乘方运算，再计算乘法运算5110.计算：（1）原式（2）原式解：【解析】（1）首先利用乘方运算化简，进而利用分式乘法运算法则得出即可；（2）直接利用分式乘法运算法则得出即可．10.计算：（1）原式（2）原式解：【解析】（1）首先利用乘5212.2分式的乘除（第2课时）12.2分式的乘除（第2课时）53进一步得出大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍.

大拖拉机m天耕地a平方千米,小拖拉机n天耕地b平方千米,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?从上面的问题可知,实际问题中有时需要运用分式的除法.大拖拉机的工作效率是平方千米∕天,小拖拉机的工作效率是平方千米∕天,问题思考进一步得出大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的54学习新知活动一：观察与思考——探究分式的除法法则观察下列运算：猜一猜：分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．[知识拓展]

根据法则我们知道,分式的除法需转化为乘法,转化的过程实际上是“一变一倒”的过程,即除号变乘号,除式的分子和分母颠倒位置.学习新知活动一：观察与思考——探究分式的除法法则观察下列运算55活动二:例题讲解——应用新知 例1计算下列各式:解：

活动二:例题讲解——应用新知 例1计算下列各式:解：56例2八年级(1)班的同学在体育课上进行长跑训练,小芳跑完1000m用了ts,小华用相同的时间跑完了800m.这次训练,小芳的平均速度是小华的平均速度的多少倍?答:这次训练,小芳的平均速度是小华的平均速度的1.25倍.解:小芳的平均速度为m/s,小华的平均速度为m/s,例2八年级(1)班的同学在体育课上进行长跑训练,小芳跑完57例3如图所示,“丰收1号”小麦的试验田是边长为a

m(a>1)的正方形去掉一个边长为1

m的正方形蓄水池后余下的部,“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形,两块试验田的小麦都收获了500

kg.(1)哪种小麦的单位面积产量高?(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?(a-1)mam1m例3如图所示,“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a58解:(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2-1)m2,单位面积产量是kg,“丰收2号”小麦的试验田面积是(a-1)2m2,单位面积产量是kg.故“丰收2号”小麦的单位面积产量高．∵a＞1，∴(a－1)2＞0，a2－1＞0.由图可得(a－1)2＜a2－1．∴解:(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2-1)m2,故59所以“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍.（2）所以“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面601.分式的除法法则:语言叙述:分式除以分式,把除式的分子与分母颠倒位置后,与被除式相乘.字母表示:课堂小结2.注意事项:(1)运用法则时,注意符号的变化;(2)因式分解在分式除法中的应用;(3)步骤要完整,结果要化最简.最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式,也可以写成一个多项式的形式.1.分式的除法法则:课堂小结2.注意事项:611.化简的结果是（）

A．

B．

C．

D.

B2.计算的结果是（）

D．A．aB．a2C．D检测反馈【解析】原式=．故选B．【解析】原式=．故选D．1.化简的结果是（）A．B．C．D. B2.623.计算的结果为（

）

B．C．

D．A．D

【解析】原式=．故选D．4.化简的结果是（）

C．m﹣1 A．mB．D．【解析】原式=．故选A．A3.计算的结果为（） B．C． D．A．D【解析】635.化简的结果是（）

B．

C．

D．A．A【解析】原式=．故选A．6.计算的结果是（）

B．

C．

D．A．C【解析】原式=故选C.5.化简的结果是（） B． C． D．A．A【解析】原式648.计算解：【解析】将分式的除法转化为分式的乘法，然后按照分式的乘法法则进行计算。8.计算解：【解析】将分式的除法转化为分式的乘法，然后按照分659.由甲地到乙地的一条铁路全程为vkm，火车全程运行时间为ah；由甲地到乙地的公路全程为这条铁路全程的m倍，汽车全程运行时间为bh．那么火车的速度是汽车速度的多少倍？解：火车速度为km/h，汽车速度为km/h,则即火车的速度是汽车速度的倍.【解析】根据路程除以时间等于速度分别表示出火车与汽车的速度，即可得出所求．9.由甲地到乙地的一条铁路全程为vkm，火车全程运行时间为66第十二章分式和分式方程12.3分式的加减（第1课时）第十二章分式和分式方程67大约公元250年前后,希腊数学家丢番图研究一个数学问题:如何把42写成两个数的平方和的形式,即,演算过程中出现了由于,于是他求得了一组解:这个问题还有其他的解吗?,用到了什么法则呢?你能计算吗?导入新课大约公元250年前后,希腊数学家丢番图研究一个数学问题:如何68计算学习新知一起探究——同分母分式加减法活动一:计算学习新知一起探究——同分母分式加减法活动一:69类比同分母分数的加减运算法则，完成下面同分母分式的加减运算。

;

;同分母的两个分式相加（减），分母不变，把分子相加（减）．

;

;用式子表示为：类比同分母分数的加减运算法则，完成下面同分母分式的加减运算。70例1计算下列各式：解：例1计算下列各式：解：71活动二:异分母分式相加减1.观察与思考——法则的探究(1)异分母两个分数相加减,是将其化为同分母分数的加减法来进行的.如:(2)类比异分母分数的加减,异分母分式的加减应当怎样进行呢?(3)试计算:活动二:异分母分式相加减1.观察与思考——法则的探究(1)异72同分母分式相加减结果为转化为异分母分式相加减==分母不变，分子相加减像这样,把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式,叫做分式的通分,这个相同的分母叫做这几个分式的公分母.几个分式的公分母不止一个,通分时一般选取最简公分母.同分母分式相加减结果为转化为异分母分式==分母不变，像这样,73确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数作为公分母的系数；（2）取各分母中相同因数的最高次幂作为公分母的因式；（3）各分母中出现的因式都必须出现在公分母中。如ac,mac(m为非0整式)都是分式的公分母，但ac是最简公分母。【知识拓展】确定最简公分母的方法：【知识拓展】74语言表述:异分母的两个分式相加(减),先通分,化为同分母的分式,再相加(减).异分母的分式加减法法则字母表示为:语言表述:异分母的两个分式相加(减),异分母的分式加减法法则75解：例2计算下列各式：解：例2计算下列各式：761.同分母的分式相加减,分母不变,只需要分子作加减运算,但注意每个分子是个整体,要适时添上括号.2.异分母分式的加减运算,首先观察每个分式是否为最简分式,能约分的先约分,使分式简化,然后再通分.通分时,先确定分式的最简公分母,再确定各分母所要乘的因式,然后根据分式的基本性质把异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式.课堂小结1.同分母的分式相加减,分母不变,只需要分子作加减运算,但注77确定最简公分母的方法:①如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积,注意所有的不同字母都要写在积里;②如果各分母都是多项式,就要先把它们分解因式,然后把每个因式当成一个因式(或一个字母),再按照单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式和不同因式三个方面去找.3.对于整式与分式之间的加减运算,则把整式看成一个整体,即看成分母为1的代数式,以便通分.4.作为最后结果,如果是分式则应该是最简分式.确定最简公分母的方法:①如果各分母都是单项式,那么最简公分母781.化简的结果是（）

C．x﹣1

D．A．x+1B．A检测反馈【解析】原式=.故选A.2.化简的结果是（）

D．A．m+3B．m﹣3 C．A【解析】原式=．故选A．1.化简的结果是（） C．x﹣1 D．A．x+1B．A793．下列运算正确的是（

）A．（2a2）3=6a6 B．﹣a2b2•3ab3=﹣3a2b5=﹣1 D．C．【解析】A.原式=8a6，错误；，正确；，错误.B.原式=﹣3a3b5，错误；C.原式=D.原式=C3．下列运算正确的是（）A．（2a2）3=6a6 804.

化简的结果是（）A． B． C． D．【解析】原式=故选A．A4.化简的结果是（）A． B． C． D．【81A． B． C． D．【解析】原式=5.化简的结果为()CA． B． C． D．【解析】原式=5.化简的结果为(826．分式的计算结果是（）【解析】原式=.故选D.B．C.D．A.D7．计算：=_______．===【解析】原式=6．分式的计算结果是（）【解析】原式=.故选D.B．C.83解答过程解答步骤说明解题依据（用文字或符号填写知识的名称和具体内容，每空一个）此处不填此处不填示例：通分示例：分式的基本性质：分式的分子和分母都乘同一个不等于零的整式，分式的值不变（或者“同分母分式相加减法则”：

）去括号①

合并同类项此处不填②=

③④8．按要求化简：括号前面是“+”,去括号后括号内各项的符号不变;括号前面是“-”,去括号时,括号内各项的符号都要改变约分分式的基本性质:分式分子、分母同时除以公因式,分式的值不变解答过程解答步骤说明解题依据（用文字或符号填写知识的名称和具849.计算.解析:(1)根据同分母分式减法法则计算即可.(2)首先通分,把异分母分式的减法转化为同分母分式的减法,然后根据同分母分式减法法则进行计算即可.解：9.计算.解析:(1)根据同分母分式减法法则计算即可.(2)8510.已知：两个分式A=，B=，其中x≠±1，下面三个结论：①A=B；②A、B互为倒数；③A、B互为相反数，请问这三个结论中哪一个结论正确？为什么？【解析】先对A式通分、B式分解因式，再比较A、B的关系.解：∴A≠B；∵A×B=≠1，∴A、B不互为倒数；∵A+B==0，∴A、B互为相反数．10.已知：两个分式A=8612.3分式的加减（第2课时）12.3分式的加减（第2课时）87导入新课有一财主死后,几个儿子高兴地打开父亲留下的藏宝地图看到上面有一段文字记录:计算

的值,就是我留给你们的全部宝物.老大拿出纸笔一算,一气之下将藏宝图一把扔了,老二连忙捡起,经过仔细思考后干脆一把火烧掉了它.财主忘记了写的值,他的儿子是怎么计算出宝物的情况的呢?财主到底留下了多少宝物呢?通过本节课的学习之后,你就会明白其中的道理.导入新课有一财主死后,几个儿子高兴地打开父亲留下的藏宝地图看88例1计算下列各式:学习新知复习异分母分式的加减法活动一:（1）（2）解：（1）（2）例1计算下列各式:学习新知复习异分母分式的加减法活89活动二:分式的混合运算解：试着做做计算活动二:分式的混合运算解：试着做做计算90例2计算：解：例2计算：解：91解：原式化简得：做一做：当时，求的值。代入得解：原式化简得：做一做：当时，求的值。代入得92例

计算：方法一：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结果．方法二：将除法变为乘法，运用乘法分配律计算．解：原式=解：原式=例计算：方法一：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法93例4计算解：例4计算解：94例5计算解：例5计算解：95

进行分式的加、减、乘、除混合运算要注意以下几点:(1)数的运算顺序及运算规律对分式运算同样适用.(2)分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理,结果中分子或分母的系数是负数时,要把“-”号提到分式本身的前边.(3)注意括号的“添”或“去”.(4)分式运算与数的运算一样,结果必须达到最简,能约分的要约分,保证结果是最简分式或整式.[知识拓展]进行分式的加、减、乘、除混合运算要注意以下几点:[知识拓展96分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：（1）先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；（2）分式运算的最后结果分子、分母要进行约分，最后的结果化成最简分式或整式，恰当地使用运算律会使运算简便．课堂小结分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：97检测反馈A．a﹣2

B．a+2

C．D．【解析】原式=.故选B．1.化简的结果等于（）B2.下列等式成立的是（）A．B．C．D．【解析】A.原式=

，错误；B.原式不能约分，错误；

，正确；D.原式=

，错误，C.原式=故选C.C检测反馈A．a﹣2 B．a+2 C．D．【解析】原式=.故选983.化简的结果为（） C． D．1﹣aA．1+a B．【解析】原式=故选A．A3.化简的结果为（） C． D．1﹣aA．1+a B．【994.下列各式的运算结果中，正确的是（

）C．

D．

B．A．【解析】A.，故此选项错误；，故此选项正确；，故此选项错误；，故此选项错误；故选B．B.C.D.B4.下列各式的运算结果中，正确的是（）C． D． B．1005.计算的结果为（）A． B． C． D．【解析】原式=.故选A．AA．2m2+2m B．0

C．﹣m2﹣2m D．m2+2m+26.计算的结果是（）故选D.【解析】原式=D5.计算的结果为（）A． B． C． D．【解析】原式=1017.化简的结果是（）A．x﹣4

B．x+1C．x D．以上答案都不是【解析】原式=A8.化简的结果为______．【解析】先确定分式的运算顺序：先算小括号内的，再将除法运算转化为乘法运算，在计算时要把分子或分母中的多项式进行因式分解，最后约分化简即可.原式=.x-17.化简的结果是（）A．x﹣4B．x+11029.先化简，再求值：其中，a满足a－2=0．解析:对括号里面的式子进行通分的同时,利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解,再根据运算顺序进行化简,最后代入求值.解：由a－2=0，得a=2，所以原式=3．原式=9.先化简，再求值：其中，a满足a－2=0．解析:对括号里面103解：甲单独完成任务的时间是m小时，甲乙两人合作完成任务的时间是小时，则提前完成任务的时间是比甲单独完成任务提前

小时．（小时），则甲、乙两人同时工作，10.有两个工人甲和乙,他们每小时分别制作零件a个,b个,现要赶制一批零件,若甲单独完成任务需要m小时,如果甲、乙两人同时工作,那么比甲单独完成任务提前多长时间?解析:由甲单独完成任务的时间是m小时,可表示出两人合作完成任务的时间,即可确定出甲、乙两人同时工作比甲单独完成任务提前的时间.解：甲单独完成任务的时间是m小时，甲乙两人合作完成任务的时间104第十二章分式和分式方程12.4分式方程第十二章分式和分式方程105小红家到学校的路程为38km.小红从家去学校总是先乘公共汽车,下车后再步行2km,才能到学校,路途所用时间是1h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍,求小红步行的速度.(1)上述问题中有哪些等量关系?(2)根据你所发现的等量关系,设未知数并列出方程.(3)如果设小红步行的时间为xh,又应该怎么列方程?问题思考小红家到学校的路程为38km.小红从家去学校总是先乘公共汽106学习新知探究一:分式方程及其解法

一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?1.分式方程解：设江水的流速为v千米/时,则轮船顺流航行的速度为(30+v)千米/时,逆流航行的速度为(30-v)千米/时,顺流航行90千米所用的时间为小时,逆流航行60千米所用的时间为小时.可列方程学习新知探究一:分式方程及其解法一艘轮船在静水中的最107方程与以前所学的整式方程有何不同？【知识拓展】（1）理解分式方程要明确两点：①是方程；②分母中含有未知数（也可以看作方程中含有分式）.（2）整式方程和分式方程统称为有理方程.分母中含有未知数的方程叫做分式方程．方程与以前所学的整式方程有何不同？【知识拓展】分母中含有未知108例1如何解分式方程和呢？2．分式方程的解法解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边乘最简公分母,这是解分式方程的一般方法.例1如何解分式方程和呢？2．分式方程的解法解分式方程的基本109判断下列各式哪个是分式方程．根据定义可得：（1）（2）是整式方程，（3）是分式，（4）（5）是分式方程．判断下列各式哪个是分式方程．根据定义可得：（1）（2）是整式110例2解方程解:两边同乘最简公分母2(x+5)得:2(x+1)=5+x,2x+2=5+x,

x=3.检验:把x=3代入原方程左边=,右边=,左边=右边.所以x=3是原分式方程的解.例2解方程解:两边同乘最简公分母2(x+5)得:检验:把111解:方程的两边同乘(30+v)(30-v),得90(30-v)=60(30+v),解得v=6.如何解课件3中所列出的分式方程?检验:将v=6代入分式方程中左边=,右边=,左边=右边,因此v=6是原分式方程的解.解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般方法.解:方程的两边同乘(30+v)(30-v),如何解课件3112特点说明举例整式方程方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数有“元”和“次”的说法

分式方程方程里分母中含有未知数

是一元一次方程；【拓展延伸】分式方程与整式方程的定义区分:是二元一次方程特点说明举例整式方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常113探究二:分式方程的增根解:方程两边同乘x-1,得x+1=-(x-3)+(x-1),解这个整式方程,得x=1.解分式方程

在解分式方程时,通过去分母将分式方程转化为整式方程,并解这个整式方程,再将整式方程的根代入分式方程(或公分母)中检验.

当分母的值不等于0时,这个整式方程的根就是分式方程的根;当公分母的值为0时,分式方程无解,我们把这样的根叫做分式方程的增根.探究二:分式方程的增根解:方程两边同乘x-1,得x+1=-(114例3解方程：方程两边同乘x+2,得2-(2-x)=3(x+2),解这个整式方程，得x=-3,经检验x=-3是分式方程的根。解：例3解方程：方程两边同乘x+2,得2-(2-x)=3(x115(1)检验的方法有两种:①把未知数的值代入所乘最简公分母中,最简公分母为0是增根,舍去.最简公分母不为0的未知数的值就是原分式方程的解.②把未知数的值代入原方程,若左右两边的值相等,则这个未知数的值就是原方程的根;若某个分式的分母为0,则这个未知数的值就是增根,舍去.知识拓展

(1)检验的方法有两种:知识拓展116(2)解分式方程时,必须注意以下几点:①若分式方程中的分母是多项式,应先对各分母因式分解,再寻求最简公分母;②将一个分式方程的两边同时乘最简公分母时,每一个式子都应乘到,不要漏乘,特别是不要漏乘没有分母的项;③解含字母系数的分式方程时,字母系数应视为具体数处理;④解分式方程时,检验这一步必不可少,它是解分式方程的一个重要步骤.(2)解分式方程时,必须注意以下几点:117解分式方程的一般步骤:1.在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化为整式方程.2.解这个整式方程.3.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零;使最简公分母为零的根不是原方程的根,必须舍去.课堂小结解分式方程的一般步骤:课堂小结118检测反馈1.下列方程：①；②；③；④，属于分式方程的有（）A．①② B．②③

C．③④

D．②④解析:①是整式方程;②是分式方程;是分式方程;④是整式方程.所以属于分式方程的是②③.故选B.B检测反馈1.下列方程：①1192.分式方程的解是(

)A.x=1

B.x=-1C.x=2 D.无解解析:在方程的两边同乘最简公分母变为整式方程为x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,解得x=1,检验:当x=1时,(x-1)(x+2)=0,所以原分式方程无解.故选D.解析:去分母得4x-12=3x-6,解得x=6,经检验x=6是分式方程的解.故填6.3.方程的解是x=

.6D2.分式方程1204.若代数式和的值相等,则x=

.7解析:根据题意,得,方程两边都乘最简公分母

,得.解得.经检验,

是原方程的解.故填7.4.若代数式和121解:(1)去分母,得3x+6-2x=0,解得x=-6.经检验,x=-6是原方程的解.5.解方程：(1);(2).(2)方程两边都乘最简公分母x(x-2),得5x=3(x-2).解这个一元一次方程,得x=-3.检验:把x=-3分别代入原方程的左边和右边,得左边=，右边=,左边=右边,因此,x=-3是原分式方程的解.解:(1)去分母,得3x+6-2x=0,解得x=-6.经检验122解析:增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的公分母为0的根.有增根,那么最简公分母3(x-2)=0,所以增根是x=2,把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值.6.当m为何值时,去分母解方程会产生增根?解:方程两边都乘3(x-2)，得4x+1=3x-6+3(5x-m)，即3m=14x-7.分式方程若有增根,则公分母必为零，即x=2,把x=2代入整式方程3m=14x-7有:3m=14×2-7，解得m=7,所以当m=7时，去分母解方程会产生增根.解析:增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的公分母为123第十二章分式和分式方程12.5分式方程的应用（第1课时）第十二章分式和分式方程124(1)行程问题:路程=速度×时间,而行程问题中又分相遇问题、追及问题.(2)数字问题:在数字问题中要掌握十进制数的表示法.(3)工程问题:工作量=工时×工效.(4)顺水逆水问题:v顺水=v静水+v水;v逆水=v静水-v水.(5)利润问题:售价-进价=利润率×进价.有一些实际问题,我们是否可以通过列分式方程解决?知识回顾(1)行程问题:路程=速度×时间,而行程问题中又分相遇1251.解下列方程：（1）（2）解：2．列方程应用题的步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．1.解下列方程：（1）（2）解：2．列方程应用题的步骤是什126活动一:一起探究小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机,所用时间相同.已知两人每分钟录入计算机字数的和是220字.两人每分钟各录入多少字?学生分小组探究:(1)请找出上述问题中的等量关系;(2)试列出方程,并求方程的解;(3)写出问题的答案,将结果与同学交流.学习新知活动一:一起探究小红和小丽分别将9000字和7500127(1)小红录入9000字所用时间=小丽录入7500字所用时间.小红每分钟录入的字数+小丽每分钟录入的字数=220.(2)设小红每分钟录入x字,则小丽每分钟录入(220-x)字.根据题意,得,解得x=120.经检验,x=120是原方程的根.220-x=100.(3)小红每分钟录入120字,小丽每分钟录入100字.(1)小红录入9000字所用时间=小丽录入7500字所用时间128活动二：例题讲解某工程队承建一所希望学校.在施工过程中,由于改进了工作方法,工作效率提高了20%,因此比原定工期提前1个月完工.这个工程队原计划用几个月的时间建成这所希望学校?解:设工程队原计划用x个月的时间建成这所希望学校,根据题意,得:解得x=6.经检验,x=6是原分式方程的根.答:这个工程队原计划用6个月的时间建成这所希望学校.活动二：例题讲解某工程队承建一所希望学校.在施工过129例2两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成,哪个队的施工速度快?【思路点拨】这是一道“工程工效”的模型,分析方面是先将两队的单位工效列出,可以设乙工程队单独完成施工需x个月,每个月完成,已知甲队每个月完成工程的,那么半个月完成工程的,乙队半个月完成工程的,再以总工程量1为不变量,列出等量关系:,解得x=1.例2两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月130例3某列车平均提速vkm/h,用相同的时间,列车提速前行驶skm,提速后比提速前多行驶50km,提速前列车的平均速度为多少?解:设提速前该列车的平均速度为xkm/h,则提速前它行驶skm所用时间为h;提速后列车的平均速度为(x+v)km/h,提速后它运行(s+50)km所用时间为h.根据行驶时间的等量关系,得.方程两边乘x(x+v),得s(x+v)=x(s+50).解得.例3某列车平均提速vkm/h,用相同的时间,列车提速前131检验:由v,s都是正数,得时,x(x+v)≠0.所以原分式方程的解为.答:提速前列车的平均速度为km/h.检验:由v,s都是正数,得132列方程解应用题时,设未知数很重要,分直接设未知数和间接设未知数两种,有时设一个未知数不好表示相等关系,还可设多个未知数,即设辅助未知数.一般情况下,一道题中有几个未知数,就列几个方程进行求解.

[知识拓展]列方程解应用题时,设未知数很重要,分直接设未知数和间接133请你说说用分式方程解实际问题的一般步骤,它与用一元一次方程以及二元一次方程组解决实际问题的一般步骤有哪些异同?请你说说用分式方程解实际问题的一般步骤,它与用一元一次方程以134列分式方程解应用题按下列步骤进行:(1)审题,了解已知量与所求各量所表示的意义,弄清它们之间的数量关系;(2)设未知数;(3)找出能够表示题中全部含义的相等关系,列出分式方程;(4)解这个分式方程;(5)验根,检验是不是增根;(6)写出答案.课堂小结列分式方程解应用题按下列步骤进行:课堂小结1351.为迎接“六一”儿童节,某儿童品牌玩具专卖店购进了A,B两类玩具,其中A类玩具的进价比B类玩具的进价每个多3元,经调查:用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同.设A类玩具的进价为m元/个,根据题意可列分式方程为(

)检测反馈解析:根据题意得B类玩具的进价为(m-3)元/个,根据用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同这个等量关系列出方程.故选C.C1.为迎接“六一”儿童节,某儿童品牌玩具专卖店购进了A,B两1362.某小区为了排污,需铺设一段全长为720米的排污管道,为减少施工对居民生活的影响,需缩短施工时间,实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%,结果提前2天完成任务.设原计划每天铺设x米,下面所列方程正确的是(

)解析:先分别用代数式表示原计划和实际完成任务所用的时间,再根据“原计划所用时间-实际所用时间=2”列出方程.原计划施工所用的天数为,实际施工所用的天数为.依题意可得.故选A.A2.某小区为了排污,需铺设一段全长为720米的排污管道,为减1373.某玩具店用6000元购进甲、乙两种陀螺,甲种陀螺单价比乙种的单价便宜5元,单独买甲种陀螺比单独买乙种陀螺可多买40个.设甲种陀螺单价为x元,则根据题意可列方程为(

)解析:因为甲种陀螺的单价为x元,所以乙种陀螺的单价为(x+5)元,根据关键语句“单独买甲种陀螺比单独买乙种陀螺可多买40个”可得方程.故选C.C3.某玩具店用6000元购进甲、乙两种陀螺,甲种陀螺单价比乙1384.一次夏令营活动中,班长购买了甲、乙两种矿泉水,其中甲种矿泉水共花费80元,乙种矿泉水共花费60元,甲种矿泉水比乙种矿泉水多20瓶,乙种矿泉水的价格是甲种矿泉水的价格的1.5倍.若设甲种矿泉水的价格为x元/瓶,根据题意可列方程为(

)解析:因为甲种矿泉水的价格为x元/瓶,所以乙种矿泉水的价格为1.5x元/瓶,根据甲种矿泉水比乙种矿泉水多20瓶,列分式方程.故选B.B4.一次夏令营活动中,班长购买了甲、乙两种矿泉水,其中甲种矿1395.轮船在顺水中航行30km所用时间与在逆水中航行20km所用时间相等.已知水流速度为2km/h,设轮船在静水中的速度为xkm/h,则下列方程不正确的是(

)解析:根据关键语句“轮船在顺水中航行30km所用时间与在逆水中航行20km所用时间相等”列出方程,此方程可变形为,故A,B,C都正确,D错误.故选D.D5.轮船在顺水中航行30km所用时间与在逆水中航行20k1406.小马自驾私家车从A地到B地,驾驶原来的燃油汽车所需油费为108元,驾驶新购买的纯电动车所需电费为27元.已知每行驶1千米,原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元,求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.解析:先寻找等量关系:驾驶原来的燃油汽车消耗108元的燃油费能够行使的路程等于驾驶新购买的纯电动车耗费27元的电费能够行驶的路程.根据等量关系,设未知数、列方程解答即可.6.小马自驾私家车从A地到B地,驾驶原来的燃油汽车所需油费为141解:设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元,则每行驶1千米,原来的燃油汽车所需的油费为(x+0.54)元.依题意列方程得解得x=0.18,经检验,x=0.18是原方程的解.答:新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元.解:设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元,则每行1427.扬州建城2500年之际,为了继续美化城市,计划在路旁栽树1200棵,由于志愿者的参加,实际每天栽树的棵数比原计划多20%,结果提前2天完成任务,求原计划每天栽树多少棵.解析:设原计划每天栽树x棵,则实际每天栽树的棵数为(1+20%)x,根据题意可得实际比计划少用2天,据此列方程求解.解:设原计划每天栽树x棵,则实际每天栽树的棵数为(1+20%)x,由题意得解得x=100,经检验,x=100是原分式方程的解,且符合题意.答:原计划每天栽树100棵.7.扬州建城2500年之际,为了继续美化城市,计划在路旁栽树14312.5分式方程的应用（第2课时）12.5分式方程的应用（第2课时）144龟兔赛跑的故事大家都知道吧?兔子自从输了以后,很不甘心,所以邀请乌龟再赛一场:兔子和乌龟要进行一次长跑比赛,从A地到B地,路程是60km.兔子为了证明自己的实力,说好叫乌龟先出发1小时,结果二者同时到达终点.现在已知兔子的速度是乌龟速度的3倍.你能求出乌龟和兔子的速度吗？在解决上述问题之前,请大家回忆一下,我们用分式方程解决实际问题的一般步骤是什么?审题——找出相等的数量关系——