(完整版)一次函数、反比例函数、二次函数知识点归纳总结

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-2-时,2a4ac-b2y最值=4a■如果自变量的取值范围是x<x<x，那么，首先要看-2-是否在自变量取值范围x<x<x内,122a12b4ac-b2若在此范围内，则当x=-云时，y最值=4a；若不在此范围内，则需要考虑函数在xi<x<x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x-x2时，y最大-吧+bx2+c，当x-xi时，y最小二巧+加1+c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x二xi时，最大二巧+加1+C,当x=x时，y=ax2+bx+c。2最小22知识点九、二次函数的性质函数二次函数y=ax2函数二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a丰0）图像a>0a<01、二次函数的性质7y0xy0x性质抛物线开口向上，并向上无限延伸；b一b对称轴疋x=，顶点坐标疋(，2a2a4ac一b2.);4ab在对称轴的左侧，即当xv时，y随x2a的增大而减小；在对称轴的右侧，即当bx>-丁时，y随x的增大而增大，简记左减2a右增；b抛物线有取低点，当x=时，y有取小2a4ac-b2值，y=最小值4a抛物线开口向下，并向下无限延伸；b一b对称轴疋x=，顶点坐标疋(，2a2a4ac一b2.)；4ab在对称轴的左侧，即当xv时，y随2ax的增大而增大；在对称轴的右侧，即当b、x>时，y随x的增大而减小，简记左2a增右减；b抛物线有最咼点，当x=时，y有最2a4ac-b2大值，y=/最大值4a2、二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数'a丰0)中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上a<0时，抛物线开口向下bb与对称轴有关：对称轴为x=--2ac表示抛物线与y轴的交点坐标：(0,c)3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的A=b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当A>0时，图像与x轴有两个交点;当A=0时，图像与x轴有一个交点;

当A<0时，图像与x轴没有交点。知识点十中考二次函数压轴题常考公式(必记必会，理解记忆)1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法)如图：点A坐标为(X],y1)点B坐标为(x2，y2)则AB间的距离，即线段AB的长度为何二；5R22，二次函数图象的平移将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k，确定其顶点坐标(h,k)；保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下:向右(h>0)【或左(h<0)】平移向右(h>0)【或左(h<0)】平移Ikl个单位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移Ikl个单位Ay=ax2+ky=a(xh)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移Ikl个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移Ikl个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移Ikl个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移Ikl个单位v=a(x-h)2+k平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.函数平移图像大致位置规律(中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间)

特别记忆--同左上加异右下减(必须理解记忆)说明①函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，ab值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减3、直线斜率：y-yb为直线在y轴上的截距4、直线方程:k二tana二1x—x214、①两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式：y—y=kx+b=(tana)x+b=^2yix(x—x)此公式有多种变形牢记1x—x121点斜y—歹］二kx(x—x,斜截直线的斜截式方程，简称斜截式：y=kx+b(kMO)截距由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：于+y=1ab牢记口诀两点斜截距--两点点斜斜截截距5、设两条直线分别为，5、设两条直线分别为，11:y=k1x+bi若l//l，则有l//1ok=k121212且b且bi丰b2。若1丄1ok-k=—112126、点P(6、点P(x0，y0)到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0)的距离:kx—y+bd=「00=卡k2+(—1)27、抛物线y=ax2+bx+c中，abc,的作用a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线bbx=—，故：①b=0时，对称轴为y轴；②一＞0(即a、b同号)时，对称轴在y轴左侧;2aa③-<0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.口诀同左异右a（3）c的大小决定抛物线y二ax2+bx+c与y轴交点的位置.当x二0时，y=c,・•.抛物线y二ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点（0,c）：c=0，抛物线经过原点；c>0，与y轴交于正半轴；③c<0，与y轴交于负半轴.b以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则一<0.a十一，中考点击考点分析：内容要求1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点I2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系I3、一次函数的概念和图像I4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图II5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用II6、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二次函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题II命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右．一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右．反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3—6分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中．要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题．会求一元二次方程的近似值．分析近年中考，尤其是课改实验区的试题，预计2009年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解．同时将注重考查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用．十二，初中数学助记口诀(函数部分)特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后；(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后；X轴上y为0,x为0在Y轴。对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X轴对称y相反,Y轴对称,x前面添负号；原点对称最好记,横纵坐标变符号。自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成y=k(x+0)+b、二次函数的解析式写成y=a(x+h)2+k的形式，则用下面后的口诀“左右平移在括号上下平移在末稍，同左上加异右下减一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展，变化规律正相反；k的绝对值越大，线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点，双曲线相背离的远;k为正,图在一、三(象)限,k为负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减。图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。正比例函数是直线，图象一定过圆点，k的正负是关键，决定直线的象限，负k经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引得到一次线，向上加b向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键。反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换。二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，△的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。1对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X轴对称y相反，Y轴对称,x前面添负号；原点对称最好记,横纵坐标变符号。关于x轴对称y=ax2+bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c；y=a(x-h)2+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a(x-h匕-k；关于y轴对称y=ax2+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax2-bx+c；y=a(x—h)2+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(x+h匕+k；关于原点对称y=ax2+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax2+bx-c；y=a(x-h)2+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a(x+h匕-k关于顶点对称y=ax2+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ax2-bx+c-—；2ay=a(x-h)2+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x—h)2+k.关于点(m,n)对称y=a(x—h)2+k关于点(m,n)对称后，得到的解析式是y=-a(x+h—2m)2+2n—k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变•求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向然后再写出其对称抛物线的表达式．口诀Y反对X,X反对Y,都反对原点2自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b，二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k的形式则用下面后的口诀：“左右平移在括号,上下平移在末稍,左正右负须牢记,上正下负错不了”。一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见，k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展，变化规律正相反;k的绝对值越大,线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象限；开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k为正，图在一、三（象）限；k为负，图在二、四（象）限；图在一、三函数减,两个分支分别减；图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。函数学习口决：正比例函数是直线，图象一定过原点，k的正负是关键，决定直线的象限，负k经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引得到一次线，向上加b向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键；反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换；二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，△的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。求定义域：求定义域有讲究，四项原则须留意。负数不能开平方，分母为零无意义。指是分数底正数，数零没有零次幂。限制条件不唯一，满足多个不等式。求定义域要过关，四项原则须注意。负数不能开平方，分母为零无意义。分数指数底正数，数零没有零次幂。限制条件不唯一，不等式组求解集。解一元一次不等式：先去分母再括号，移项合并同类项。系数化“1”有讲究，同乘除负要变向。先去分母再括号，移项别忘要变号。同类各项去合并，系数化“1”注意了。同乘除正无防碍，同乘除负也变号。解一元二次不等式:首先化成一般式，构造函数第二站。判别式值若非负，曲线横轴有交点。a正开口它向上，大于零则取两边。代数式若小于零，解集交点数之间。方程若无实数根，口上大零解为全。小于零将没有解，开口向下正相反。13.1用公式法解一元二次方程要用公式解方程，首先化成一般式。调整系数随其后，使其成为最简比。确定参数abc，计算方程判别式。判别式值与零比，有无实根便得知。有实根可套公式，没有实根要告之。用常规配方法解一元二次方程：左未右已先分离，二系化“1”是其次。一系折半再平方，两边同加没问题。左边分解右合并，直接开方去解题。该种解法叫配方，解方程时多练习。用间接配方法解一元二次方程：已知未知先分离，因式分解是其次。调整系数等互反，和差积套恒等式。完全平方等常数，间接配方显优势【注】恒等式解一元二次方程：方程没有一次项，直接开方最理想。如果缺少常数项，因式分解没商量。b、c相等都为零，等根是零不要忘。b、c同时不为零，因式分解或配方，也可直接套公式，因题而异择良方。正比例函数的鉴别:判断正比例函数，检验当分两步走。一量表示另一量，有没有。若有再去看取值，全体实数都需要。区分正比例函数，衡量可分两步走。一量表示另一量，是与否。若有还要看取值，全体实数都要有。正比例函数的图象与性质：正比函数图直线，经过