函数及其性质课件

1.2

函数及其性质

1.2.1.集合

1.2.2.函数的概念1.2.3.逻辑及其符号

1.2.4.函数的一些重要性质

1.2.5.函数运算1.2.6.初等函数1.2函数及其性质1.2.1.集合11.2.1逻辑及其符号利用数学的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程，这种想法早在十七世纪就有人提出过。莱布尼茨曾经设想过能不能创造一种“通用的科学语言”，可以把推理过程象数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确的结论。由于当时的社会条件，他的想法并没有实现。但是它的思想却是现代数理逻辑部分内容的萌芽。

1.2.1逻辑及其符号利用数学的方法来代替人们思维中的21.命题与定理可以判断真假的语句称为命题

(proposition).正确的命题称为定理(theorem).这可靠吗？1.命题与定理可以判断真假的语句称为命题(proposi32.含有“存在”和“任取”的命题存在实数x，满足x3=-2.

x∈

R，s.t.

x3=-2.任取实数x，都有x2>0.

x∈

R，x2>0.存在源于英文Exist存在源于英文All2.含有“存在”和“任取”的命题存在实数x，满足x3=4

x∈

R，y∈

R，s.t.x

<y.真命题

x∈

R，y∈

R，s.t.x

<y.假命题例x∈R，y∈R，s.t.51.2.2集合1.集合(Set):具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集子集真子集并交差全集I补集I\A1.2.2集合1.集合(Set):具有某种特定性质6常用集合:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集不含任何元素的集合称为空集.例规定空集为任何集合的子集.笛卡尔乘积例常用集合:N----自然数集Z----整数集Q----有理数72.区间(interval):是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,2.区间(interval):是指介于某两个实数之间的全体实8称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:93.邻域(neighborhood):3.邻域(neighborhood):10在某过程中数值保持不变的量称为常量(constantquantity)，而数值变化的量称为变量

(variable).4.常量与变量:例s=gt2/2g≈9.8米/秒2.通常用字母a,b,c等表示常量,常量与变量的表示方法：用字母x,y,z,

t等表示变量.在某过程中数值保持不变的量称为常量(constantqu111.2.3函数的概念因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域

(domain)函数的两要素:定义域与对应法则.1.2.3函数的概念因变量自变量数集D叫做这个函数的定12如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．x11y0.5如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个13

(1)符号函数(signfunction)几个常用的特殊函数1-1xyo克罗内克函数(Kroneckerfunction

)德国1823-1891(1)符号函数(signfunction)14(2)取整函数

y=[x][x]表示不超过的最大整数

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo(2)取整函数y=[x]12315(3)狄利克雷函数(Diriechletfunction)德国1805-1859

(3)狄利克雷函数(Diriechletfunct16(4)取最值函数yxoyxo(4)取最值函数yxoyxo17在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.分段函数在其整个定义域上是一个函数,注而不是几个函数!在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数,18例解例解191.2.4函数的一些重要属性-MoMyxy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性无界:1.2.4函数的一些重要属性-MoMyxy=f(x)X有201121函数及其性质课件22练习A.有上界无下界B.

有下界无上界C.有界,D.

有界且解C练习A.有上界无下界B.有下界无上界C.有界,D.232．函数的单调性则称函数f(x)

在区间I

上是广义单调增加的.则称函数f(x)

在区间I

上是单调增加的.设函数f(x)

的定义域为D,区间I∈D.2．函数的单调性则称函数f(x)在区间I上是广义单24则称函数f(x)

在区间I

上是广义单调减少的.则称函数f(x)

在区间I

上是单调减少的.设函数f(x)

的定义域为D,区间I∈D.则称函数f(x)在区间I上是广义单调减少的.则称函253．函数的奇偶性偶函数yxox-x3．函数的奇偶性偶函数yxox-x26奇函数yxox-x奇函数yxox-x274．函数的周期性:由于T

是函数f(x)

周期时，nT(n∈N)也是f(x)周期，因此通常说周期函数的周期是指其最小正周期.设函数f(x)的定义域为D,如果存在实数

T≠0,使得对于任意

x∈D,都有

f(x+T)=f(x)，则称f(x)

是一个周期函数，T称为是f(x)

的

周期

(period).Sin(x)

的图像4．函数的周期性:由于T是函数f(x)周期时，nT28例y=D(x)

是周期函数，但无最小正周期例y=D(x)是周期函数，但无最小正周期291.2.5函数的运算1.四则运算1.2.5函数的运算1.四则运算302.反函数(inversefunction)2.反函数(inversefunction)31在什么条件下,?一个函数存在反函数且反函数也是单调增(减).反函数存在定理若函数在

D上单调增(减),则它必存在反函数在什么条件下,?一个函数存在反函数且反函数也是单调增(减)32

(2)

函数与反函数的图形关于直线

y=x

对称.(2)函数与反函数的图形关于直线y=x对称.333.复合函数(compoundfunction)定义3.复合函数(compoundfunction)定义34注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;35例例36函数及其性质课件37函数及其性质课件38思考题及其定义域.解令则于是,思考题及其定义域.解令则于是,391.2.6初等函数(1)幂函数1.基本初等函数1.2.6初等函数(1)幂函数1.基本初等函数40(2)指数函数(2)指数函数41(3)对数函数(3)对数函数42(4)三角函数正弦函数(4)三角函数正弦函数43余弦函数余弦函数44正切函数定义域值域正切函数定义域值域45余切函数定义域值域余切函数定义域值域46正割函数定义域值域正割函数定义域值域47余割函数定义域值域余割函数定义域值域48

(5)反三角函数定义域反正弦函数反三角函数都是多值函数.但是,可以选取这些函数的单值支.(5)反三角函数定义域反正弦函数反三角函数都是多值函数49反余弦函数定义域反余弦函数定义域50定义域反正切函数反余切函数定义域定义域反正切函数反余切函数定义域51常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.2.如都是初等函数.不是初等函数.常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数统52注一般分段函数不叫初等函数,想一想

可看作分段函数,是否又可看作是初等函数?答:故又可看作是初等函数.是!由于它不是用一个式子表达出来的.因为注一般分段函数不叫初等函数,想一想可看作分段函数,是否53小结基本概念集合,区间,邻域.函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数基本初等函数及初等函数小结基本概念函数的概念函数的特性反函数基本初等函数及541.2

函数及其性质

1.2.1.集合

1.2.2.函数的概念1.2.3.逻辑及其符号

1.2.4.函数的一些重要性质

1.2.5.函数运算1.2.6.初等函数1.2函数及其性质1.2.1.集合551.2.1逻辑及其符号利用数学的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程，这种想法早在十七世纪就有人提出过。莱布尼茨曾经设想过能不能创造一种“通用的科学语言”，可以把推理过程象数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确的结论。由于当时的社会条件，他的想法并没有实现。但是它的思想却是现代数理逻辑部分内容的萌芽。

1.2.1逻辑及其符号利用数学的方法来代替人们思维中的561.命题与定理可以判断真假的语句称为命题

(proposition).正确的命题称为定理(theorem).这可靠吗？1.命题与定理可以判断真假的语句称为命题(proposi572.含有“存在”和“任取”的命题存在实数x，满足x3=-2.

x∈

R，s.t.

x3=-2.任取实数x，都有x2>0.

x∈

R，x2>0.存在源于英文Exist存在源于英文All2.含有“存在”和“任取”的命题存在实数x，满足x3=58

x∈

R，y∈

R，s.t.x

<y.真命题

x∈

R，y∈

R，s.t.x

<y.假命题例x∈R，y∈R，s.t.591.2.2集合1.集合(Set):具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集子集真子集并交差全集I补集I\A1.2.2集合1.集合(Set):具有某种特定性质60常用集合:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集不含任何元素的集合称为空集.例规定空集为任何集合的子集.笛卡尔乘积例常用集合:N----自然数集Z----整数集Q----有理数612.区间(interval):是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,2.区间(interval):是指介于某两个实数之间的全体实62称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:633.邻域(neighborhood):3.邻域(neighborhood):64在某过程中数值保持不变的量称为常量(constantquantity)，而数值变化的量称为变量

(variable).4.常量与变量:例s=gt2/2g≈9.8米/秒2.通常用字母a,b,c等表示常量,常量与变量的表示方法：用字母x,y,z,

t等表示变量.在某过程中数值保持不变的量称为常量(constantqu651.2.3函数的概念因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域

(domain)函数的两要素:定义域与对应法则.1.2.3函数的概念因变量自变量数集D叫做这个函数的定66如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．x11y0.5如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个67

(1)符号函数(signfunction)几个常用的特殊函数1-1xyo克罗内克函数(Kroneckerfunction

)德国1823-1891(1)符号函数(signfunction)68(2)取整函数

y=[x][x]表示不超过的最大整数

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo(2)取整函数y=[x]12369(3)狄利克雷函数(Diriechletfunction)德国1805-1859

(3)狄利克雷函数(Diriechletfunct70(4)取最值函数yxoyxo(4)取最值函数yxoyxo71在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.分段函数在其整个定义域上是一个函数,注而不是几个函数!在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数,72例解例解731.2.4函数的一些重要属性-MoMyxy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性无界:1.2.4函数的一些重要属性-MoMyxy=f(x)X有741175函数及其性质课件76练习A.有上界无下界B.

有下界无上界C.有界,D.

有界且解C练习A.有上界无下界B.有下界无上界C.有界,D.772．函数的单调性则称函数f(x)

在区间I

上是广义单调增加的.则称函数f(x)

在区间I

上是单调增加的.设函数f(x)

的定义域为D,区间I∈D.2．函数的单调性则称函数f(x)在区间I上是广义单78则称函数f(x)

在区间I

上是广义单调减少的.则称函数f(x)

在区间I

上是单调减少的.设函数f(x)

的定义域为D,区间I∈D.则称函数f(x)在区间I上是广义单调减少的.则称函793．函数的奇偶性偶函数yxox-x3．函数的奇偶性偶函数yxox-x80奇函数yxox-x奇函数yxox-x814．函数的周期性:由于T

是函数f(x)

周期时，nT(n∈N)也是f(x)周期，因此通常说周期函数的周期是指其最小正周期.设函数f(x)的定义域为D,如果存在实数

T≠0,使得对于任意

x∈D,都有

f(x+T)=f(x)，则称f(x)

是一个周期函数，T称为是f(x)

的

周期

(period).Sin(x)

的图像4．函数的周期性:由于T是函数f(x)周期时，nT82例y=D(x)

是周期函数，但无最小正周期例y=D(x)是周期函数，但无最小正周期831.2.5函数的运算1.四则运算1.2.5函数的运算1.四则运算842.反函数(inversefunction)2.反函数(inversefunction)85在什么条件下,?一个函数存在反函数且反函数也是单调增(减).反函数存在定理若函数在

D上单调增(减),则它必存在反函数在什么条件下,?一个函数存在反函数且反函数也是单调增(减)86

(2)

函数与反函数的图形关于直线

y=x

对称.(2)函数与反函数的图形关于直线y=x对称.873.复合函数(compoundfunction)定义3.复合函数(compoundfunction)定义88注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.注意:1.不是