2015年普通高等学校招生全国统一考试卷理数答案解析正式版版

2015年普通高等学校招生考试（陕西卷数学（理科一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个N x|x2x}，N{x|lgx0}，则N 【答案】【解析】

0,1的人数为 B137 C123 D93【答案】618y6

xk A．5 B．6 C．8【答案】ymin2ymin3k，所以3k2k5，所ymax3k358C．二项式(x1)n(nN)的展开式中x2的系数为15，则n A．4 B．5 C．6【答案】）A．D．3B．C．2【答案】试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以121122234D．2“sincos”是“cos20”的 【答案】试题分析：因为cos2cos2sin20，所以sincos或sincos，因为sincoscos20但sincoscos20所以sincoscos20对任意向量a,b，下列关系式中不恒成立的是 ab||aab||a||bab|||a||b C．(ab)2|ab D．(ab)(ab)a 【答案】考点：1、向量的模；28.x2006y） 【答案】【解析】x20061x20042x2002x20001003x01004x2．不满足条x0y32110B．f(xlnx0abpf

abqf(abr1f(af(b，则 A．qrD．pr

B．qr

C．pr【答案】A，B1吨每种产品需原料及每13万元、4万元，则该企大利润为 甲乙原料限A(32B(128【答案】xyz3x43x2yx2y由题意可列xy

当直线3x4yz0A(2,3zzmax324318设复数z(x1)yi(x,yR)，若|z|1，则yx的概率为 A B

C

1 D．1 【答案】(x1)2试题分析：z(x1)yi|z 1(x1)(x1)2A(1,1B(10)112111

若|z|1，则yx的概率是 21

f(xax2bxc（a为非零整数 A．-1是f(x)的零 B．1是f(x)的极值C．3是f(x)的极 D.点(2,8)在曲线y

f(x【答案】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 【答案】试题分析：设数列的首项为a1，则a12015210102020，所以a15，故该数列的首项为5，所以答案应填5．若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则 2【答案】2yex在点（0,1）y1(x0ppx 【答案】yexyexyex在点0,1k

e01，设的坐标为x,y（x0，则y1，因为y ，所10xx 10xx

0y

，所以曲线y 在点处的切线的斜率1x1

xx0

2，因为k1x10x1

1所以 1，即x21，解得x1，因为x0，所以x1，所以y1，即1x x0

坐标是1,1，所以答案应填1,1， 【答案】1101022216x22py（p02因为该抛物线过点522p252p25x225yy2x2

52

2x2

40 401.2，所以答案应填：1.23三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演17（本小题满分12分）C的内角Cabcma,ncossin（I）求（II）若a 7，b2求C的面积3

3．32（I） 3bcosA=0由正弦定理，得 3sinBcosA=3又sin0，从而tanA 3由于0AA3(II)解法一：由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosa

7b=2,3得74c2-2c，即c2-2c-3因为c0，所以c3故ABC1bcsinA33 18（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD中，D//C，D 2D2D是C与的交点．将沿折起到1的位置，如图2．CD平面1C若平面1平面CD，求平面1C与平面1CD6（II） 63（I）2

BE2，BE

从而BE平面CDBE，CDA1OC(II)A1BEBCDE，又由（1）知，BE

OA1，BE所以A1OCA1-BE-C的平面角，所以A1OC2OA1B=A1E=BC=ED=1,BC

2,0,0), 2,0,0),A(0, 2, 得

2 2,0),A 2, 2)，CD=BE=

2,0,0) A1BC的法向量n1x1y1z1A1CD的法向量n2x2y2z2A1BC与A1CD夹角为，n1BC0，得x1y10n1,1,1nAC

yz

n2CD x2nAC0，得y

0n20,1,1

从而cos|cosn1n2

3 6A1BCA1CD319（（分钟（分钟频数（次求的分布列与数学期望（II）【解析】（I）先算出的频率分布，进而可得的分布列，再利用数学期望公式可得数的概率．（I）（分钟从而ET250.2300.3350.4400.132（分钟70P(T135,T235)P(T140,T230)10.210.30.90.40.50.1 P(A)=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=0.40.10.10.40.10.1P(A)=1-P(A) 20（12分）已知椭圆:a2c,00b的直线的距离为1c2

1（ab0）的半焦距为c，原点求椭圆

如图，是圆x求椭圆的方

y

的一条直径，若椭圆经过，2

3（II）3

y y 试题分析（I）先写过点c,00b的直线方程，再计算原点到该直线的距离ykx21可得椭圆的离心率（I（I知椭圆x24y24b2yxxxx的值，进而可得k

10可得b2 1椭圆（I）过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cybc0 则原点O到直线的距离 b2 1d

c，得a2b

，解得离心率c a2-3a2-3(II)解法一：由（I）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2 易知，ABxyk(x+21，代入(1(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=A(x1y1B(x2y2

2=

4(2k+1)2-1+4k x1x24，得

8k(2k1+4k

=-4,解得k 22x1x282b121 121 52x 4x2 110(b2|10(b2-由| ， =10，解得b210(b2-

=1. 解法二：由（I）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2 A(xyB(xyx24y24b2x2+4y24b2 x1x24y1y22得-4(x1-x28y1-y20.易知，ABxxxAB

=y1-y=12 2

x- 1ABy2

(x+2)

，代入(2x24x+8-2b2=所以xx4x

=8-2b2 1121 52121 52x 4x2 110(b210(b2-由| ， =10，解得b210(b2-

=1. 21（nn2（I）证明：函数Fxfx21,1内有且仅有一个零点（x） x11 2比较fnxgnx的大小，并加以证明（II

fn(xgn(xx1fn(xgn(x试题分（I）先利用零点定理Fx在1,1内至少存在一个零点，再利 单调性可证Fx1,1内有且仅有一个零点，进而利用xFx的零点可证 来判断hx 2 与0的大小，进而可得fnxgnx的大小试题解析（I）F(f(x)-2=1+x+x2 xn-2,则F(1)=n-1> 1

1

112 F() 2 2 n

2 2 2F(x在1,1x 又F(x)12x nxn10，故在1,1内单调递增 F(x在1,1x 1-x

因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)=0，即 -2=0，故xn= (II)gn(x

xnxn(n+1)(1+2

1- .h(x)=

(x)-

(2

,x>x=1

fn(x)=gnnxn1nn12当x1nxn1nn12若0<x<,h

xn12xn1

nxn1nn1xn1=n(n+1)xn-1

n(n+1)xn-1= x>1h

xn12xn1

nxn1nn1xn1=n(n+1)xn-1

n(n+1)xn-1= 所以h(x在(0,1上递增，在(1上递减，所以h(x)<h(1)=0，即fn(x)<gn(x.x=1时,fn(xgn(xx1fn(xgn(n+1)(1+解法二由题设，f(+x+x2 xn,g(x)

,x> x=1

fn(x)=gnx1fn(xgn(xn2

f2(x)-g2(x)=-2(1-

0f2xg2x假设nk(k2)fk(xgk(x)那么，当nk+1

2k+11+2

2xk+1+(k+1)xk+kfk+1

k+1 2xk2又2k h(x)=kxk+1-(k+1)xk+1(x> kkh(x)k(k1)xkkk1xk1kk1k所以当0x<1hk(x0hk(x在(0,1上递减；x>1hk(x)0hk(x在(1上递增.1+(k+1)xk+k21+(k+1)xk+k2故fk+1(x)<gk+1(x.即n=k+1，不等式也成立.所以，对于一切n2fn(xgn(x.解法三:由已知，记等差数列为{ak},等比数列为{bk},k=1, ,n+1.则a1=b1=1

=

=xn所以ak1+k

xnn

(2kn),bk

k

(2km(xa

k1xn xk1,x0(2k x=1x1

ak=bkfn(xgn(xm(x)k1nxn1(k1)xk2k1xk2xnk1 2kn，所以k-10nk1若0x

xn-k+1<1,m(x)0kkx>1xnk+1>1m(x)0kk从而mk(x在(0,1mk(x在(1上递增.所以mk(xmk(10x=1时

fn(x)=gn(xx1时fn(xgn答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．22（切于点D交于DCD，垂足为C（I）CDD2（II）若D3DC，C ，求的直径2【答案（I）证明见解析（II）3试题分析（I先证CDDDDCDD（II）（I）知D平分CD的值，进而可得的直径．，（I），BCDE，所以CBD+EDB=90°，从而CBD=ABOB，得DAB=BED，所以CBD= 22（II）由（I）知BD平分CBA， 22

3

，从而AB= AB2-BC所以AC =4AB2-BC

23（x31xy中，直