信号与线性系统课件

§1

系统函数的定义复频域系统函数系统函数是描述线性非时变单输入、单输出系统本身特性的，它在系统理论中占有重要地位。H

(s)

零状态响应的拉氏变换

Rzs

(s)激励信号的拉氏变换

E(s)定义意义由于rzs(t)=h(t)e(t)，故有Rzs(s)=H(s)E(s)式中：H

(s)

[h(t)]

Rzs

(s)

可见H(s)就是冲激响应h(t)的拉氏变换。stzsE(s)当激励为

est

时，系统的零状态响应为

(())(())

()

rhtsteehhH((e)t)ddtsetst()

st可见系统函数可视为系统对复指数信号的

系数，它与输入无关，反映系统本身特性。只不过h(t)是系统在时域的描述，H(s)是对系统在复频域的描述。第六章第1讲2系统函数的零点和极点系统函数一般是一个实系数有理分式，即mnmnj

1m

H0

i1

1

2

n1

2

H001n

n1

m

m1

zsi

)((

)(()sH

psp)(s)ps(

)(

zsz)s(z)ssana1s

aasbsmb1s

其中：zi

称为系统函数的零点；pj

称为系统函数的极点。

psj

)(jω0零极点图零点极点第六章第1讲3例

1求电路的系统函数US

(s)U0

(s)111F1F0.5HH

(s)

U0

(s)1I2IUS

(s)解：用网孔法列方程：(11/

s

0.5s)I1

0.5sI2

US10.5sI2

(

s

s2

1)I2

s

101s./5

22

sI1

s

s

I2

0

I

Ss

s22s2(1

1

0.5s)(

2

2

1)I

0.5sI

U23第六章第1讲4

sss2s3U

U

U0

I2Hs()S

S例

2，求冲激响应h(t)，画出零H(s)的零、极点分布

。(s

1)2

4s

1已知系统函数H

(s)点、极点图。解：网络冲激响应为h(t)

et

cos

2t

(t)10

j2第六章第1讲5jj2例

3方法一，已知解一：由电路求阻抗

30

j5jj5LRCZ

(s)1

)1LsC

L

LCZs()LC(s2

R

s

Ls

R

)(LCs2

RC

s

1sL

RR

sL

1sL

R)(

sC

因Z(0)=3

，故有R=3。由零极点图知，零点z=-6，即R/L=6，故L=3/6=0.5H1,2由极点

p

3

j5即s2

6

s

2

0C

6

36

8

/

C

3

j52

36

8

100C136

17

6C

8

1

F已知电路的输入阻抗Z(s)的零、极点Z(0)=3，则电路的R

=

3

;

L

=

0.5H

;

C=

1/17F

。第六章第1讲6例

3方法二，已知解二：由零极点图：

30

j5jj5

6LRCZ

(s)1

K

,

C

1

F已知电路的输入阻抗Z(s)的零、极点Z(0)=3，则电路的R

=

3

;

L

=

0.5H

;

C=

1/17F

。s2s

6

K(s

3

j5)(s

3

j5)

6s

34s

6Z

(s)

K由Z(0)=3,

得K=17。再由电路有：1

)L

LCLsCC

(s2

R

s

(s

R

)LCs2

RC

s

1sL

R

1R

sL

11

(sL

R)Z

(s)

sC

比较以上两式的系数得：1

34,

L

1

HR

6,

R

3C17L第六章第1讲LC27例

4已知系统函数的零、极点f

(t)=(t),

求零状态响应y(t)。解：由零极点图知系统函数：零状态响应为：-

j4，已知h(0+)=1，若激励j

j4j20-

j2s2(s

j2)(s

j2)

4H

(s)

H0

s(s

j4)(s

j4)

H0

s(s2

16)t0

s又：h(0

)

lim

h(t)

lim

sH

(s)

1

可得：H0=1

4s(s2

16)s2H

(s)

故：

4

4s2

(s2

16)s23

416

s2

16s216

4

y(t)

1

t

3

sin

4t

(t)s1

F

(s)

1所以：Y

(s)

H

(s)F

(s)第六章第1讲8第六章第1讲9§2

零极点与时域响应零极点与冲激响应冲激响应与系统函数的关系为(设H(s)具有单极点)冲激响应的性质完全由系统函数的极点决定。pi

称为系统的自然频率或固有频率。H(s)的零极点与h(t)的时域波形见讲义98面。结论极点决定了h(t)的形式，而各系数Ki则由零、极点共同决定。系统的稳定性由极点在S平面上的分布决定，而零点不影响稳定性。极点分布在S左半开平面，系统是稳定的。极点在虚轴上有单极点，系统是临界稳定。极点在S右半开平面或在虚轴上有重极点，系统不稳定。p

tiiiKis

pi1i1n]

K

en1[h(t)

1[H

(s)]

H(s)、E(s)极点与响应、强迫响应vkniun

vmzss

pKks

pKik

1i1i1

k

1(s

zl

)(s

pi

)

(s

pk

)(s

z

j

)R

(s)

H

(s)E(s)

j

1

l

1

vp

tknp

tizskiK

e

K

ei1

k

1

r

(t)

响应强迫响应若e(t)

et

(t)，则系统的零状态响应zs

Rh

(s)

Rp

(s)R

(s)

H

(s)1s

其中，Rh

(s)

为 响应，由系统函数的极点决定。Ks

pR

(s)

为强迫响应，由激励函数的极点决定。K

H

(s)

s

H

()显然有故，系统的强迫响应

rp

(t)

H

()

et

(t)第六章第1讲10H(s)、E(s)极点与响应、强迫响应结论

响应时间函数的形式仅由H(s)极点决定，即由系统的固有频率决定。而各系数Ki则与H(s)和E(s)都有关系。强迫响应时间函数的形式仅由E(s)极点决定，而各系数Ki则与H(s)和E(s)都有关系。系统函数H(s)只能用于研究零状态响应，包含了系统为零状态响应提供的全部信息。但是，它不包含零输入响应的全部信息，这是因为当H(s)的零、极点相消时，某些固有频率要丢失。第六章第1讲11例

1(s

1)(s

2)s

8求系统H

(s)对输入e(t)

4e3t

(t)的强迫响应。解：首先找出复频率为s0

35

2.5(2)(1)s3H

(s)

故，强迫响应为rp

(t)

2.5

4e3t

(t)

10

e3t

(t)第六章第1讲12例

2已知 电路。解：根据分压公式，可得：u1

(t)CLu2

(t)RU1

(s)(1)

求H

(s)

U

2

(s)RC

LCLCRs2s

1s2

1Ls

/(Cs)Ls

1/(Cs)R

H

(s)

第六章第1讲13例

2已知电路。1u

(t)CLu2

(t)R(2)若激励u1(t)＝cos2t

(t)V，今欲使响应u2(t)中不出现强迫响应分量(正弦稳态响应分量)，求乘积LC的值；1

4s2s解：U

(s)RC

LCLCss

11s2s2

4

s2U2

(s)

H

(s)U1

(s)

可见，欲使u2(t)中不出现强迫响应分量，则必须有

s2

4

s2

1/(LC)故得:

LC=1/4将激励信号的极点抵消则不会出现强迫响应分量第六章第1讲14例

2u1

(t)CLu2

(t)R(3)若R＝1，L＝1H，按第(2)问条件求u2(t)。解：因L

=1H，故得C=¼

Fss

1s2U

2

(s)

H

(s)U1

(s)

RC

LC2第六章第1讲151

s2

4s

4

s

2 (s

2)2s故得

u2

(t)

(e

2te

)

(t)

V2t

2t系统函数与正弦稳态响应设系统为线性非时变因果的稳定系统，系统函数的频域形式为H

(

j)

|

H

(

j)

|

e

j

(

)

,当激励为正弦函数

e(t)

E

cos(

t

)

(t)m

0试证明系统的正弦稳态响应为：rss

(t)|

H

(j0

)|

Em

cos[0t

(0

)]证：激励函数可表示为210mej

t

j

e

j0te

j

)e(t)

E

(e激励的拉氏变换

0

01s

j

s

j

E(s)

E2e

je

jm系统全响应为

R(s)

H

(s)E(s)

Rh

(s)

Rss

(s)其中：Rh(s)为系统函数的极点决定的响应，即暂态响应(

响应)np

thi

ii1r

(t)

K

e

(t)当t时，暂态响应将趋于0。第六章第1讲16系统函数与正弦稳态响应

1

K1s

j0

s

j0K

01K

(s

j021me

je

j0

s

j0s

j

s

j

)H

(s)

E1m

0j

(

)

jm

0|

H

(

j

)

|e

j[

(

)

]

)

|e

e

E2

1

E

|

H

(

j2系统的稳态响应：rss

(t)

2

|

K1

|

cos(0t

K1

)

Em

|

H

(

j0

)

|

cos[0t

()]由部分分式展开法：Rss

(s)第六章第1讲17Rss(s)为激励函数的极点决定的响应，即稳态响应(强迫响应)例

3的系统，求出下列输入的稳态响应解：(1)

4s

4s2s

2对于一个H

(s)rss

(t)。(1)

e(t)

8cos

2t(2)

e(t)

4

(t)

8cos(2t

15)

0.353645

4

j8

4j2

2H

(

j2)

其稳态响应为

rss

(t)

0.3536

8

cos(2t

45)

2.8284

cos(2t

45)(2)由于H

(0)

0.5，其对应的强迫响应是rss1

(t)

0.5

4

2

0.353645第六章第1讲18

4

j8

4j2

2H

(

j2)

rss2

(t)

0.3536

8

cos(2t

15

45)

2.8284

cos(2t

60)其对应的强迫响应是系统的强迫响应为rss

(t)

2

2.8284

cos(2t

60)例

4某连续系统的微分方程