自动控制原理根轨迹法课件

西南交通大学电气工程学院2009西南交通大学2第四章根轨迹法4.1引言4.2根轨迹法的基本概念4.3绘制根轨迹的基本规则4.4绘制根轨迹举例4.5参数根轨迹本章小结2第四章根轨迹法4.1引言34.1引言系统的稳定性←闭环极点(系统的特征根)系统响应特性←闭环极点和零点系统的稳定性系统响应的大致特性1948年，W.R.Evans提出了根轨迹法： 当开环增益或别的某个参数变化时特征根的轨迹图——找特征根的简单的图解法。闭环极点决定了返回34.1引言系统的稳定性←闭环极点(系统的特征根)系统44.2根轨迹的基本概念反馈控制系统的闭环传函(4.1)特征方程(4.2)开环传函

Kg

:传递系数(开环根轨迹增益)－zoi

:开环(传函的)零点,i=1,2,…,m.－poj:开环(传函的)极点,j=1,2,..,n.44.2根轨迹的基本概念反馈控制系统的闭环传函(4.1)特54.2根轨迹的基本概念于是，特征方程(4.3)根轨迹法：根据开环传函(开环零点、极点)，找出开环增益(或别的某个参数)由0→∞变化时，闭环系统特征根的轨迹。根轨迹法的基本思想：开环传函等于-1的s值，必为特征根。54.2根轨迹的基本概念于是，特征方程(4.3)根轨迹法：64.2根轨迹的基本概念幅角条件与幅值条件(4.4)特征方程(4.1)即为(4.5)(4.6)开环传函G(s)H(s)为复数，故由(4.4),有满足幅角条件、幅值条件的s值就是特征方程的根，即闭环极点。幅角条件和幅值条件构成根轨迹的基本条件。64.2根轨迹的基本概念幅角条件与幅值条件(4.4)特征方74.2根轨迹的基本概念将特征方程写成：(4.7)(4.8)幅角条件74.2根轨迹的基本概念将特征方程写成：(4.7)(4.884.2根轨迹的基本概念将特征方程写成：(4.7)(4.9)(4.7)幅值条件84.2根轨迹的基本概念将特征方程写成：(4.7)(4.994.2根轨迹的基本概念由(4.8)和(4.9)给出了根轨迹的基本原理：以Kg为可变参数，s平面上满足幅角条件的点构成的曲线就是根轨迹；根轨迹上各点的Kg值可由幅值条件确定。由(4.8)和(4.9)也反映了根轨迹的几何意义。故在分析和绘制根轨迹时，幅角和幅值应可进行图解测量，故：

横坐标和纵坐标采用同样的尺度等分94.2根轨迹的基本概念由(4.8)和(4.9)给出了根轨104.2根轨迹的基本概念

<例4.1>:绘制某二阶系统 的根轨迹图；特征方程:特征根:K由0→1变化时,特征根s1,s2:K=0，s1=0,s2=-2；K=1，s1=s2=-1(z=1)；0<K<1，(z>1),s1,s2:为两个实根104.2根轨迹的基本概念 <例4.1>:绘制某二阶系统114.2根轨迹的基本概念此时,根轨迹为过(－1,0)点的垂线1<K<∞,(0<z<1),s1,s2:为共轭复根：114.2根轨迹的基本概念此时,根轨迹为过(－1,0)点的124.2根轨迹的基本概念根轨迹上的任何一点均满足幅角条件：对于任意一点s1,显然∠s1＋∠(s1＋2)＝180°对于s1=-1+jw,对应的K值：返回124.2根轨迹的基本概念根轨迹上的任何一点均满足幅角条件134.3绘制根轨迹的基本规则开环传函(开环零点、极点)→闭环系统根轨迹根轨迹性质→作图规则→特殊点→根轨迹(手工绘制根轨迹概略图)特征方程(4.2)绘制根轨迹时，将开环传递函数写成：134.3绘制根轨迹的基本规则开环传函(开环零点、极点)144.3绘制根轨迹的基本规则特征方程写成：(4.7)(4.10)或考察Kg:0→∞(Kg≥0),闭环系统特征根的轨迹。144.3绘制根轨迹的基本规则特征方程写成：(4.7)(4154.3绘制根轨迹的基本规则规则1：根轨迹是连续的，且对称于实轴；规则2：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；根轨迹的分支数(条数)为max{n,m}，n为开环(有限)极点数，m为开环(有限)零点数；

起点:Kg=0,由(4.7),

s=-poj,j=1,…,n;

即Kg=0时，闭环极点

=开环极点

终点:Kg→∞,由(4.7),

s=-zoi,i=1,…,m;

即Kg

→∞时，闭环极点

=开环零点154.3绘制根轨迹的基本规则规则1：根轨迹是连续的，且对164.3绘制根轨迹的基本规则

n>m时,

m个开环有限零点决定了m个闭环极点的位置;另(n-m)个闭环极点趋向于无穷远(开环无限零点).

注:如果包括无限零点,则G(s)H(s)的零点数和极点数相等.特征方程164.3绘制根轨迹的基本规则 n>m时,特征方程174.3绘制根轨迹的基本规则m个闭环极点=m个开环(有限)零点

另(n-m)个闭环极点:

即,另(n-m)个无限零点决定了(n-m)个闭环极点的位置.特征方程174.3绘制根轨迹的基本规则m个闭环极点=m个开环(184.3绘制根轨迹的基本规则

一般n≥m

，根轨迹的分支数应为闭环极点数。

闭环极点数

=开环极点数n=系统阶次n

在绘制其它可变参数的根轨迹时，可能出现等效传函的m>n的情况，这时将有(m-n)条根轨迹起始于(m-n)个开环无限极点。184.3绘制根轨迹的基本规则 一般n≥m，根轨迹的分194.3绘制根轨迹的基本规则推证：开环共轭复数零、极点到实轴上的点的幅角和为2kp，因此对实轴上的根轨迹的幅角条件无影响;实轴上根轨迹的左侧的开环零、极点到实轴上的点的幅角均为0°，因此对实轴上的根轨迹的幅角条件也无影响；规则3：实轴上根轨迹段存在的区间的右侧，开环零点和开环极点之和为奇数。194.3绘制根轨迹的基本规则规则3：实轴上根轨迹段存在的204.3绘制根轨迹的基本规则设Nzo=实轴上根轨迹右侧的开环零点数

Npo=实轴上根轨迹右侧的开环极点数规则3：实轴上根轨迹段存在的区间的右侧，开环零点和开环极点之和为奇数。推证：204.3绘制根轨迹的基本规则规则3：实轴上根轨迹段存在的214.3绘制根轨迹的基本规则规则4：根轨迹的渐近线。根轨迹有|n-m|条分支沿渐近线趋于(或始于)无穷远，这些渐近线的倾角fA及与实轴的交点sA分别为:(4.11)(4.12)214.3绘制根轨迹的基本规则规则4：根轨迹的渐近线。根轨224.3绘制根轨迹的基本规则推证： 由(4.11)可知，不重复的渐近线只有n-m条。

n>m时(n<m时情况类似)

当Kg

→∞，有n-m条根轨迹趋向于无限零点(s→∞)，对无限远的闭环极点sk→∞，开环有限零点、极点都相当于汇集到一点，-zoi,-poj到sk的矢量幅角、幅值都相同，s→sk，趋近的渐近线为一条直线，(4.13)渐近线方程：224.3绘制根轨迹的基本规则推证：(4.13)渐近线方程234.3绘制根轨迹的基本规则推论：渐近线倾角fA234.3绘制根轨迹的基本规则推论：244.3绘制根轨迹的基本规则渐近线与实轴交点sA(4.14)(4.15)注意到作多项式长除,(4.14)可写为推证：244.3绘制根轨迹的基本规则(4.14)(4.15)注意254.3绘制根轨迹的基本规则

又,渐近线上,对于s=sk→∞,相当于有-zoi=-poj=sA

则(4.16)由二项式定理254.3绘制根轨迹的基本规则 又,渐近线上,对于s=s264.3绘制根轨迹的基本规则

比较(4.15)和(4.16)，可知(4.16)(4.15)264.3绘制根轨迹的基本规则(4.16)(4.15)274.3绘制根轨迹的基本规则定义:

两条(或两条以上,成对)根轨迹在某点相遇后又分开的点称为根轨迹的分离点(或汇合点,可统称为分离点)。 实轴上的根轨迹，相邻开环极点之间、相邻开环零点之间必存在分离点。相邻开环零点和极点之间，或不存在分离点，或存在成对的分离点。规则5：根轨迹的分离点，可由下式给出(4.17)274.3绘制根轨迹的基本规则规则5：根轨迹的分离点，可由284.3绘制根轨迹的基本规则分离点处，特征方程为重根。因此，对于特征方程

F’(s)是分离点的必要条件，不是充分条件。由(4.17)的两个条件确定（Kg≥0的）分离点。284.3绘制根轨迹的基本规则分离点处，特征方程为重根。因294.3绘制根轨迹的基本规则规则6：根轨迹与虚轴的交点为闭环系统的临界稳定点。确定与虚轴交点和临界增益值的方法：利用Routh判据，确定临界稳定点；特征方程中，代入s=jw令实部和虚部分别等于0，解出与虚轴交点±w和临界增益值294.3绘制根轨迹的基本规则规则6：根轨迹与虚轴的交点为304.3绘制根轨迹的基本规则规则7：根轨迹的出射角和入射角 根轨迹以开环复极点-pol出发的出射角为： 到达开环复零点-zol的入射角为：(4.18)(4.19)304.3绘制根轨迹的基本规则规则7：根轨迹的出射角和入射314.3绘制根轨迹的基本规则例如：要确定开环极点-po1处的出射角设点s在根轨迹上，则由此可推理得到公式(4.18)和(4.19)314.3绘制根轨迹的基本规则例如：要确定开环极点-po1324.3绘制根轨迹的基本规则出射角和入射角也可用下面的公式给出：(4.21)入射角：(4.20)出射角：324.3绘制根轨迹的基本规则出射角和入射角也可用下面的公334.3绘制根轨迹的基本规则规则8：根轨迹的平衡性(走向)(n-m≥2)

当n-m≥2时，闭环极点之和为常数。因而，随着Kg的增大，一些根轨迹分支左行时，必有根轨迹另一些右行。由特征方程又，当n>m,334.3绘制根轨迹的基本规则规则8：根轨迹的平衡性(走向344.3绘制根轨迹的基本规则

当n-m≥2时，

因此，随着Kg的增大，一些特征根增大，另一些特征根必减小。344.3绘制根轨迹的基本规则 当n-m≥2时， 因此，随354.3绘制根轨迹的基本规则根据这些规则，可确定根轨迹的一些特殊点。由这些特殊点可绘制出根轨迹的概略图。根轨迹的其它点，根据幅角条件确定。虚轴附近的根轨迹较为重要。可按需要补充一些点，以较精确地绘制出这部分根轨迹。返回354.3绘制根轨迹的基本规则根据这些规则，可确定根轨迹的364.4绘制根轨迹举例

<例4.2>

单位反馈控制系统的开环传函如下,

试求:

(1)根轨迹图; (2)共轭主导极点z=0.5时的K值。解特征方程:幅角条件:幅值条件:364.4绘制根轨迹举例 <例4.2>单位反馈控制系374.4绘制根轨迹举例实轴上的根轨迹

渐近线倾角:与实轴交点:374.4绘制根轨迹举例实轴上的根轨迹 渐近线384.4绘制根轨迹举例分离点 384.4绘制根轨迹举例分离点 394.4绘制根轨迹举例与虚轴的交点特征方程:利用Routh判据，令辅助方程等于0

令6-K=0,得到K=6；令辅助方程3s2+K=0与虚轴的交点此时，K=6(K=6时的另一个实根s=-3)394.4绘制根轨迹举例与虚轴的交点令6-K=0,得到K=404.4绘制根轨迹举例为了在虚轴附近较精确地绘制根轨迹图,根据幅角条件在虚轴附近补点:404.4绘制根轨迹举例为了在虚轴附近较精确地绘制根轨迹图414.4绘制根轨迹举例描出根轨迹;

确定z=0.5时的共轭复数主导极点

该极点的向量与负实轴的夹角:414.4绘制根轨迹举例描出根轨迹;确定z=0.5时的424.4绘制根轨迹举例

由图中读出，这时闭环主导极点为:

对应的K值:

并且可以求出对应的第三个极点位置：424.4绘制根轨迹举例 由图中读出，这时闭环主导极点为:434.4绘制根轨迹举例

<例4.3>特征方程为 试求:根轨迹。

解：写出等效特征方程：等效开环传递函数为：开环极点：无有限开环零点.434.4绘制根轨迹举例 <例4.3>特征方程为解：写444.4绘制根轨迹举例实轴上的根轨迹

分离点444.4绘制根轨迹举例实轴上的根轨迹 分离点454.4绘制根轨迹举例试探求解三阶以上的方程的根：代入特征方程检验：454.4绘制根轨迹举例试探求解三阶以上的方程的根：代入特464.4绘制根轨迹举例实轴上的根轨迹

分离点464.4绘制根轨迹举例实轴上的根轨迹 分离点474.4绘制根轨迹举例

渐近线倾角:与实轴交点:474.4绘制根轨迹举例 渐近线484.4绘制根轨迹举例与虚轴的交点特征方程:令代入特征方程,得到实部和虚部的表达式，令实部和虚部分别为零：

484.4绘制根轨迹举例与虚轴的交点494.4绘制根轨迹举例出射角494.4绘制根轨迹举例出射角504.4绘制根轨迹举例该根轨迹对称于过(-2,0)点的垂线：

可见由特征方程504.4绘制根轨迹举例该根轨迹对称于过(-2,0)点的垂514.4绘制根轨迹举例一些常见的开环零极点及其对应的概略根轨迹图返回514.4绘制根轨迹举例一些常见的开环零极点及其对应的概略524.5参数根轨迹

当以参数X为变数，0≤X<∞，作根轨迹时，需要将特征方程写成：(4.22)(4.23)然后，可得：

即可用前面讨论的作根轨迹的规则作出以X为变数的特征方程的根轨迹。524.5参数根轨迹 当以参数X为变数，0≤X534.5参数根轨迹

<例4.4>:小功率位置随动系统结构如图所示：分析伺服电动机的机电 时间常数Tm变化时，系 统极点的分布和暂态特 性的变化规律；(2)当开环增益K=29和qi(t)=t时，若希望将闭环极点配置为-p1,2=-17.25±j26.521,Tm应该取为何值，并计算这时系统的性能。534.5参数根轨迹 <例4.4>:小功率位置随动系统结544.5参数根轨迹

<例4.4>:小功率位置随动系统结构如图所示:解：(1)Tm为可变参数时的根轨迹系统的特征方程：写成：即作以Tm(0≤Tm

<∞)为变参数的根轨迹。544.5参数根轨迹 <例4.4>:小功率位置随动系统结554.5参数根轨迹分离点

根轨迹是一个直径为2K的圆(实轴外)。554.5参数根轨迹分离点根轨迹是一个直径为2K的圆564.5参数根轨迹暂态特性分析:

分离点为s=-2K,对应的Tm值由根轨迹可知：对于0<Tm

<∞，闭环系统稳定；对于0<Tm

<1/(4K)，为过阻尼二阶系统；对于1/(4K)<Tm

<∞，为欠阻尼二阶系统，且随着Tm

增大，z减小；当Tm=1/(4K)时，为临界阻尼；564.5参数根轨迹暂态特性分析:由根轨迹可知：574.5参数根轨迹开环增益

K=29,闭环极点

-p1,2=-17.25±j26.521闭环传函574.5参数根轨迹开环增益K=29,闭环极点闭环传函584.5参数根轨迹系统性能指标：稳态误差：I型系统，斜坡输入时 584.5参数根轨迹系统性能指标：594.5参数根轨迹

单位阶跃响应单位斜坡响应594.5参数根轨迹单位阶跃响应604.5参数根轨迹用根轨迹分析自动控制系统的方法和步骤:⑴根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则绘制出系统的根轨迹图。⑵由根轨迹在s平面上的分布情况分析系统的稳定性。如果全部根轨迹都位于s平面左半部，则说明无论开环根轨迹增益Kg为何值，系统都是稳定的；如根轨迹有一条（或一条以上）的分支全部位于s平面的右半部，则说明无论开环根轨迹增益Kg如何改变，系统都是不稳定的；如果有一条（或一条以上）的根轨迹从s平面的左半部穿过虚轴进入s面的右半部（或反之），而其余的根轨迹分支位于s平面的左半部，则说明系统是有条件的稳定系统，即当开环604.5参数根轨迹用根轨迹分析自动控制系统的方法和步骤:614.5参数根轨迹

根轨迹增益Kg大于临界值时系统便由稳定变为不稳定（或反之）。此时，关键是求出开环根轨迹增益Kg的临界值。这为分析和设计系统的稳定性提供了选择合适系统参数的依据和途径。⑶根据对系统的要求和系统的根轨迹图分析系统的瞬态响应指标。对于一阶、二阶系统，很容易在它的根轨迹上确定对应参数的闭环极点，对于三阶以上的高阶系统，通常用简单的作图法（如作等阻尼比线等）求出系统的主导极点（如果存在的话），将高阶系统近似地简化成由主导极点（通常是一对共轭复数极点）构成的二阶系统，最后求出其各项性能指标。这种分析方法简单、方便、直观，在614.5参数根轨迹 根轨迹增益Kg大于临界值时系统便由稳624.5参数根轨迹

满足主导极点条件时，分析结果的误差很小。如果求出离虚轴较近的一对共轭复数极点不满足主导极点的条件，如它到虚轴的距离不小于其余极点到虚轴距离的五分之一或在它的附近有闭环零点存在等，这时还必须进一步考虑和分析这些闭环零、极点对系统瞬态响应性能指标的影响。返回624.5参数根轨迹 满足主导极点条件时，分析结果的误差很63小结本章介绍了根轨迹法要求掌握根轨迹绘制规则，能熟练地绘制根轨迹概略图注意应用根轨迹绘制规则时，将系统特征方程写成如下形式：63小结本章介绍了根轨迹法64小结根轨迹是用较简单的等效开环传递函数，来分析研究闭环系统的特性；它是一种几何方法，形象直观；根轨迹是以开环传递函数中的某个参数（一般是根轨迹增益）为参变量而画出的闭环特征方程式的根轨迹图。根据系统开环零.极点在s平面上的分布，按照绘制规则，就能方便的画出根轨迹的大致形状；64小结根轨迹是用较简单的等效开环传递函数，来分析研究闭环系65小结根轨迹图不仅使我们能直观的看到参数的变化对系统性能的影响，而且还可以用它求出指定参变量或指定阻尼比相对应的闭环极点。根据确定的闭环极点和已知的闭环零点，就能计算出系统的输出响应及其性能指标，从而避免了求解高阶微分方程的麻烦。返回65小结根轨迹图不仅使我们能直观的看到参数的变化对系统性能的66Homework1、某反馈系统，其开环传递函数为：绘制K增大时系统根轨迹；求实轴上的分离点；确定渐近中心；计算分离点处增益K的值。2、 某单位反馈系统，其前向传递函数为：

绘制K增大时系统根轨迹；求出使系统产生振荡的K的取值范围。66Homework1、某反馈系统，其开环传递函数为：673、某单位反馈系统，其前向传递函数为：画出闭环系统根轨迹的渐近线；求离开复极点的出射角；确定增益的取值，使系统有两个根位于虚轴之上；画出根轨迹图。4、某反馈系统的开环传递函数为：求实轴上的分离点和汇合点；当复根的实部为-2时，求出系统增益和闭环根；画出系统的根轨迹图。

673、某单位反馈系统，其前向传递函数为：685、某单位反馈系统的开环传递函数为：试画出时系统根轨迹。6、某单位反馈系统的开环传递函数为：试求：实轴上的分离点和与该点对应的增益K;当有两个闭环特征根位于虚轴上时，系统的增益值和特征根；K=6时的闭环特征根；画出根轨迹图。

685、某单位反馈系统的开环传递函数为：697、某控制系统如图E7所示，控制器的传递函数Gc(s)如下所示，试分别画出系统的根轨迹概略图(不用精确绘制)：一

一一一

图E7697、某控制系统如图E7所示，控制器的传递函数Gc(s)如西南交通大学电气工程学院2009西南交通大学71第四章根轨迹法4.1引言4.2根轨迹法的基本概念4.3绘制根轨迹的基本规则4.4绘制根轨迹举例4.5参数根轨迹本章小结2第四章根轨迹法4.1引言724.1引言系统的稳定性←闭环极点(系统的特征根)系统响应特性←闭环极点和零点系统的稳定性系统响应的大致特性1948年，W.R.Evans提出了根轨迹法： 当开环增益或别的某个参数变化时特征根的轨迹图——找特征根的简单的图解法。闭环极点决定了返回34.1引言系统的稳定性←闭环极点(系统的特征根)系统734.2根轨迹的基本概念反馈控制系统的闭环传函(4.1)特征方程(4.2)开环传函

Kg

:传递系数(开环根轨迹增益)－zoi

:开环(传函的)零点,i=1,2,…,m.－poj:开环(传函的)极点,j=1,2,..,n.44.2根轨迹的基本概念反馈控制系统的闭环传函(4.1)特744.2根轨迹的基本概念于是，特征方程(4.3)根轨迹法：根据开环传函(开环零点、极点)，找出开环增益(或别的某个参数)由0→∞变化时，闭环系统特征根的轨迹。根轨迹法的基本思想：开环传函等于-1的s值，必为特征根。54.2根轨迹的基本概念于是，特征方程(4.3)根轨迹法：754.2根轨迹的基本概念幅角条件与幅值条件(4.4)特征方程(4.1)即为(4.5)(4.6)开环传函G(s)H(s)为复数，故由(4.4),有满足幅角条件、幅值条件的s值就是特征方程的根，即闭环极点。幅角条件和幅值条件构成根轨迹的基本条件。64.2根轨迹的基本概念幅角条件与幅值条件(4.4)特征方764.2根轨迹的基本概念将特征方程写成：(4.7)(4.8)幅角条件74.2根轨迹的基本概念将特征方程写成：(4.7)(4.8774.2根轨迹的基本概念将特征方程写成：(4.7)(4.9)(4.7)幅值条件84.2根轨迹的基本概念将特征方程写成：(4.7)(4.9784.2根轨迹的基本概念由(4.8)和(4.9)给出了根轨迹的基本原理：以Kg为可变参数，s平面上满足幅角条件的点构成的曲线就是根轨迹；根轨迹上各点的Kg值可由幅值条件确定。由(4.8)和(4.9)也反映了根轨迹的几何意义。故在分析和绘制根轨迹时，幅角和幅值应可进行图解测量，故：

横坐标和纵坐标采用同样的尺度等分94.2根轨迹的基本概念由(4.8)和(4.9)给出了根轨794.2根轨迹的基本概念

<例4.1>:绘制某二阶系统 的根轨迹图；特征方程:特征根:K由0→1变化时,特征根s1,s2:K=0，s1=0,s2=-2；K=1，s1=s2=-1(z=1)；0<K<1，(z>1),s1,s2:为两个实根104.2根轨迹的基本概念 <例4.1>:绘制某二阶系统804.2根轨迹的基本概念此时,根轨迹为过(－1,0)点的垂线1<K<∞,(0<z<1),s1,s2:为共轭复根：114.2根轨迹的基本概念此时,根轨迹为过(－1,0)点的814.2根轨迹的基本概念根轨迹上的任何一点均满足幅角条件：对于任意一点s1,显然∠s1＋∠(s1＋2)＝180°对于s1=-1+jw,对应的K值：返回124.2根轨迹的基本概念根轨迹上的任何一点均满足幅角条件824.3绘制根轨迹的基本规则开环传函(开环零点、极点)→闭环系统根轨迹根轨迹性质→作图规则→特殊点→根轨迹(手工绘制根轨迹概略图)特征方程(4.2)绘制根轨迹时，将开环传递函数写成：134.3绘制根轨迹的基本规则开环传函(开环零点、极点)834.3绘制根轨迹的基本规则特征方程写成：(4.7)(4.10)或考察Kg:0→∞(Kg≥0),闭环系统特征根的轨迹。144.3绘制根轨迹的基本规则特征方程写成：(4.7)(4844.3绘制根轨迹的基本规则规则1：根轨迹是连续的，且对称于实轴；规则2：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；根轨迹的分支数(条数)为max{n,m}，n为开环(有限)极点数，m为开环(有限)零点数；

起点:Kg=0,由(4.7),

s=-poj,j=1,…,n;

即Kg=0时，闭环极点

=开环极点

终点:Kg→∞,由(4.7),

s=-zoi,i=1,…,m;

即Kg

→∞时，闭环极点

=开环零点154.3绘制根轨迹的基本规则规则1：根轨迹是连续的，且对854.3绘制根轨迹的基本规则

n>m时,

m个开环有限零点决定了m个闭环极点的位置;另(n-m)个闭环极点趋向于无穷远(开环无限零点).

注:如果包括无限零点,则G(s)H(s)的零点数和极点数相等.特征方程164.3绘制根轨迹的基本规则 n>m时,特征方程864.3绘制根轨迹的基本规则m个闭环极点=m个开环(有限)零点

另(n-m)个闭环极点:

即,另(n-m)个无限零点决定了(n-m)个闭环极点的位置.特征方程174.3绘制根轨迹的基本规则m个闭环极点=m个开环(874.3绘制根轨迹的基本规则

一般n≥m

，根轨迹的分支数应为闭环极点数。

闭环极点数

=开环极点数n=系统阶次n

在绘制其它可变参数的根轨迹时，可能出现等效传函的m>n的情况，这时将有(m-n)条根轨迹起始于(m-n)个开环无限极点。184.3绘制根轨迹的基本规则 一般n≥m，根轨迹的分884.3绘制根轨迹的基本规则推证：开环共轭复数零、极点到实轴上的点的幅角和为2kp，因此对实轴上的根轨迹的幅角条件无影响;实轴上根轨迹的左侧的开环零、极点到实轴上的点的幅角均为0°，因此对实轴上的根轨迹的幅角条件也无影响；规则3：实轴上根轨迹段存在的区间的右侧，开环零点和开环极点之和为奇数。194.3绘制根轨迹的基本规则规则3：实轴上根轨迹段存在的894.3绘制根轨迹的基本规则设Nzo=实轴上根轨迹右侧的开环零点数

Npo=实轴上根轨迹右侧的开环极点数规则3：实轴上根轨迹段存在的区间的右侧，开环零点和开环极点之和为奇数。推证：204.3绘制根轨迹的基本规则规则3：实轴上根轨迹段存在的904.3绘制根轨迹的基本规则规则4：根轨迹的渐近线。根轨迹有|n-m|条分支沿渐近线趋于(或始于)无穷远，这些渐近线的倾角fA及与实轴的交点sA分别为:(4.11)(4.12)214.3绘制根轨迹的基本规则规则4：根轨迹的渐近线。根轨914.3绘制根轨迹的基本规则推证： 由(4.11)可知，不重复的渐近线只有n-m条。

n>m时(n<m时情况类似)

当Kg

→∞，有n-m条根轨迹趋向于无限零点(s→∞)，对无限远的闭环极点sk→∞，开环有限零点、极点都相当于汇集到一点，-zoi,-poj到sk的矢量幅角、幅值都相同，s→sk，趋近的渐近线为一条直线，(4.13)渐近线方程：224.3绘制根轨迹的基本规则推证：(4.13)渐近线方程924.3绘制根轨迹的基本规则推论：渐近线倾角fA234.3绘制根轨迹的基本规则推论：934.3绘制根轨迹的基本规则渐近线与实轴交点sA(4.14)(4.15)注意到作多项式长除,(4.14)可写为推证：244.3绘制根轨迹的基本规则(4.14)(4.15)注意944.3绘制根轨迹的基本规则

又,渐近线上,对于s=sk→∞,相当于有-zoi=-poj=sA

则(4.16)由二项式定理254.3绘制根轨迹的基本规则 又,渐近线上,对于s=s954.3绘制根轨迹的基本规则

比较(4.15)和(4.16)，可知(4.16)(4.15)264.3绘制根轨迹的基本规则(4.16)(4.15)964.3绘制根轨迹的基本规则定义:

两条(或两条以上,成对)根轨迹在某点相遇后又分开的点称为根轨迹的分离点(或汇合点,可统称为分离点)。 实轴上的根轨迹，相邻开环极点之间、相邻开环零点之间必存在分离点。相邻开环零点和极点之间，或不存在分离点，或存在成对的分离点。规则5：根轨迹的分离点，可由下式给出(4.17)274.3绘制根轨迹的基本规则规则5：根轨迹的分离点，可由974.3绘制根轨迹的基本规则分离点处，特征方程为重根。因此，对于特征方程

F’(s)是分离点的必要条件，不是充分条件。由(4.17)的两个条件确定（Kg≥0的）分离点。284.3绘制根轨迹的基本规则分离点处，特征方程为重根。因984.3绘制根轨迹的基本规则规则6：根轨迹与虚轴的交点为闭环系统的临界稳定点。确定与虚轴交点和临界增益值的方法：利用Routh判据，确定临界稳定点；特征方程中，代入s=jw令实部和虚部分别等于0，解出与虚轴交点±w和临界增益值294.3绘制根轨迹的基本规则规则6：根轨迹与虚轴的交点为994.3绘制根轨迹的基本规则规则7：根轨迹的出射角和入射角 根轨迹以开环复极点-pol出发的出射角为： 到达开环复零点-zol的入射角为：(4.18)(4.19)304.3绘制根轨迹的基本规则规则7：根轨迹的出射角和入射1004.3绘制根轨迹的基本规则例如：要确定开环极点-po1处的出射角设点s在根轨迹上，则由此可推理得到公式(4.18)和(4.19)314.3绘制根轨迹的基本规则例如：要确定开环极点-po11014.3绘制根轨迹的基本规则出射角和入射角也可用下面的公式给出：(4.21)入射角：(4.20)出射角：324.3绘制根轨迹的基本规则出射角和入射角也可用下面的公1024.3绘制根轨迹的基本规则规则8：根轨迹的平衡性(走向)(n-m≥2)

当n-m≥2时，闭环极点之和为常数。因而，随着Kg的增大，一些根轨迹分支左行时，必有根轨迹另一些右行。由特征方程又，当n>m,334.3绘制根轨迹的基本规则规则8：根轨迹的平衡性(走向1034.3绘制根轨迹的基本规则

当n-m≥2时，

因此，随着Kg的增大，一些特征根增大，另一些特征根必减小。344.3绘制根轨迹的基本规则 当n-m≥2时， 因此，随1044.3绘制根轨迹的基本规则根据这些规则，可确定根轨迹的一些特殊点。由这些特殊点可绘制出根轨迹的概略图。根轨迹的其它点，根据幅角条件确定。虚轴附近的根轨迹较为重要。可按需要补充一些点，以较精确地绘制出这部分根轨迹。返回354.3绘制根轨迹的基本规则根据这些规则，可确定根轨迹的1054.4绘制根轨迹举例

<例4.2>

单位反馈控制系统的开环传函如下,

试求:

(1)根轨迹图; (2)共轭主导极点z=0.5时的K值。解特征方程:幅角条件:幅值条件:364.4绘制根轨迹举例 <例4.2>单位反馈控制系1064.4绘制根轨迹举例实轴上的根轨迹

渐近线倾角:与实轴交点:374.4绘制根轨迹举例实轴上的根轨迹 渐近线1074.4绘制根轨迹举例分离点 384.4绘制根轨迹举例分离点 1084.4绘制根轨迹举例与虚轴的交点特征方程:利用Routh判据，令辅助方程等于0

令6-K=0,得到K=6；令辅助方程3s2+K=0与虚轴的交点此时，K=6(K=6时的另一个实根s=-3)394.4绘制根轨迹举例与虚轴的交点令6-K=0,得到K=1094.4绘制根轨迹举例为了在虚轴附近较精确地绘制根轨迹图,根据幅角条件在虚轴附近补点:404.4绘制根轨迹举例为了在虚轴附近较精确地绘制根轨迹图1104.4绘制根轨迹举例描出根轨迹;

确定z=0.5时的共轭复数主导极点

该极点的向量与负实轴的夹角:414.4绘制根轨迹举例描出根轨迹;确定z=0.5时的1114.4绘制根轨迹举例

由图中读出，这时闭环主导极点为:

对应的K值:

并且可以求出对应的第三个极点位置：424.4绘制根轨迹举例 由图中读出，这时闭环主导极点为:1124.4绘制根轨迹举例

<例4.3>特征方程为 试求:根轨迹。

解：写出等效特征方程：等效开环传递函数为：开环极点：无有限开环零点.434.4绘制根轨迹举例 <例4.3>特征方程为解：写1134.4绘制根轨迹举例实轴上的根轨迹

分离点444.4绘制根轨迹举例实轴上的根轨迹 分离点1144.4绘制根轨迹举例试探求解三阶以上的方程的根：代入特征方程检验：454.4绘制根轨迹举例试探求解三阶以上的方程的根：代入特1154.4绘制根轨迹举例实轴上的根轨迹

分离点464.4绘制根轨迹举例实轴上的根轨迹 分离点1164.4绘制根轨迹举例

渐近线倾角:与实轴交点:474.4绘制根轨迹举例 渐近线1174.4绘制根轨迹举例与虚轴的交点特征方程:令代入特征方程,得到实部和虚部的表达式，令实部和虚部分别为零：

484.4绘制根轨迹举例与虚轴的交点1184.4绘制根轨迹举例出射角494.4绘制根轨迹举例出射角1194.4绘制根轨迹举例该根轨迹对称于过(-2,0)点的垂线：

可见由特征方程504.4绘制根轨迹举例该根轨迹对称于过(-2,0)点的垂1204.4绘制根轨迹举例一些常见的开环零极点及其对应的概略根轨迹图返回514.4绘制根轨迹举例一些常见的开环零极点及其对应的概略1214.5参数根轨迹

当以参数X为变数，0≤X<∞，作根轨迹时，需要将特征方程写成：(4.22)(4.23)然后，可得：

即可用前面讨论的作根轨迹的规则作出以X为变数的特征方程的根轨迹。524.5参数根轨迹 当以参数X为变数，0≤X1224.5参数根轨迹

<例4.4>:小功率位置随动系统结构如图所示：分析伺服电动机的机电 时间常数Tm变化时，系 统极点的分布和暂态特 性的变化规律；(2)当开环增益K=29和qi(t)=t时，若希望将闭环极点配置为-p1,2=-17.25±j26.521,Tm应该取为何值，并计算这时系统的性能。534.5参数根轨迹 <例4.4>:小功率位置随动系统结1234.5参数根轨迹

<例4.4>:小功率位置随动系统结构如图所示:解：(1)Tm为可变参数时的根轨迹系统的特征方程：写成：即作以Tm(0≤Tm

<∞)为变参数的根轨迹。544.5参数根轨迹 <例4.4>:小功率位置随动系统结1244.5参数根轨迹分离点

根轨迹是一个直径为2K的圆(实轴外)。554.5参数根轨迹分离点根轨迹是一个直径为2K的圆1254.5参数根轨迹暂态特性分析:

分离点为s=-2K,对应的Tm值由根轨迹可知：对于0<Tm

<∞，闭环系统稳定；对于0<Tm

<1/(4K)，为过阻尼二阶系统；对于1/(4K)<Tm

<∞，为欠阻尼二阶系统，且随着Tm

增大，z减小；当Tm=1/(4K)时，为临界阻尼；564.5参数根轨迹暂态特性分析:由根轨迹可知：1264.5参数根轨迹开环增益

K=29,闭环极点

-p1,2=-17.25±j26.521闭环传函574.5参数根轨迹开环增益K=29,闭环极点闭环传函1274.5参数根轨迹系统性能指标：稳态误差：I型系统，斜坡输入时 584.5参数根轨迹系统