《概率论与数理统计（第二版）》第二章随机变量与数字特征

概率论与数理统计

随机变量与数字特征表2—1数学第一组858691879080959698758092859593第二组8075838610080829088908493809890表2—2英语第一组899086807977878579848476758178第二组827185969987626897909173659074学习成绩的比较

随机变量与数字特征第二章随机变量与数字特征2.1两类随机变量例1在10件同类型产品中,有3件次品,现任取2件,用一个变量X表示“2件中的次品数”,X的取值是随机的,可能的取值有0,1,2.显然“X=0”表示次品数为0,它与事件“取出的2件中没有次品”是等价的.可以看出,“X=1”等价于“恰好有1件次品”,“X=2”等价于“恰好有2件次品”.于是由古典概率可以求出:

随机变量与数字特征

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随机变量与数字特征例3在“测试电子管寿命”这一试验中,用Z表示它的寿命(单位为小时),则Z的取值随着试验结果的不同而在连续区间(0,+∞)上取不同的值,当试验结果确定后,Z的取值也就确定了.

上面三个例子中的变量X,Y,Z具有下列特征:(1)取值是随机的,事前并不知道取到哪一个值;(2)所取的每一个值,都相应于某一随机现象;(3)所取的每个值的概率大小是确定的.

随机变量与数字特征2.1.1随机变量的概念

一般来说,如果一个变量,它的取值随着试验结果的不同而变化着,当试验结果确定后,它所取的值也就相应地确定了,这种变量称为随机变量.随机变量可用大写字母X,Y,Z,…(或希腊字母ξ,η,ζ,…)等表示.

随机变量与数字特征

随机变量与数字特征思考：你会用随机变量来描述“机床发生故障”和“考试是否不及格”等随机现象吗？

对一个随机变量不仅要了解它的取值,而且要了解它取值的规律,即取值的概率.通常把X取值的概率称为X的分布.

随机变量分为两类:离散型随机变量和连续型随机变量.

随机变量与数字特征2.1.2离散型随机变量定义2.1设随机变量X的所有可能取值为x1,x2,…,xk,…,并且X的取值相对应的概率分别为

pk=P(X=xk),k=1,2,…则称X为离散型随机变量.称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布列,简称分布

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随机变量与数字特征例2已知某地区人群患有某种疾病的概率是0.20,某种新药对该病有防治作用,现了解到有15个人服用该药后都没有得该病,从这个结果来看,我们对该种新药的效果可以下什么结论?

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图2—2正态分布

随机变量与数字特征

正态分布是一个比较重要的分布，是因为：自然现象和社会现象中,大量的随机变量,如:测量误差;灯泡寿命;农作物的收获量;人的身高、体重;射击时弹着点与靶心的距离等都可以认为服从正态分布.只要某个随机变量是大量相互独立的随机因素的和,而且每个因素的个别影响都很微小,那么这个随机变量也可以认为服从或近似服从正态分布.问题4：某班学生某门课程的考试成绩服从什么分布？

随机变量与数字特征

若正态分布N(μ,σ2)中的两个参数μ=0,σ=1时,相应的分布N(0,1)称为标准正态分布.标准正态分布的图形关于y轴对称,如图2—3所示.

图2—3标准正态分布

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图2—4

Φ(x)的含义

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图2—5

Φ(x)的含义

随机变量与数字特征标准正态分布数值表例5查表求Φ(1.65),Φ(0.21),Φ(-1.96).解Φ(1.65)=0.9505.Φ(0.21)=0.5832.

因为

Φ(-x)=1-Φ(x)于是Φ(-1.96)=1-Φ(1.96)=1-0.9750=0.0250.

随机变量与数字特征例6设随机变量X~N(0,1),求:P(X<1.65),P(1.65<X<2.09),P(X≥2.09).解

P(X<1.65)=Φ(1.65)=0.9505

P(1.65<X<2.09)=Φ(2.09)-Φ(1.65)=0.9817-0.9505=0.0312

P(X≥2.09)=1-P(X<2.09)=1-0.9817=0.0183

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随机变量与数字特征例9已知某车间工人完成某道工序的时间X服从正态分布N(10,32),问:(1)从该车间工人中任选一人,其完成该道工序的时间不到7分钟的概率;(2)为了保证生产连续进行,要求以95%的概率保证该道工序上工人完成工作时间不多于15分钟,这一要求能否得到保证?

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随机变量与数字特征2.3分布函数与函数的分布2.3.1随机变量的分布函数定义2.3设X是一个随机变量,称函数

F(x)=P(X≤x)为随机变量X的分布函数.分布函数也记作FX(x).

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随机变量与数字特征解当x<-1时,因为事件{X≤x}=⌀,所以

F(x)=0当-1≤x<0时,有

F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)=0.3当0≤x<1时,有

F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)+P(X=0)=0.3+0.6=0.9

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随机变量与数字特征2.4数学期望与方差2.4.1期望与方差的概念1.数学期望(1)离散型随机变量的数学期望.设随机变量X的取值为x1,…,xk,…,相应的概率为p1,…,pk,…,即

P(X=xk)=pk,k=1,2,…很明显,xk出现的概率pk越大,X取这个值的可能性也就越大,那么它在X的代表性值中占的分量也应该大

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随机变量与数字特征例3设随机变量X的分布列是

P(X=1)=p,P(X=0)=q

(p+q=1)求D(X).解

E(X)=1·p+0·q=p

E(X2)=12·p+02·q=p

D(X)=E(X2)-[E(X)]2=p-p2=pq

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随机变量与数字特征2.4.2期望与方差的主要