中考数学相似三角形专题复习

2020年中考数学相像三角形专题复习2020年中考数学相像三角形专题复习19/19蒄PAGE19螀螀蒁莄蒇螄薄羈膁聿衿羃膆蚄薄艿薂蚁2020年中考数学相像三角形专题复习2020年中考数学相像三角形专题复习

选择题

如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F

为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则以下结论中必然正确的选项是

（C）。

ADAEAGAEBDCEAGACAAB=ECB.GF=BDC.AD=AEDAF=EC2.如图，△ABC中，AD是中线，BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为（B）

A.4B42C6D43

如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的地址，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC=3，则△ABC搬动的距离是（D）A

3

2

B

3

3

C

6D3-622

如图，在□ABCDK中，AC，BD订交于点O，点E是OA的中点，连

接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4,则以下结论：①AF

FD

1=2;

②

S△BCE=36;

③

S△AEB=12;

④△AEF∽△ACD其中正确的

是（D）

A①②③④

B①④

C②③④

D①②③

如图，已知在△ABC，P为AB上一点，连接CP，以下各条件中不

能判断△

ACP∽△ABC的是（

D

）

A.∠ACP=∠BB.

∠ACB=∠APCC.

AC

=AB

D.

AC

=CP

AP

AC

AB

BC

如图，若A、B、C、D、E、F、G、H、O都是5×7方格纸中的格点，为使△DME∽△ABC,则点M应是F、G、H、O四点中的（C）

6.如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线

截△ABC，使截得的三角形与△ABC相像，满足这样的条件的直线共

有（C）

条条条条

7.如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AB=3，AC=4,P是BC边上一点，作PE

AB，于E，PD⊥AC于D，设PB=x，则PD+PE=()

A.X+3xC.7D.12x-12x2552525

8.在同一时辰，身高

米的小强在阳光下的影长为

米，一棵大

树的影长为

米，则树高为（

C）

米

B.

米

C.米

D.10

米

如图，每个小正方形边长均为1，则以下列图中三角形（阴影部分）与左图中△ABC相像的是（B）

9.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，

若BC=6，则DE等于（C）

B.4C.3D.2

10.如图，小东用长为米的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，

搬动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，

竹竿与这一点相距8米，与旗杆相距22

米，则旗杆的高为（B）

C.8mD.7m

填空题

1.如图，DE∥BC,AD:DB=2:3,则△ADE与△ABC的周长之比为_2:5___;

面积之比为___4:25___.

2.在△ABC中,AB=6,AC=5,点D在边AB上,且AD=2,点E在边AC上,当AE=_12_或_15时,以A,D,E为极点的三角形与△ABC相像.53

3.如图,直线a∥b∥c,直线l1,l2与这三条平行线分别交于A,B,C和点D,E,F若

AB:BC=1:2,DE=3,则EF

的长为

4.如图,△ABC中,A,B两个极点在x

轴的上方,点C的坐标是(-1,0),以点C为位似中心,在x轴下方作△

ABC的位似图形△A`B`C`,并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点

B的对应点B`的横坐标是2,则点B的横坐标是

05.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90,AB=15,AC=20,点D在边AC上,AD=5,DE⊥BC于点E,连接AE,则△ABE的面积等于___78

在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，△DOE的面积是2，△D0A

的面积___4__

7.如图，已知△ABC的面积是3的等边三角形，△ABC~△ADE，AB=2AD,

0与DE订交于点F，则△AEF的面积∠BAD=45,AC等于____3-3__（结果保留根号）4

如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请增加一个适

当的条件，使△ABC~△ACD,____∠ACD=∠ABD____

在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使⊿CBF∽⊿CDE，则BF的长为

15.在直角坐标中,已知点A(-2,0),B(0,4),C(0,3),过点C的直线交x

轴于点D,使得以D,O,C为极点的三角形与∽⊿AOB相像,这样的直线

最多可以作___4_条.

三.解答题

如图，在锐角三角形ABC中，点D分别在边AC,AB上，AG⊥DE于

点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.

求证：△ADE≌△ABC;

若AD=3,AB=5,求AF的值。AG

解：(1)∵AG⊥DE，AF⊥DE，

0∴∠AFE=∠AGC=90

∵∠EAF=∠GAC,

∴∠AED=∠ACB,

∵∠EAD=∠BAC,

∴△ADE∽△ABC

由(1)可知△ADE∽△ABC，

AD=AE=3,ABAC5

0由(1)知∴∠AFE=∠AGC=90

∴∠EAF=∠CAG,

∴△EAF∽△CAG,AF=AE,∴AF=3AGACAG5

如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC

三个极点分别为A(-1,2),B(2,1),

C(4,5).

画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1;

以原点O为位似中心，在轴的上方画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC

位似且位似比为2,并求出△A2B2C2的面积.

解：(1)以下列图，△A1B1C1就是所求三角形；

以下列图，△A2B2C2就是所求三角形，

A(-1,2),B(2,1),C(4,5)，△A2B2C2与△ABC位似且位似比为2,

A2(-2,4),B2(4,2),C2(8,10).

S△A2B2C2=8×10-1×6×2-1×4×8-1×6×10=28222

如图，在□ABCD中过点A作AE⊥DC,垂足为E,连接BE,F为上一点,

且∠AFE=∠D.

求证:△ABF∽△BEC

若AD=5,AB=8,sin∠D=45,求AF的长.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD,AD∥BC,AD=BC,

0∴∠D+∠C=180,∠ABF=∠BEC,

0∵∠AFB+∠AFE=180,

∴∠C=∠AFB,

∴△ABF∽△BEC.

(2)解：∵AG⊥DE，AB∥CD,

0∴∠AED=∠BAE=90。

在Rt△ABE中，依照勾股定理得：BE=AB2+AE2=42+82=45.

在Rt△ADE中，AE=AD·sin∠D=5×4=4，5

BC=AD=5,

由(1)得：△ABF∽△BEC，

∴AF=AB,即AF=8,BCBE545解得：AF=520,4.在Rt△ABC中,∠ACB=90点D与点B在AC同侧,∠DAC>∠BAC,且DA=DC,过点B作BE∥DA交DC于点E,M为AB的中点,连接MD,ME.

0(1)如图1,当∠ADC=90时，线段MD与ME的数量关系是__MD=ME___;

0(2)如图2,当∠ADC=60时，试试究线段MD与ME的数量关系,并证明你的结论;

ME(3)如图3,当∠ADC=α时,求MD的值.

解：（1）如图1，延长EM交AD于F,

BE∥DA,∴∠FAM=∠EBM,

AM=BM,∠AMF=∠BME,

∴△AMF≌△BME,

AF=BE,MF=ME,

0∵DA=DC,∠ADC=90,0∴∠BED=∠ADC=90,

0∠ACD=45,

0∵∠ACB=90,0∴∠ECB=45,

0∴∠EBC=∠BED-∠ECB=45=∠ECB,

EC=BE,

AF=CE,

DA=DC,

DF=DE,

DM⊥EF,DM均分∠ADC,

0∴∠MDE=45,

MD=ME.

(2)MD=3ME,原由：

如图2，延长EM交AD于F，

BE∥DA,

∴∠FAM=∠EBM,

AM=BM,∠AMF=∠BME,

∴△AMF≌△BME,∴AF=BE,MF=ME,

0∵DA=DC,∠ADC=60,

00∴∠BED=∠ADC=60,∠ACD=60,0∵∠ACB=90,00∴∠ECB=30,∴∠EBC=∠BED-∠ECB=30=∠ECB,∴EC=BE,∴AF=CE,∵DA=DC,∴DF=DE,∴DM⊥EF,DM均分∠ADC,0∴∠MDE=30,ME3在Rt△MDE中，tan∠MDE==MD3∴MD=3ME.

(3)如图3，延长EM交AD于F，

∵BE∥DA,

∴∠FAM=∠EBM,

∵AM=BM,∠AMF=∠BME,

∴△AMF≌△BME,

∴AF=BE,MF=ME,

延长BE交AC于点N，

∴∠BNC=∠DAC,

∵DA=DC,∴∠DCA=∠DAC,

0∵∠ACB=90,∴∠ECB=∠EBC,∴EC=BE,∴AF=CE,∴DF=DE,∴DM⊥EF,DM均分∠ADC,∴∠MDE=α,∴∠MDE=α2MEα在Rt△MDE中，tan∠MDE==tanMD2∴ME=tanαMD.2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段

AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰幸好同素来线上，此时作P′E⊥AC于点E．

1）求证：∠CBP=∠ABP；

2）求证：AE=CP；

3）当，BP′=5时，求线段AB的长．

解：（1）证明：∵AP′是AP旋转获取，

AP=AP′，

∴∠APP′=∠AP′P，

∵∠C=90°，AP′⊥AB，

∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠ABP；

（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB

于D，

∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，

∴CP=DP，

∵P′E⊥AC，

∴∠EAP′+∠AP′E=90°，

又∵∠PAD+∠EAP′=90°，

∴∠PAD=∠AP′E，

在△APD和△P′AE中，

∴△APD≌△P′AE（AAS），

∴AE=DP，

，

AE=CP；

（3）解：∵=，

∴设CP=3k，PE=2k，

则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，

在Rt△AEP′中，P′E==4k，

∵∠C=90°，P′E⊥AC，

∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠EPP′=90°，∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠EP′P，

又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，

∴△ABP′∽△EPP′，

∴=，

即=，

解得P′A=AB，

在Rt△ABP′中，AB2′22′，+PA=BP即AB2+AB2=（5）2，

解得AB=10．

如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=

BAC．

1）求证：PA为⊙O的切线；

2）若OB=5，OP=，求AC的长．

解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠B=90°．

又∵OP∥BC，

∴∠AOP=∠B，

∴∠BAC+∠AOP=90°．

∵∠P=∠BAC．

∴∠P+∠AOP=90°，

∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．

又∵OA是的⊙O的半径，

∴PA为⊙O的切线；

（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，

∴OA=OB=5．

又∵OP=，

∴在直角△APO中，依照勾股定理知PA=

由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．

∵∠BAC=∠P，

∴△ABC∽△POA，

=，

=．

=，

解得AC=8．即AC的长度为8．

7.在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．

1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．

2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．

解：（1）证明：如图1，

在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，

∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．

AC：AB=1：2，∴AB=2AC，

点E为AB的中点，∴AB=2BE，∴AC=BE．

在△ACD与△BEF中，

，

∴△ACD≌△BEF，

CD=EF，即EF=CD；

2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，

∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，

∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEH=90°，

∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH，

∴EF：EG=EQ：EH．

∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B=30°．

在△BEQ中，∵∠BQE=90°，

sin∠B==，

EQ=BE．

在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，

cos∠AEH==，

EH=AE．

∵点E为AB的中点，∴BE=AE，

EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：．

8.如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，

BD⊥BE，AD=BC．

1）求证：AC=AD+CE；

2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接