线性代数12矩阵的运算(崔丽鸿)课件

矩阵的运算

矩阵的运算

1

在这一讲，我们重点介绍矩阵的运算1.2.1矩阵的加法1.2.2矩阵的数乘在这一讲，我们重点介绍矩阵的运算1.2.1矩阵的加为了讨论矩阵的运算，先给出同型矩阵与矩阵相等的概念：1.两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.2.两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元素相等，即

则称矩阵A

与

B相等，记作A=B.例如：与为同型矩阵.为了讨论矩阵的运算，先给出同型矩阵与矩阵相等的概念：1.两个【例1.2】设解:已知A=B,求x,y,z.【例1.2】设解:已知A=B,求x,y,z.4那么这四位同学在这两天的总餐费花销可以表示为如果引例1.1中：某宿舍四位同学在星期一和星期二的餐费花销用矩阵表示为仍是一个矩阵，其中的数就是A1和A2中对应的数相加那么这四位同学在这两天的总餐费花销可以表示为如果引例1.1中51.2.1矩阵的加法定义1.2（矩阵的加法）

设两个同型矩阵与定义则称为A与B的和.1.2.1矩阵的加法定义1.2（矩阵的加法）设两个同型矩1.只有同型矩阵才能相加，其结果与原来矩阵同型.例如：注1.只有同型矩阵才能相加，其结果与原来矩阵同型.例如：注交换律结合律其他矩阵加法的运算规律设A、B、C是同型矩阵设矩阵A=(aij)，记－A=(－aij)，称为矩阵A的负矩阵．显然交换律结合律其他矩阵加法的运算规律设A、B、C是同型矩阵1.2.2矩阵的数乘那么这四位同学新的餐费花销表就可以表示为引例1（续）：如果引例1中的宿舍每位同学都在星期一改善伙食，把三餐费用提高1.2倍，仍是一个矩阵，其中的元素就是A1中的每个数乘以1.2

1.2.2矩阵的数乘那么这四位同学新的餐费花销表引例1（定义1.3（矩阵的数乘）

设是一个矩阵，k是一个数定义则称为数k与A的乘积，简称为矩阵的数乘.定义1.3（矩阵的数乘）设是一个矩阵，k是一个数定义则称例如：一个n阶数量阵例如：一个n阶数量阵结合律分配律其他数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.A,B是同型矩阵，是数结合律分配律其他数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来，12引例1.1中的矩阵甲乙丙丁早中晚a1,b1,c1:第2个周一提高餐费的倍数a2,b2,c2:第3个周一提高餐费的倍数早中晚1.2.3矩阵的乘法餐费提高后的矩阵引例1.1中的矩阵甲早中晚a1,b1,c1:第2个周一提1.2.3矩阵的乘法定义1.2（矩阵的乘法）

设两个矩阵与定义则称矩阵为A与B的乘积.其中记为1.2.3矩阵的乘法定义1.2（矩阵的乘法）设两个矩阵与【例1.3】计算下列矩阵的乘积【例1.4】【例1.3】计算下列矩阵的乘积【例1.4】【例1.5】计算下列矩阵的乘积从以上几个例题看出：（1）矩阵乘法不满足交换律，即；或（2）非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即【例1.5】计算下列矩阵的乘积从以上几个例题看出：或（2）非【例1.6】计算下列矩阵的乘积注1.矩阵右乘对角阵，其结果特点【例1.6】计算下列矩阵的乘积注1.矩阵右乘对角阵，【例1.6】计算下列矩阵的乘积续注3.矩阵左乘对角阵，其结果特点【例1.6】计算下列矩阵的乘积续注3.矩阵左乘对角阵，矩阵乘法的运算规律(1)

乘法结合律：(3)

乘法对加法的分配律：(2)

数乘和乘法的结合律：

(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即其中k

是数推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是数量阵aE

与任何同阶方阵都是可交换的.矩阵乘法的运算规律(1)乘法结合律：(3)乘法对加法的定义1.5（方阵的幂）

设A为n阶方阵，k为非负整数.定义A的幂1.2.4方阵的幂与多项式显然思考：下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立定义1.5（方阵的幂）设A为n阶方阵，k为非负整数.定义A1.2.4方阵的幂与多项式定义1.6（方阵的多项式）

设有x的一个k次多项式.设A为n阶方阵，则称为A的k次多项式.【例1.7】设A为n阶方阵，则1.2.4方阵的幂与多项式定义1.6（方阵的多项式）设特别地，设因此特别地，设因此设A为n阶方阵，容易验证二项式展开公式从k个元中取出

j个的组合数是数求一个方阵的方幂的计算量往往很大，有时需要一些特殊的办法．现举例如下：设A为n阶方阵，容易验证二项式展开公式从k个元中取出是【例1.8】求3阶方阵观察矩阵A的特点,将其改写成：的n次幂例1.7中的B：【例1.8】求3阶方阵观察的n次幂例1.71.2.5矩阵的转置与对称定义1.7（矩阵的转置）

设矩阵称矩阵记为为A的转置矩阵即把一个矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵.1.2.5矩阵的转置与对称定义1.7（矩阵的转置）设矩阵例如：转置矩阵的运算性质例如：转置矩阵的运算性质【例1.9】设【解】方法一【例1.9】设【解】方法一【解】方法二【例1.9】设【解】方法二【例1.9】设【例1.10】证明：【证】用数学归纳法可以证明下面的等式由矩阵转置的运算规律可得：【例1.10】证明：【证】用数学归纳法可以证明下面的等式由矩定义1.8（对称矩阵与反对称矩阵）则称A为对称矩阵.（1）若例如：为对称阵.对称阵必是

方阵注则称A为反对称矩阵.（2）若注定义1.8（对称矩阵与反对称矩阵）则称A为对称矩阵.（1）若定义1.8（对称矩阵与反对称矩阵）则称A为对称矩阵.【注】由定义可以得到以下结论:（1）若则称A为反对称矩阵.（2）若（1）对称矩阵和反对称矩阵都是方阵；（2）对称矩阵的和，差，乘积仍是对称矩阵.定义1.8（对称矩阵与反对称矩阵）则称A为对称矩阵.【注】由【例1.11】设n阶方阵A为反对称矩阵，B为对称矩阵.【证】由矩阵转置的运算规律可得：证明：为对称矩阵.【例1.11】设n阶方阵A为反对称矩阵，B为对称矩阵.【§1.2小结1.矩阵的线性运算：2.矩阵的乘法.§1.2小结1.矩阵的线性运算：2.矩阵的乘法.矩阵的运算

矩阵的运算

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在这一讲，我们重点介绍矩阵的运算1.2.1矩阵的加法1.2.2矩阵的数乘在这一讲，我们重点介绍矩阵的运算1.2.1矩阵的加为了讨论矩阵的运算，先给出同型矩阵与矩阵相等的概念：1.两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.2.两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元素相等，即

则称矩阵A

与

B相等，记作A=B.例如：与为同型矩阵.为了讨论矩阵的运算，先给出同型矩阵与矩阵相等的概念：1.两个【例1.2】设解:已知A=B,求x,y,z.【例1.2】设解:已知A=B,求x,y,z.37那么这四位同学在这两天的总餐费花销可以表示为如果引例1.1中：某宿舍四位同学在星期一和星期二的餐费花销用矩阵表示为仍是一个矩阵，其中的数就是A1和A2中对应的数相加那么这四位同学在这两天的总餐费花销可以表示为如果引例1.1中381.2.1矩阵的加法定义1.2（矩阵的加法）

设两个同型矩阵与定义则称为A与B的和.1.2.1矩阵的加法定义1.2（矩阵的加法）设两个同型矩1.只有同型矩阵才能相加，其结果与原来矩阵同型.例如：注1.只有同型矩阵才能相加，其结果与原来矩阵同型.例如：注交换律结合律其他矩阵加法的运算规律设A、B、C是同型矩阵设矩阵A=(aij)，记－A=(－aij)，称为矩阵A的负矩阵．显然交换律结合律其他矩阵加法的运算规律设A、B、C是同型矩阵1.2.2矩阵的数乘那么这四位同学新的餐费花销表就可以表示为引例1（续）：如果引例1中的宿舍每位同学都在星期一改善伙食，把三餐费用提高1.2倍，仍是一个矩阵，其中的元素就是A1中的每个数乘以1.2

1.2.2矩阵的数乘那么这四位同学新的餐费花销表引例1（定义1.3（矩阵的数乘）

设是一个矩阵，k是一个数定义则称为数k与A的乘积，简称为矩阵的数乘.定义1.3（矩阵的数乘）设是一个矩阵，k是一个数定义则称例如：一个n阶数量阵例如：一个n阶数量阵结合律分配律其他数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.A,B是同型矩阵，是数结合律分配律其他数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来，45引例1.1中的矩阵甲乙丙丁早中晚a1,b1,c1:第2个周一提高餐费的倍数a2,b2,c2:第3个周一提高餐费的倍数早中晚1.2.3矩阵的乘法餐费提高后的矩阵引例1.1中的矩阵甲早中晚a1,b1,c1:第2个周一提1.2.3矩阵的乘法定义1.2（矩阵的乘法）

设两个矩阵与定义则称矩阵为A与B的乘积.其中记为1.2.3矩阵的乘法定义1.2（矩阵的乘法）设两个矩阵与【例1.3】计算下列矩阵的乘积【例1.4】【例1.3】计算下列矩阵的乘积【例1.4】【例1.5】计算下列矩阵的乘积从以上几个例题看出：（1）矩阵乘法不满足交换律，即；或（2）非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即【例1.5】计算下列矩阵的乘积从以上几个例题看出：或（2）非【例1.6】计算下列矩阵的乘积注1.矩阵右乘对角阵，其结果特点【例1.6】计算下列矩阵的乘积注1.矩阵右乘对角阵，【例1.6】计算下列矩阵的乘积续注3.矩阵左乘对角阵，其结果特点【例1.6】计算下列矩阵的乘积续注3.矩阵左乘对角阵，矩阵乘法的运算规律(1)

乘法结合律：(3)

乘法对加法的分配律：(2)

数乘和乘法的结合律：

(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即其中k

是数推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是数量阵aE

与任何同阶方阵都是可交换的.矩阵乘法的运算规律(1)乘法结合律：(3)乘法对加法的定义1.5（方阵的幂）

设A为n阶方阵，k为非负整数.定义A的幂1.2.4方阵的幂与多项式显然思考：下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立定义1.5（方阵的幂）设A为n阶方阵，k为非负整数.定义A1.2.4方阵的幂与多项式定义1.6（方阵的多项式）

设有x的一个k次多项式.设A为n阶方阵，则称为A的k次多项式.【例1.7】设A为n阶方阵，则1.2.4方阵的幂与多项式定义1.6（方阵的多项式）设特别地，设因此特别地，设因此设A为n阶方阵，容易验证二项式展开公式从k个元中取出

j个的组合数是数求一个方阵的方幂的计算量往往很大，有时需要一些特殊的办法．现举例如下：设A为n阶方阵，容易验证二项式展开公式从k个元中取出是【例1.8】求3阶方阵观察矩阵A的特点,将其改写成：的n次幂例1.7中的B：【例1.8】求3阶方阵观察的n次幂例1.71.2.5矩阵的转置与对称定义1.7（矩阵的转置）

设矩阵称矩阵记为为A的转置矩阵即把一个矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵.1.2.5矩阵的转置与对称定义1.7（矩阵的转置）设矩