新高中数学(北师大版必修5)同步练习331基本不等式(含答案解析)

3.1基本不等式1．若是a，b∈R，那么a2＋b2____2ab(当且仅当______时取“＝”号)．2．若

a，b都为____数，那么

a＋b2

____ab(当且仅当

a____b时，等号成立

)，称上述不等式为______不等式，其中________称为a，b的算术平均数，______称为a，b的几何平均数．3．基本不等式的常用推论(1)ab≤a＋b2≤a2＋b2(a，b∈R)；22(2)当x>0时，x＋1≥____；当x<0时，x＋1≤______.xxbaba(3)当ab>0时，a＋b≥____；当ab<0时，a＋b≤____.222(4)a＋b＋c____ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．一、选择题1．已知a>0，b>0，则a＋b，ab，a2＋b22ab中最小的是()2，a＋b2A.a＋bB.ab2a2＋b22abC.2D.a＋b2．已知m＝a＋1(a>2)，n＝1x2－2(x<0)，则m、n之间的大小关系是()2a－2A．m>nB．m<nC．m＝nD．m≤n3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有()A．1≤ab≤a2＋b2B．ab<1<a2＋b222C．ab<a2＋b2a2＋b2<ab<12<1D.24．已知正数0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b，222ab，2ab，a＋b，其中最大的一个是()A．a2＋b2B．2abC．2abD．a＋b5．设0<a<b，且a＋b＝1，在以下四个数中最大的是()1A.2B．bC．2abD．a2＋b26．若不等式x2＋ax＋1≥0对所有x∈(0，1]恒成立，则a的最小值为()5A．0B．－2C．－2D．－3二、填空题1有最______值，为________．7．若a<1，则a＋a－1258．若lgx＋lgy＝1，则x＋y的最小值为________．9．已知x，y∈R＋，且满足x＋y＝1，则xy的最大值为________．34x10．若对任意x>0，x2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围为________．三、解答题11．设a、b、c都是正数，求证：bc＋ca＋ab≥a＋b＋c.abc12．a>b>c，n∈N且1＋1≥n，求n的最大值．a－bb－ca－c能力提升1＋a≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()13．已知不等式(x＋y)xyA．8B．6C．4D．214．已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1.求证：a＋b＋c<1＋1＋1.abc1．设a，b是两个正实数，用min(a，b)表示a，b中的较小的数，用max(a，b)表示a，b中的较大的数，则有min(a，b)≤121≤a＋ba2＋b2ab≤2≤2≤max(a，b)．当且仅＋ba当a＝b时，取到等号．2．两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b≥ab都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，2取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝b时，a＋b＝ab；2另一方面：当a＋b＝ab时，也有a＝b.23．1基本不等式答案知识梳理1．≥a＝b2.正≥＝基本a＋bab3．(2)2－2(3)2－2(4)≥2作业设计1．D[方法一特别值法．令a＝4，b＝2，则a＋b8，a2＋b210，2ab82ab最小．＝3，ab＝2＝＝.∴a＋b2a＋b3方法二2ab＝2，由a＋b1＋1ab

≤ab≤a＋b≤222a＋b，可知2ab最小．]1＋122a＋bab2．A[∵m＝(a－2)＋1＋2≥2(a－2)1＋2＝4，n＝22－x2<22＝4.∴m>n.]a－2a－2a＋b2，a≠b，∴ab<1，又∵a2＋b2a＋b3．B[∵ab≤22>2>0，∴a2＋b2a2＋b22>1，∴ab<1<2.]4．D[因为a、b∈(0,1)，a≠b，所以a＋b>222ab，a＋b>2ab，所以，最大的只能是2222a＋b与a＋b之一．而a＋b－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又0<a<1,0<b<1，所以a－5．B[∵ab<a＋b2，∴ab<1，∴2ab<1.242∵a2＋b2a＋ba2＋b21，2>2>0，∴2>221a＋b>2.b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．]6．B[x2＋ax＋1≥0在x∈(0，1]上恒成立?ax≥－x2－1?a≥－x＋1max.x11∵x＋x≥2，∴－x＋x≤－2，∴a≥－2.]7．大－1剖析∵a<1，∴a－1<0，∴－a－1＋1＝(1－a)＋1≥2(a＝0时取等号)，a－11－a∴a－1＋1≤－2，∴a＋1≤－1.a－1

a－18．2剖析

∵lgx＋lgy＝1，∴xy＝10，x>0，y>0，2＋5＝2＋x≥2(x＝2时取等号)．xyx29．3剖析

∵x>0，y>0

且

1＝x＋y≥234

xy，∴xy≤3.当且仅当12

x＝y时取等号．34110.5，＋∞剖析∵x>0，∴x>0，易知a>0.2x＋3x＋1x2＋3x＋1≥1，a1≤x＋1＋3.ax1＋3≥21＝1时取等号)，∵x>0，x＋x·＋3＝5(xxx1≤5.∴a≥1.a5bccaab11．证明∵a、b、c都是正数，∴、、也都是正数．bca＋cab≥2c，cab＋abc≥2a，bca＋abc≥2b，bccaab三式相加得2a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，即bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.12．解∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0.1＋1≥n，a－bb－ca－ca－ca－c∴n≤a－b＋b－c.a－c＝(a－b)＋(b－c)，n≤(a－b)＋(b－c)＋(a－b)＋(b－c)，a－bb－cn≤b－c＋a－b＋2.a－bb－cb－ca－bb－ca－b∵＋≥2()·()a－bb－ca－bb－c2(2b＝a＋c时取等号)．∴n≤4.∴n的最大值是4.1＋a的最小值大于等于9即可，又(x＋y)1axy＋13．C[只需求(x＋y)xy＋y＝1＋a·＋xyxa≥a＋1＋2xy2a＋1，等号成立仅当xy即可，所以(2a＋1a··＝a＋a·＝a)＋2yxyx≥9，即(a)2＋2a－8≥0求得a≥2或a≤－