2023学年度教案-区域和不等式

区域和不等式我们知道，一般来说，一个二元(一次或二次)方程F(x，y)=0在坐标平面上表示一条曲线．该曲线把平面分割为两个部分．这两个部分我们就称为曲线分割平面所得的两个区域．我们又知道，一个点P(x0，y0)若不在曲线上，那么这个点的坐标一定不满足方程F(x，y)=0，即F(x0，y0)＞0或F(x0，y0)＜0．有趣的是曲线分割平面所得的两个区域中，每一个区域内所有的点的坐标同时满足一个特定的不等式(例如F(x，y)＞0)，而另一个区域内所有的点的坐标同时满足另一个不等式(例如F(x，y)＜0)．比如直线x＋y－1=0上方的所有点的坐标都满足x＋y－1＞0，而下方所有点的坐标都满足x＋y－1＜0；抛物线y=x2的内部(包含焦点的区域)的所有点的坐标都满足y＞x2，而外部的所有点的坐标都满足y＜x2．这样，同一区域内的诸点之间的共性，就通过同一个二元不等式表示出来了．这个事实，一方面反映了“数”与“形”之间的和谐统一；另一方面，也为试验法确定二元不等式所表示的平面区域提供了理论依据．当然这个事实是需要证明的，有兴趣的读者可以参阅专门论述这个问题的文章或书刊．确定二元不等式所表示的区域，可按以下两个步骤进行，第一：由等式定曲线，第二：通过试验确定区域．[例1]已知点集D={(x，y)｜0＜x2－y2＜1}．试画出点集D所表示的平面区域．解由x2－y2=1知，方程表示焦点在x轴上的等轴双曲线．由于原点坐标(0，0)适合不等式x2－y2＜1，故不等式x2－y2＜1表出双曲线x2－y2=1的外部(不含焦点的区域)．故点集D所表示的平面区域是双曲线x2－y2=1和它的渐近线x2－y2=0所夹的部分，即图1中画有斜线的部分．[例2]已知点集D={(x，y)｜x＋2y－1≥0，y≤x＋2，2x＋y－5≤0}．当(x，y)∈D时，求x－y的最大和最小值．分析点集D是由三条直线围定的平面区域．(x，y)∈D说明点P(x，y)在该区域上变动，那么问题的关键就是要揭示量x－y的几何意义，这样整个问题才能从几何的角度去考虑解答的方法．为此，设x－y=b．于是y=x－b，这说明量b是直线的纵截距的相反数．该直线的斜率为1，且和区域D有公共点．这样我们画出区域D，画出k=1的动直线，通过观察和分析可能会得到解答．解首先按方程l1：x＋2y－1=0，l2：y=x＋2，l3：2x＋y－5=0画出三条直线．通过试验知，区域D就是△ABC的内部及其边界(图2)．设x－y=b．由于动直线y=x－b平行于AB，于是当y=x－b与AB重合时，纵截距(－b)最大，此时b最小，即(x－y)最小=－2．当动直线y=x－b过C点时，纵截距(－b)最小，此时b最大．分析x2＋y2≤1表示单位圆的内部及其边界．｜x｜＋2｜y｜≤a表示什么区域？为此，须去掉绝对值，并把a暂看成已知数．上面四个式子等号成立时，分别表示四条线段，这四条线段围成一个菱形ABCD(图3)．通过试验可知，｜x｜＋2｜y｜≤a表示菱形的内部及其边界，于是[例4]已知三个集合A=｛(x，y)｜x=n，y=n·0＋b，n∈Z｝，B=｛(x，y)｜x=m，y=3m2＋15，m∈Z｝，C=｛(x，y)x2＋y2≤144｝是否存在实数a、b使以下两个条件同时成立？①A∩B；②(a，b)∈C．分析(a，b)∈Ca2＋b2≤144．A∩B就是直线y=ax＋b和抛物线y=3x2＋15有公共点且公共点的横坐标是整数．就是：(1)如果把a、b看成主变元，那么(1)、(3)两式就可以协调起来了．在aob坐标平面上，(1)式表示一条直线，(3)式表示以原点为中心，12为半径的圆周及其内部．(1)、(3)是否相容，就看直线与这个平面区域有无公共点，若没有公共点，则a、b不存在，若有公共点还须检查x是否为整数．解法1如图4，(3)表示圆a2＋b2=122的内部及其边界，(1)表示直线l．由于圆心O到l的距离解法2物线与圆有无公共点去判断．通常大家习惯于把等式ax＋b=3x2＋15看成关于x的一元二次方程，而且一见a,b总是习惯地认为它们是常数(本题在这个认识下也有相应的解法).上述解法1的前提就是和认识不是无源之水无本之木．本题的逻辑结构要求我们去考查一个系统中的诸关系之间是相容的，还是矛盾的(例如(1)、(2)、(3)三个关系构成的系统)．这样我们就应该在诸关系之[例5]求曲线系4x2＋5y2－8mx－20my＋24m2－20=0所覆盖的平面区域．分析我们在本讲第二个问题的例2中见过这个方程，知道它表示中心在直线y=2x上，对称轴平行于坐标轴的椭圆系．由于这些椭圆的大小不变，所以猜想，它们覆盖的平面区域是否两条平行切线间的区域？(如图6由于两切线外没有椭圆上的点，故剩下的问题只是检查椭圆是否盖满了这个区域？会不会有漏洞出现？为此，我们可在该区域内任取一点P(x0，y0)，检查有没有椭圆通过这个点？这个问题取决于是否有实数m存在？消去m得l：y=2x，这就是椭圆系中心的轨迹．平行于l的切线方程设为y=2x＋b．24x2＋(20b－48m)x＋5b2－20mb＋24m2－20=0设P(x0，y0)是l1、l2之间的平面区域