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第五章函数近似计算的插值法

Interpolationmethod1插值问题的提出

problem2插值：已知[a,b]上的函数y=f(x)在n+1个互异点处的函数值:fnf2f1f0f(x)xnx2x1x0x求简单函数Pn(x)，使得一、插值问题的数学提法Problem:Ifx0,x1,x2xn

aren+1distinctnumbersandfisafunctionwhosevaluesaregivenrespectivelybyf0,f1,f2fnatthesenumbers,howtochooseasinglefunctionPn(x)satisfyingtheform(*).3计算f(x)可通过计算Pn(x)来近似代替。

如下图所示。yxx0x1f0f1x2f2xifixi+1fi+1xn-1fn-1xnfnPn(x)f(x)4这就是插值问题,(*)式为插值条件,其插值函数的图象如图56整体误差的大小反映了插值函数的好坏.为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函数都使用代数多项式或有理函数.本章讨论的就是(代数)多项式插值.7多项式插值polynomialinterpolationWeierstrass定理：对于在[a,b]上的连续函数f以及,总存在多项式P(x)满足WeierstrassTheorem:SupposethatfisdefinedandContinuouson[a,b].Foreach

,thereexistsapolynomialP(x),withthePropertythatforallxin[a,b].8满足插值条件的多项式P(x)是否存在且唯一？2.若满足插值条件的P(x)存在,又如何构造出P(x);即插值多项式的常用构造方法有哪些？3.用P(x)代替f(x)的误差估计，即截断误差的估计；对于多项式插值，我们主要讨论以下几个问题：4.当插值节点无限加密时，插值函数是否收敛于f(x)。Question:

ExistenceandUniquenessofinterpolationpolynomials?Howtoconstructtheinterpolationpolynomials?Erroranalysis?Convergenceofinterpolationfunction?9二、插值多项式的存在唯一性ExistenceandUniquenessofinterpolationpolynomials?且满足10--------(1)上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式11定理1.

由Cramer法则,线性方程组(1)有唯一解--------(3)--------(2)则满足插值条件的次数≤n的插值多项式存在且唯一.Theorem1:Supposex0,x1,x2xnaren+1distinctnumbersintheinterval[a,b].ThereexistsauniqueinterpolatingpolynomialPn(x

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