2019新导学同步人教A版高中数学必修二练习第4章圆与方程412Word版含

2019新导学同步人教A版高中数学必修二练习：第4章圆与方程4.1.2Word版含2019新导学同步人教A版高中数学必修二练习：第4章圆与方程4.1.2Word版含12/12羈PAGE12袆肁羅膅薃蚈肈膈芇莂蒃2019新导学同步人教A版高中数学必修二练习：第4章圆与方程4.1.2Word版含2019-2020年新导学同步人教A版高中数学必修二练习：第4章+圆与方程+4.1.2+Word版含解析

圆的一般方程

知识导图

学法指导

1.正确掌握圆的一般方程的结构形式，理解各个字母的意义；掌握圆的一般方程与标准方程的互化；领悟待定系数法求圆的一般方程

的步骤．

2．明确求动点的轨迹及轨迹方程的步骤，弄清楚轨迹与轨迹方

程的差异．

高考导航

1.圆心坐标及半径长的确定或与直线方程的综合是观察的热点，

多以选择题、填空题的形式出现，分值5分．2．观察动点的轨迹(方程)，各种题型均有可能出现，分值4～6分.知识点一圆的一般方程

1．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，该方程叫作圆的一般方程．

2．圆的一般方程下的圆心和半径：

圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的圆的圆心为－D，－E，半径长为D2＋E2－4F.222知识点二求动点的轨迹方程的方法求动点的轨迹方程，就是依照题意建立动点的坐标(x，y)所满足的关系式，并把这个方程化成最简形式，若是题目中没有坐标系，那么就要先建立适合的直角坐标系．1/122019-2020年新导学同步人教A版高中数学必修二练习：第4章+圆与方程+4.1.2+Word版含解析

求轨迹方程的一般步骤为：

圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特其他二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方

程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)拥有以下特点：

(1)x2，y2项的系数均为1；

(2)没有xy项；

(3)D2＋E2－4F>0.

[小试身手]

1．判断以下命题可否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．()(2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆．()

答案：(1)×(2)√

2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()

A．(2,3)B．(－2,3)

C．(－2，－3)D．(2，－3)

解析：D＝－4，E＝6，则圆心坐标为(2，－3)．

答案：D

3．已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的

圆心到原点的距离为()

521A.3B.3254C.3D.3

解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

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1＋D＋F＝0，D＝－2，则3＋3E＋F＝0，解得E＝－43，37＋2D＋3E＋F＝0，F＝1.∴△ABC外接圆的圆心为，23，故△ABC外接圆的圆心到原13223221点的距离为1＋3＝3.答案：B4．若方程x2＋y2＋ax＋ay＋a＝0表示圆，则a的取值范围是________________．解析：由题意得2a2－，∴2－2a>0，∴a<0或a>2.4a>0a答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)

种类一圆的一般方程的看法辨析

例1以下方程可否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．

(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；

(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；

(4)2x2＋2y2－4x＝0.

【解析】二元二次方程只有能转变成x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

且D2＋E2－4F>0才表示圆．

(1)由于x2与y2项的系数不相等，因此不能够表示圆．

(2)由于方程中含有xy项，因此不能够表示圆．

(3)由于(－2)2＋(－4)2－4×10<0，因此不能够表示圆．

(4)2x2＋2y2－4x＝0可化为(x－1)2＋y2＝1，

故方程表示以点(1,0)为圆心，1为半径的圆.

判断二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0可否表示圆可按以下步骤进行：①判断A，C可否相等且不等于0，B可否等于0；②若满足A＝C≠0，B＝0，则判断D2＋E2－4F可否大于0，或将方程左端配方，尔后与圆的标准方程进行比较，作出判断．

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方法归纳

形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判断其可否表示

圆时可有以下两种方法：

①由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F>0，建立则表示圆，否

则不表示圆；②将方程配方后，依照圆的标准方程的特点求解．应用这两种方法时，要注意所给方程可否是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种

标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．

追踪训练1以下方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．

x2＋y2＋x＋1＝0；

x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．

解析：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0，

∴方程(1)不表示任何图形．

(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，∴方

程表示点(－a,0)．

(3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0，

∴D2＋E2－4F＝2a2>0，aa122∴该方程表示圆，它的圆心为－2，2，半径r＝2D＋E－4F2＝2|a|.判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程可否具备圆的一般方程的特点，当它具备圆的一般方程的特点时，再看它可否表示圆．此时有两种路子：一是看D2＋E2－4F可否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端可否是大于零的常数．

种类二待定系数法求圆的方程

例2已知△ABC的三个极点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求其外接圆P的方程．

【解析】方法一设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝

0(D2＋E2－4F>0)，

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－D＋5E＋F＋26＝0，D＝－4，

由题意可得－2D－2E＋F＋8＝0，解得E＝－2，

5D＋5E＋F＋50＝0，F＝－20.

故所求外接圆P的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.

方法二由题意可得弦AC的中垂线方程为x＝2，BC的中垂线

方程为x＋y－3＝0，

x＝2，x＝2，

由解得x＋y－3＝0，y＝1.

因此圆心P的坐标为(2,1)．外接圆的半径长r＝|AP|＝

2＋12＋1－52＝5，

故所求外接圆P的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.

方法一是待定系数法，应用起来很方便，计算略微复杂，方法二是依照圆的几何性质解题，需要认真解析，技巧性较强．求圆的方程常常用的几何性质有：

①圆的弦的垂直均分线过圆心；②圆的半径r，半弦长h，弦心

距d满足r2＝h2＋d2.

方法归纳

待定系数法求圆的一般方程的步骤用待定系数法求圆的一般方程的步骤以下：

追踪训练2求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．

解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

∵所求圆过点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)，

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F＝0，D＝－8，∴D＋E＋F＋2＝0，解得E＝6，4D＋2E＋F＋20＝0，F＝0.∴所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，∴－D＝4，－E22＝－3，圆心为(4，－3)，半径r＝1D2＋E2－4F＝5.2设出外接圆的一般方程，分别把A，B，C三点的坐标代入，解

出D，E，F即可得所求方程；或依照几何性质求出圆心坐标和半径长，即可得圆的方程．

种类三轨迹问题

例3已知A(2,0)为圆x2＋y2＝4上必然点，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．【解析】(1)设AP的中点为M(x，y)，

由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．

由于P点在圆x2＋y2＝4上，因此(2x－2)2＋(2y)2＝4，整理得(x

1)2＋y2＝1，

故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，

设O为坐标原点，连接ON，OP，BN，则ON⊥PQ，因此|OP|2

|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

因此x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.整理得x2＋y2－x－y－1＝0，故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

求点的轨迹方程就先设出该点的坐标，尔后运用已知条件代入已知点满足的关系式进行求解．

方法归纳

1．一般地，求轨迹方程就是求等式，就是找等量关系，把等量

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关系用数学语言表达出来，再进行变形、化简，就会获取相应的轨迹

方程，因此找等量关系是解决问题的要点．

2．求曲线的轨迹方程要注意的三点

(1)依照题目条件，采纳适合的求轨迹方程的方法．

(2)看准是求轨迹，还是求轨迹方程，轨迹是轨迹方程所表示的

曲线(图形)．

(3)检查轨迹上可否有应去掉的点或遗漏的点．

追踪训练3已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹．

解析：设动点P的坐标为(x，y)．

当AP垂直于x轴或点A与点P重合时，点P的坐标分别为(1,0)，

(1,2)，吻合题意，

此时x＝1；

当点P在原点，或AP垂直于y轴时，即当点P的坐标为(0,0)或

(0,2)时，也吻合题意，此时x＝0；当x≠0，且x≠1时，依照题意可知AP⊥OP，即kAP·kOP＝－1，∵k＝y－2yy－2y，即22－－＝≠，，＝，∴·＝－x＋yxx－1xx－1且x≠1)．

经检验，点(1,0)，(1,2)，(0,0)，(0,2)也适合上式．

15综上所述，点P的轨迹是以2，1为圆心，2为半径长的圆.

画出图形，结合圆的弦的中点的性质，由AP⊥OP建立关系求

解．解题时，注意对点P的特别地址的谈论．

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[基础牢固](25分钟，60分)

一、选择题(每题5分，共25分)

1．若是x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围

是()5A．(－∞，5)B.－∞，4C.－∞，3D.3，＋∞22解析：由(－2)2＋12－4k>0，得k<54.

答案：B

2．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直

线方程是()

A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0

C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0

解析：x2＋2x＋y2＝0可化为(x＋1)2＋y2＝1，

∴圆心为C(－1,0)．

又所求直线与直线x＋y＝0垂直，

∴所求直线的斜率为1，

故所求直线的方程为y＝x＋1，

即x－y＋1＝0.

答案：A

3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是()

A．两个点B．四个点

C．两条直线D．四条直线

解析：方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0，

x2－4＝0，x2＝4，则即y2－4＝0，y2＝4，

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x＝2，x＝－2，x＝2，x＝－2，解得y＝2或y＝2或或y＝－2y＝－2.因此方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是(2,2)，(－2,2)，(2，－2)，(－2，－2)四个点．答案：B：2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋34．已知圆Cx＝0对称，则实数m的值为()A．8B．－4C．6D．无法确定解析：圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则直线x－y＋＝m，即－m，∴＝6.302230m答案：C5．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为22，则a的值为()13A．－2或2B.2或2C．2或0D．－2或0解析：配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(1,2)，圆心到直线的|1－2＋a|2距离d＝2＝2，因此a＝2或0，应选C.答案：C二、填空题(每题5分，共15分)6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________．解析：本题主要观察圆的方程．易知以(0,0)，(1,1)，(2,0)为极点的三角形为等腰直角三角形，其外接圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.答案：(x－1)2＋y2＝17．若l是经过点P(－和圆2＋y2＋4x－2y＋3＝0的圆心的直1,0)x线，则l在y轴上的截距是________．解析：圆心C(－2,1)，则直线l的斜率k＝1－0＝－1，因此直－2＋19/122019-2020年新导学同步人教A版高中数学必修二练习：第4章+圆与方程+4.1.2+Word版含解析

线l的方程是y－0＝－(x＋1)，即y＝－x－1，因此l在y轴上的截距

是－1.

答案：－1

8．过圆x2＋y2－6x＋4y－3＝0的圆心，且平行于直线x＋2y＋11

0的直线的方程是________________________．

解析：由题意知圆心为(3，－2)，设所求直线的方程为x＋2y＋m＝0(m≠11)，将圆心(3，－2)代入，得3－4＋m＝0，∴m＝1，故所求直线的方程为x＋2y＋1＝0.

答案：x＋2y＋1＝0

三、解答题(每题10分，共20分)

9．求经过点A(6,5)，B(0,1)，且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的

圆的方程．

解析：设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则其圆心坐标为

E2，－2，依题意有

62＋52＋6D＋5E＋F＝0，

02＋12＋0×D＋1×E＋F＝0，

DE3·－2＋10·－2＋9＝0，

6D＋5E＋F＝－61，D＝－14，

即E＋F＝－1，解得E＝6，

3D＋10E＝18，F＝－7.

因此圆的方程是x2＋y2－14x＋6y－7＝0.

10．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：

(1)实数m的取值范围；

(2)圆心坐标和半径．

解析：(1)据题意知

D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，221即4m＋4－4m－20m>0，解得m<5，1故m的取值范围为－∞，5.

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(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2

(y－1)2＝1－5m，

故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝1－5m.

[能力提升](20分钟，40分)

．·北京市综合能力测试]已知圆：－a)2＋(y－b)2＝111[2019C(x过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是()A．点B．直线C．线段D．圆解析：∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，

(1－a)2＋(0－b)2＝1，即(a－1)2＋b2＝1，

圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆