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文档简介

2bbb§广义傅立级数与傅叶-贝塞耳数2bbb、如果连续函数系(x),1

(x),2

(x),n

（1）在某区[b]上正交，又如果函数f(x)在[]上绝对可积，那末以

fx)(x)dx)

(

)为系数的级数

(xn称为函数f(x于正交函数系(1)的广义傅立叶级数，作f)～(x)nnna(n)称为f()关于正交函数系()的傅立叶系数.不妨设(1)是标准正交函数系，即满足

ba

n

()那末ax)xna这时，关于，有贝塞耳不等式n

()k

a

2k

a

[f(x)]

2

dx(f(x)是平方可积函数)如果对于任意的平方可积函数，封闭性方程2()]xkak成立，就称这时的正交函数系).n、叶[立叶-贝塞耳级数]1

设1

,,2

,是贝塞耳函数J(x)(（见第十二章）的正根，那末函数系nJ

p

xxx12pn在[1]上按权x交，即1/3

oooooooo

10

(J()pmn

2p

(

(mn)(2对于一切在[1]上绝对可积的函数fx)，可作的傅立叶-贝塞耳级数f()～(nn

x)n式中

)Jxn(x)x

)

()J(x

(1,2,

)c(称为函数f()的傅立叶-贝塞耳数n3如果f()[0,1]上除有有限个第一类间断点外处处连并且逐段可微，那末当10x时，它的傅立叶耳级数收敛，在连续点处，级数和等于fx)，在间断2点处，级数和等于

f(x0)(x2

；如果f()在[01]绝对可积在区间[]a上连续并且有绝对可积的导数，1那末它的傅立叶—贝塞耳级数在每一区[a一致收敛；2如果f()在[01]绝对可积，在区间[a上连续并且有绝对可积的导数，同1时f那末它的傅立叶-贝塞耳级数(p)在每一区[a上致收敛.2[二类傅立叶-贝塞耳级数]1设1

,,2

,是n

p

HJp

（H是常数）的正根，那末，当，函数系J(p

x),J(1

x(2p

x),n在[1]上按权x交.如果fx)[0，1]上绝对可积，那末它关于上面正交系的广义傅立叶级数称为fx)的第二类傅立叶-贝塞耳级数，即f(x～J(nn

xn式中

(J(x)n(dxn

n

[

n)]22)()pn

10

(x()dxp

(n1,2,

)2如果函数fx)在[0,1]上逐段可微（至多有有限个第一类间断点末它的第二类1傅立叶-贝塞耳级数(p,)在<1上收敛，并在连续点处等于fx)在间断点处等22/3

lll[J()]plll[J()]p)J()于

f((2

；如果函数fx)在[0，1]上连续，两次可微（除有限个点外且ff'=0,fHf0,

f"(

有界，那末它的第二类傅立叶-贝塞耳级数当p，在每个区间[(0<上绝对且一致收敛；又当，在整个区间[，1]上绝对且一致收.[间[,l上的傅立叶贝塞耳级数]设fx)[0l上绝对可积，那末它的傅立叶贝塞耳级数是式中

cn

l

22J2p

(

)n

f()～J(nn(x)(xdp0

x)

(n)对于第二类傅立叶-贝塞耳级数，

l

222n

l

xf(x

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