《画法几何及工程制图》第3章投影变换

画法几何及工程制图

DescriptiveGeometryandEngineeringDrawing第3章投影变换§3.1投影变换的方法§3.2变换投影面法（换面法）§3.2旋转法aabbccX实形实长实长madambckkdcbXaddlkkcabXcbleddaabbccXeθ实角

当直线或平面相对于投影面平行或垂直时，其投影具有重影性，可以较容易求解空间点线面的定位问题（交点和交线）和度量问题（实长、实形和倾角）。§3.1投影面变换的方法-概述

将点线面与投影面的相对位置变换成有利于解题位置（特殊位置的直线或平面），这种方法称为投影变换。1.变换投影面法（换面法）

几何元素保持不动，改变投影面的位置，使新的投影面与几何元素处于有利解题的位置。

投影面保持不动，将几何元素绕某一轴旋转到相对于投影面处于有利解题的位置。2.旋转法§3.1投影面变换的方法当几何元素在原投影体系中不处于特殊位置时，则可以保留一个投影面，用一个垂直于被保留的投影面的新投影面更换另一投影面，组成新投影体系，使几何元素有利于解题的特殊位置，这种作图方法称为换面法。原V、H面称为基本投影面，几何元素在其上的投影称为基本投影，在心投影面的投影称为辅助投影。§3.1投影面变换的方法-变换投影面法（换面法）VHXV1X1新投影面的选择必须符合以下两个条件：1．新投影面必须和几何元素处于有利解题的位置。2．新投影面必须垂直于原来投影面体系中的一个投影面。XHVX1V1§3.1投影面变换的方法-变换投影面法（换面法）XHVVHX§3.1投影面变换的方法-旋转法

即投影面保持不动，而将几何元素绕某一轴旋转到相对投影面处于有利于解题的位置。第3章投影变换§3.1投影变换的方法§3.2变换投影面法（换面法）§3.3旋转法点的一次变换（变换V面）－Z坐标值不变§3.1变换投影面法-基本规律-点的一次变换空间点在V/H两面体系中的投影式a，a’。用一个新投影面V1来代替V面，则V1面与H面组成新的投影体系V1/H面。V1面与H面的交线为O1X1轴，按正投影原理作出A点在V1面的新投影a1’.则a1’ax1=a’ax=Aa点的一次变换（变换V面）－Z坐标值不变§3.1变换投影面法-基本规律-点的一次变换展开H面展开V1面点的一次变换（变换V面）－Z坐标值不变§3.1变换投影面法-基本规律-点的一次变换VHXV1X1Aa

a1

aX1aXaa1

X1V1H不变投影和新投影的连线必垂直于新投影轴。垂直不变新投影到新投影轴的距离等于（被替换的）原来投影到原投影轴的距离。坐标值不变aX1Xa

a

aXVH§3.2变换投影面法-基本规律-点的一次变换点的一次变换（变换V面）－Z坐标值不变点的一次变换（变换H面）－Y坐标值不变VHXBb

bXbX1X1bX1b1b1bX1H1VXb

b

bXVH§3.1变换投影面法-基本规律-点的一次变换H1W1点的一次变换（变换W面）－Y坐标值不变WVZBbbZbZ1bZ1Z1bZ1VW1b

Zb

bZVW§3.1变换投影面法-基本规律-点的一次变换b1b1V1点的一次变换（变换V面））－X坐标值不变WVZBbbZbZ1bZ1Z1bZ1WV1b

Zb

bZVW§3.1变换投影面法-基本规律-点的一次变换b1b1点的二次变换§3.1变换投影面法-基本规律-点的二次变换工程中有些实际问题，往往通过一次变换并不能解决问题，需要进行二次变换，后图表示点的二次换面情况，有两点要特别注意：1）在变换时投影面必须交替变换，即V/H→V1/H→V1/H22）求点的新投影的方法和一次换面完全相同，但新、旧投影面的概念要随变换过程而改变。VHXV1Aa

a1

aX1aXaH2X1X2a2aX2H2VIX2a2aX2点的二次变换a1

X1HV1Xa

a

aXaX1VH§3.1变换投影面法-基本规律-点的二次变换将投影面倾斜线变换成投影面平行线

将投影面平行线变换成投影面垂直线将投影面倾斜线变换成投影面垂直线将投影面倾斜面变换成投影面垂直面将投影面垂直面变换成投影面平行面将投影面倾斜面变换成投影面平行面§3.2变换投影面法-六个基本问题目标：将一般位置的直线和平面转换为特殊位置的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有利于求解的特殊位置。Xa

a

aXVHX1b

bbXV1HaX1bX1a1b1α将投影面倾斜线变换成投影面平行线

实长H面倾角变换V面§3.2变换投影面法-六个基本问题-将倾斜线变换为平行线变换H面Xa

a

VHb

ba1b1H1VX1β实长V面倾角§3.2变换投影面法-六个基本问题-将倾斜线变换为平行线Xa

a

VHb

bX1V1Ha1b1将投影面平行线变换成投影面垂直线§3.2变换投影面法-六个基本问题-平行线变换为垂直线将投影面倾斜线变换成投影面垂直线Xa

a

VHX1b

bV1Ha1b1V1H2X2a2b2§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜线变换为垂直线将投影面倾斜面变换成投影面垂直面Xa

a

VHb

bHV1c

cd

dX1a1

c1

d1

b1

α1变换V面（求α1）H面倾角§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面WhyX1轴这么选？变换H面（求β1）Xa

a

VHbc

ce

eb

X1c1a1e1b1β1H1VV面倾角§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面将投影面垂直面变换成投影面平行面Xa

a

VHbc

cb

X1HV1a1

c1

b1

实形§3.2变换投影面法-六个基本问题-垂直面变换为平行面WhyX1轴这么选？将投影面倾斜面变换成投影面平行面Xa

a

VHbc

ce

eb

X1H1Vc1a1e1b1H1V2X2a2

b2

c2

e2

实形§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为平行面[例1]求侧平线MN与△ABC的交点K。Xa

a

VHbc

e

eb

X1H1Vncmn

m

c1e1a1b1m1n1k1k

kykyk§3.2变换投影面法-六个基本问题-例子c'2c1b1a1X2H1V2H1X1Vk1b'2k'2a'2距离XVHa

b

abcc

[例2]求C点到AB直线的距离。Why？k'k§3.2变换投影面法-六个基本问题-例子[例]求D点到平面ABC直线的距离。§3.2变换投影面法-六个基本问题-例子[例3]求交叉两直线AB、CD间的距离。Xa

a

VHbc

b

X1HV1dcd

a2b2d1c1b1a1X2H2V1c2d2k2m2k1m1m

k

m

k

Why？§3.2变换投影面法-六个基本问题-例子[例4]求变形接头两侧面ABCD和ABFE之间的夹角。分析

当两平面的交线垂直于投影面时，两平面在该投影面上的投影为两相交直线，它们的夹角即反映两平面间的夹角。§3.2变换投影面法-六个基本问题-例子VHXa

e

a

bc

b

f

X1VH1dcd

X2V2H1fea1b1f1d1c1e1b2

a2

f

2e

2§3.2变换投影面法-六个基本问题-例子[例]已知直线AB的实长为L，求作a’b’。§3.2变换投影面法-六个基本问题-例子[例]求直线AB对H、V面的倾角及实长。§3.2变换投影面法-六个基本问题-例子[例]求三角形ABC对H面的倾角。§3.2变换投影面法-六个基本问题-例子[例]以AB为底作等腰三角形ABC，其高为30cm，并与H面成45°角。§3.2变换投影面法-六个基本问题-例子[例]以AB为底作等腰三角形ABC，其高为30cm，并与H面成45°角。§3.2变换投影面法-六个基本问题-例子[例]以AB为底作等腰三角形ABD，其高等于AB，且与三角形ABC的夹角为90°。§3.2变换投影面法-六个基本问题-例子[例]在三角形ABC内找一点K，使K点离A点15mm，离B点25mm。§3.2变换投影面法-六个基本问题-例子[例]在三角形ABC内找一点K，使K点离A点15mm，离B点25mm。§3.2变换投影面法-六个基本问题-例子[例]已知正方形ABCD的一边AB的两面投影，且BC为正平线，求作正方形的两面投影。§3.2变换投影面法-六个基本问题-例子[例]已知四边形ABCD的真实形状。§3.2变换投影面法-六个基本问题-例子[例]补全等腰三角形CDE的两面投影，边CD=CE，顶点C在直线AB上。§3.2变换投影面法-六个基本问题-例子[例]在三角形DEF内作一直线，使它与直线AB垂直相交。§3.2变换投影面法-六个基本问题-例子[例]

确定直线AB与三角形DEF夹角的实际大小，已知DF为正平线。§3.2变换投影面法-六个基本问题-例子[例]确定直线AB与三角形DEF夹角的实际大小，已知DF为正平线。§3.2变换投影面法-六个基本问题-例子[例]确定直线AB与三角形DEF夹角的实际大小，已知DF为正平线。§3.2变换投影面法-六个基本问题-例子第3章投影变换§3.1投影变换的方法§3.2变换投影面法（换面法）§3.3旋转法

当一点绕垂直于投影面的轴旋转时，它的运动轨迹在轴所垂直的投影面上的投影为一个圆，而在轴所平行的投影面上的投影为一平行于投影轴的直线。§3.3旋转法-基本规律-点的旋转变换VHO1O2a1aPAA1θθVHXO1O2a1aa1aθ当直线绕垂直于投影面的轴旋转时，该旋转轴通过直线一端点，直线相对该投影面的倾角保持不变，同时在该投影面上的投影长度也不变。§3.3旋转法-基本规律-直线的旋转变换HbBa1aAA1θVHXba1aa1aθθb

当平面绕垂直某一投影面的轴旋转时，平面对该投影面的倾角保持不变，平面在该投影面上的投影形状也保持不变。将投影面倾斜线变换成投影面平行线

将投影面平行线变换成投影面垂直线将投影面倾斜线变换成投影面垂直线将投影面倾斜面变换成投影面垂直面将投影面垂直面变换成投影面平行面将投影面倾斜面变换成投影面平行面§3.3旋转法-六个基本问题目标：将一般位置的直线和平面转换为特殊位置的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有利于求解的特殊位置。Xa

a

VHb

b将投影面倾斜线变换成投影面平行线

§3.3旋转法-六个基本问题-将倾斜线变换为平行线a1a1实长旋转轴Xa

a

VHb

b将投影面平行线变换成投影面垂直线§3.3旋转法-六个基本问题-平行线变换为垂直线a1a1(b)旋转轴将投影面倾斜线变换成投影面垂直线Xa

a

VHb

b§3.3旋转法-六个基本问题-倾斜线变换为垂直线a1a1b1b1(a1)旋转轴1旋转轴2