大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷1 选择题（61 设f(x)2cosx,g(x)( )sinx在区间（0，）内（）。2 2Ａf(x)是增函数，g(x)Bf(x)是减函数，g(x)是增函数C二者都是增函数二者都是减函数、x时，e2xcos与sin相比是（）Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小1３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)x的（）Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）1 nAX (1)n BXn n

sin2CX n

1(a1) DXan

cos1n5、若f"(x)在X

处取得最大值，则必有（）0X0

)o

)o0CX0

)0且f''(X0(1)

)<0

)0

)00、曲线y

x（ ）Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近1~6DDBDBD一、填空题１、d ）＝1 dxｘ+12 1、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ３、函数ｙ＝ｘ 的反函数及其定义域与值域分别是：＋１４、ｙ的拐点为：

２axblimx１＋2x-3

2,则a,b的值分别为：1 Inx1 ; 2 yx32x2;3 y

x21

,(0,1),R;4(0,0)lim(x1)(xm)

limxm

1m25解：原=x1(x1)(x3) x1x3 4m7 b7,a6二、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小（）2、limsinx在区间（）是连续函数（）x0 x3、f"(x）=0一定为f(x)的拐点（）04f(X)在x处取得极值，则必有f(x)在x处连续不可导（）0 05、设 函 数 ｆ (x) 在 上 二 阶 可 导 且f'(x)令Af'），Bf'(1)Cf(1)f(0),则必有A>B>C()1~5FFFFT三、计算题11用洛必达法则求极限limx2ex2x01ex2

1ex2(2x3) 1解：原式=lim1

lim limex

x0x2

x0

2x3

x02若f(x)(x310)4,求f''(0)f'(x)4(x310)33x212x2(x310)3解：f''(x)24x(x310)312x23(x310)23x2f''(x)043 求极限lim(cosxx2x0

24x(x310)3108x4(x310)2limx0

4Incosxx2

lim4Incosxx0

x21 (sinx2lim

Incosx

Incosx

cosx

tan

limx

2x0x2

x0 x2

x0 x

x0 x

x0 x4原式e2

2 2 24 求y3x

51)3

x1的导数x25 1 解：Iny5 1

In3x1 Inx1 Inx3 2 2 y'y 33x1 2 x1 2 x25 x1 5 1 1 y'(3x1)3

x23x

1

x1)

x2) tan3xdx5解：原式=tan2xtanxdxsec2x1)tanxdx=sec2xtanxdxtanxdx=tanxdtanx

sinxdxcosx=tanxdtanx1

1cos

dcosx=tan2xIncosxc26 求 xarctanxdx1arctanxd(x21(x2arctanxx2darctanx)2 21 x211=(x2arctanx 2 1x2=1x2arctanx(1 1 )dx21x2 =1x2

arctanx

xc2 2四、证明题。1x3x10有且仅有一正实根。证明：设f(x)x3x1f(0)10,f(1)10,且f(x)在上连续0,1),f'0f(x在1f(x)在）内至少有一实根f(x)在）x,x,xxf(x)在f(x)在x,x2 2

上连续，在（x2

,x）内可导2且f(x1

)f(x2

)0至少x2

,x），stf()02而f21与假设相矛盾方程x3x1有且只有一个正实根（2、证明arcsinxarccosx（2

1x1x2证明：设f(x)arcsin1x21x2f1x2

1 1

0,x1,1f(x)cf(0)arcsin0arccos02f(1)arcsin1arccos12f(1)arcsin(1)arccos(1)2综上所述，f(x)arcsinxarccosx，x1,12五、应用题1、描绘下列函数的图形yx21x解：1.Dy=(-,0)(0,+)2.y'=2x-1x2

2x31x21令y得x3122y''2x3令y''0,得x13.4.补充点(2,7).(17).(1,2).(2,9)2 2 2 2limf(x)f(x)x0x0如图所示：f(x)x2Inx2的单调区间并求极值解：Df(x)