204ai-第5章不确定推理

第五章不确定推理Uncertain

Knowledge

and

Reasoning5.1

知识的不确定性在实际的应用领域中，严格精确的知识并不多见，大量的知识是不精确和不确定的。可以说，不确定性Uncertainty是智能的本质特质。因此，智能系统的能力更主要反映在求解不确定性问题的能力上。不确定性：从以下三个方面或事实的不确定性规则的不确定性推理的不确定性5.1.1的不确定性的歧义性：据可以具有多种含义明显不同的解释。如果离开所在环境和上下文，难以确定真正的含义。I

saw

a

man

with

a

escope.消除歧义是机器翻译和自然语言理解中要着重解决的问题。的不完全性：据尚未收集完成或特征值不完全。专业领域的知识都是发展和不断积累的。许多情况下，决策是在不完整信息的情况下进行的。的不精确性：间存在一定的差异。如：身高大约1.70米,据表示值与真实值之速度70码的模糊性：

据的取值范围的边界模糊。如：年轻；天热；高烧的

性：指

上对的可靠性的信任程度。的随机性：据是随机出现的。。5.1.2

规则的不确定性如果患者发高烧且常流清鼻涕，则患感冒规则前提的不确定性：指规则前提条件概念发高烧、常流清鼻涕模糊。观察

的不确定性：如体温不恒定组合的不确定性：如两个条件的组合

规则的不确定性：规则不具有100%的信任度结论的不确定性：可能感冒5.1.3

推理的不确定性组合不确定性的计算：如条件的与、或、否定，如何计算并行规则的不确定性计算：当多条规则满足时，如何给出复合结果。IF e1

THEN

HIF e2

THEN

H顺序（串行）规则的不确定性计算：IF

e1

THEN

e2; IF

e2

THEN

H关于概率在概率论中，试验中每一个可能出现的结果称为一个样本点。由全体样本点构成的集合称为样本空间。D={d1,d2,…}关于概率先验概率Prior

probabilityP(a)：与命题a相关联的无条件概率或先验概率是指在没有任何其它信息存在的情况下关于命题a的信度。条件概率Conditional

probabilityP(a|b):给定

已知的信息b后，命题a的概率。P(a|b)

=

P(a∧b)

/

P(b)概率从何而来?频率主义者：实验而来。在100名观察者中发现10个有蛀牙客观主义者：宇宙的真实，物体行为表现投掷硬币，正面朝上的概率为50%主义者：刻画智能体信心的方式常用公式0≤P(a)

≤1P(true)=1,

P(false)=0P(a)+p(～a)=1P(a∨b)=P(a)+P(b)-P(a∧b)柯尔莫

(Kolmogorov)公理5.2

基于概率的不确定推理5.2.1

Bayes公式若有事件A1,A2,…，An彼此独立，且B为事件

A1＋A2＋…＋An的子事件，P(Ai)>0(i=1,2,…,n)，P(B)>0，那么Bayes公式可表示为：P(A1), P(A2),…,P(An),为先验概率；P(A1|B), P(A2|B),

…,P(An|B),为后验概率。Bayes公式就是从先验概率推导出后验概率。P(a|b)

=

P(a∧b)/P(b)P(a∧b)=P(a|b)P(b)P(a∧b)=P(b|a)P(a)P(b|a)=P(a|b)P(b)/P(a)表面上看，这个公式不是很有用，需要1个条件概率和两个无条件概率来计算另一个条件概率。但是实际中，这个公式是很有用的。例如：脑膜炎会引起脖子僵硬（50%）

P(s|m)脑膜炎的先验概率是1/50000，P(m)脖子僵硬的先验概率是1/20，P(s)p(m|s)

=

P(s|m)*P(m)

/

P(s)

=0.5

*

1/50000

/

1/20

=

0.0002即脖子僵硬的患者中，脑膜炎的概率为1/5000但是，如果在脑膜炎流行的地区，P(m)会增长，导致p(m|s)增长5.2.2

基于概率的不确定推理规则：If

e then

hP(e)表示e的不确定性；P(h|e)表示e发生的情况下，h发生的概率。若已知P(e)，P(h)以及P(e|h)，有：P(h|e)

=

—P—(e—|h—)·—P—(h—)

—P(e)注意必须满足概率论的基本假设：之间相互独立多个结论之间互不相容1、

组合的不确定性计算否定：P(e)=1-P(e)合取：

设

e1,e2,…,en,合取e1∧e2

∧…∧enP(e1e2…en

)=P(e1)P(e2)…P(en)析取：e1∨e2

∨…∨enP(e1

∨e2

∨…∨en

)=1-(1-P(e1))(1-P(e2))…(1-P(en))2、并行规则的不确定性计算定义：几率O(h)O(h)

=

—P(—h)— =

—P—(h—)

—P(h)

1-P(h)设

e1,e2,…,en同时支持h，且e1,e2,…,en相对于h和h条件独立，则1

2

nO(h|e

e

…e

)

=

∏—————

·

O(h)ni=1P(ei|h,)P(ei|h,)λ

-几率修改因子3、顺序规则的不确定性计算若

if

e1

then

e2;

if

e2

then

h且e1,h相对于e2

e2条件独立，即P(e1h|e2)

=

P(e1|e2)P(h|e2)P(e1h|e2)

=

P(e1|e2)P(h|e2)有：P(h|e1)

=

P(h|e2)P(e2|e1)+

P(h|e2)P(e2|e1)不确定

公式abR1cR2dR3fe

R4P(a)=0.4,P(b)=0.25,P(c)=0.1,P(d)=0.08,P(e)=0.16,P(f)=0.06R1:

a,b同时支持c；且P(ab|c)=0.8R2: c支持d；且P(c|d)=0.9R3:

d支持f；且P(d|f)=0.7R4:

e不支持f；且P(e|f)=0.2abR2dR3fR4e1.a,b支持c，求P(c|ab)P(ab)=P(a)P(b)=0.4×0.25=0.1P(c)=0.1；P(ab|c)=0.8P(c|ab)

=———————

=

————

=0.8P(ab|c)·P(c)P(ab)0.8·0.10.10.1c0.8R1P(c|ab)

=

1-P(c|ab)

=

1-0.8

=

0.20.40.25abR1R3fR4e0.08d0.1c0.9R22.c支持d，求P(d|c)P(d|c)

=

——————

=

—————

=

0.72P(c|d)·P(d)P(c)0.9×0.080.1P(c|d)=1

-

P(c|d)

=1-

0.9

=

0.1P(c)=1-

P(c)

=

1

–

0.1

=

0.9；

P(d)

=

0.08P(d|c)

=

——————

=

—————

=

0.009P(c|d)·P(d)P(c)0.1×0.080.9abR1cR2dR3fR4e3.顺序法：ab同时出现，经c到d，求P(d|ab)P(d|ab)=P(d|c)P(c|ab)+

P(d|c)P(c|ab)=0.72×0.8+0.009×0.2

=

0.578P(d|ab)=

1-

P(d|ab)

=

1

-

0.578

=

0.422abR1cR2R4e4.d支持f，求P(f|d)P(d)P(f|d)

=

—P—(d|—f)—·—P(—f)

=

—0.—7×—0.—06—

=

0.5250.08P(f|d)=1

-

P(d|f)

=1-

0.7

=

0.3P(d)=1-

P(d)

=

1

–

0.08

=

0.92；P(f)

=

0.06P(f|d)

=

—P(—d|—f)·—P—(f—)P(d)=

—0.—3×—0—.0—6=

0.020.92f0.060.08d0.7R3abR1cR2dR3fe

R45.顺序法：ab同时出现，经d，到f，求P(f|ab)P(f|ab)=P(f|d)P(d|ab)+P(f|d)P(d|ab)=0.525×0.578

+

0.02×0.422

=

0.312P(f|ab)=1-

P(f|ab)

=

1

-

0.312

=

0.688abR1cR2dR3R4eP(e)5.e到f，求P(f|e)P(e|f)=1

-

P(e|f)

=

1-

0.2

=

0.8P(e)

=

0.15；

P(f)

=

0.06P(f|e)

=

—P—(e|—f)—·—P(—f)

=

—0.—8×—0—.0—6

=

0.320.15P(f|e)

=

1-

P(f|e)

=

1-0.32

=

0.681-0.80.150.06fabR1cR2dR3fR4e6.

并行法则ab

e

到f，求P(f|abe)1

2

nO(h|e

e

…e

)

=

∏—————×O(h)ni=1P(ei|h)P(ei|h)O(f|abe)

=—P(—ab—|f)—

×————×O(f)P(ab|f)P(e|f)P(e|f)O(f|abe)

=—P(—ab—|f)—

×————×O(f)P(ab|f)P(e|f)P(e|f)————=

———————

=

———————P(ab|f)P(ab|f)P(f|ab)×P(ab)P(f)P(f|ab)×P(ab)P(f)P(f|ab)×P(f)P(f|ab)×P(f)0.312×(1-0.06)0.688×0.06=

—————————

=

7.1————×O(f)O(f|abe)

=—P(—ab—|f)—

×

P(e|f)P(ab|f)

P(e|f)———

=

——

————Pe|f)P(e|f)P(f|e)×P(f)P(f|e)×P(f)0.32×(1-0.06)0.68×0.06=

————————

=

7.37O(f)

=

—P—(f)—

=

—0—.0—6

—

=

0.064P(f)

1-0.06O(f|abe)

=—P(—ab—|f)—

×————×O(f)P(ab|f)P(e|f)P(e|f)可以看出，结论f原来的概率是0.06，当abe同时出现时，f成立的概率变成0.77，大大增加。=

7.1×7.37×0.064=

3.34P(f|abe

)

=

——————

=

————

=

0.77O(f|abe)1+O(f|abe)3.341+3.34基于概率的不确定推理具有严密的数学基础和理论依据。但是，它要求给出知识的概率，即使富有经验的领域

也难以直接给出。因此其应用受到一定的限制。5.3

基于

度的不确定

理度-certainty

factor基于

度的不确定推理是E.

H.Shortliffe

等人在确定性理论（Theoryof

Confirmation）的基础上

一种不确定推理方法。该方法首先在医疗系统MYCIN上得到成功运用。5.3.1

信任度与不信任度定义：信任度MB(h,e)—表示的信任程度的增加量。不信任度MD(h,e)—表示立的不信任程度的增加量。1e出现时，对结论h成立e出现时，对结论h成MB(h,e)

=

max(P(h|e),

P(h))

－

P(h)1－

P(h)P(h)=1P(h)

≠1MD(h,e)

=1min(P(h|e),

P(h))

－

P(h)—

P(h)P(h)=0P(h)

≠0MB,MD的取值范围均为[0,1]特征：（互斥率）一个e不可能同时支持和h，因此

如果MB(h,e)>0，则MD(h,e)=0如果MD(h,e)>0，则MB(h,e)=0如果P(h|e)>P(h)，表明

e的出现增加了h成立的程度，但是不改变对h的不信任程度。MB>0,

MD=0如果P(h|e)=P(h)，表明

e的出现不改变h的信任和不信任程度，e与h无关（相互独立）MB=0,

MD=0如果P(h|e)<P(h)，表明

e的出现增加了h不成立的程度，但是不改变对h的信任程度。MB=0,

MD>05.3.2度把信任度

MB(h,e)和不信任度

MD(h,e)组

单一的不确定程度，就是 度。CF(h,e)

=

MB(h,e)-

MD(h,e)CF(h,e)

=1P(h|e)－

P(h)1－

P(h)P(h)=1P(h|e)>P(h)0P(h|e)－

P(h)P(h)P(h)=0－1P(h|e)=P(h)P(h|e)<P(h)[-1,1]意义：若CF(h,e)>0,则P(h|e)>P(h)，表明e的出现增加了h成立的程度。若CF(h,e)=1，则P(h|e)=1，即e使h为真。若CF(h,e)=0，P(h|e)=P(h)，表明e与h无关（相互独立）若CF(h,e)<0,

P(h|e)<P(h)，表明

e的出现增加了h不成立的程度。若CF(h,e)=-1，则P(h|e)

=

0，即e使h为假。度方法直观简单，效果较好。在实际实现中，往往由领域

给出。5.3.3

不确定性的计算1、

组合的不确定性计算合取：

设e1,

e2的 度为CF(e1),CF(e2)CF(e1∧e2)

=

min{

CF(e1),CF(e2)}MB(e1∧e2)

=

min{

MB(e1),

MB(e2)}MD(e1∧e2)

=

max{

MD(e1),MD(e2)}析取：

设e1,

e2的 度为CF(e1),CF(e2)CF(e1

∨

e2)

=

max

{

CF(e1),CF(e2)}MB(e1

∨

e2)

=

max{

MB(e1),

MB(e2)}MD(e1

∨

e2)

=

min{

MD(e1),

MD(e2)}2、并行规则的不确定性计算若e1出现使h有CF(h,e1),e2出现使h有CF(h,e1)则e1

e2同时出现使h成立的 度为CF(h,e1e2)

=CF(h,e1)+CF(h,e2)－CF(h,e1)

CF(h,e2)CF(h,e1)>0,

CF(h,e2)>0CF(h,e1)+CF(h,e2)1－min(|CF(h,e1)|,|CF(h,e2)|)CF(h,e1)CF(h,e2)异号CF(h,e1)+CF(h,e2)+CF(h,e1)

CF(h,e2)CF(h,e1)<0,

CF(h,e2)<03、串行规则的不确定性计算若e1出现使e2有CF(e2,e1),e2出现使h有CF(h,e2)则e1

出现使h成立的 度为CF(h,e1)

=

CF(h,e2)

×

max(0,CF(e2,e1))有：MB(h,e1)

=

MB

(h,e2)

×

max(0,CF(e2,e1))MD(h,e1)

=

MD

(h,e2)

×

max(0,CF(e2,e1))注意：在顺序规则中，只信任度，不不信任度。abR1R20.80.50.70.9c

R3dR4feR5-0.3R1:

a→c，

IF

a

THEN

c.

CF(c,a)=0.8R2: b→c，

IF

b

THEN

c.

CF(c,b)=0.5R2: c

→d，IF

c

THEN

d.

CF(d,c)=

0.7R3: d

→f

，IF

d

THEN

f.

CF(f,d)=

0.9R4: e

→f

，IF

e

THEN

f.

CF(f,e)=

-0.3求a,b,e同时出现时，结论f的 度

CF(f,abe)求a,b,e同时出现时，结论f的 度

CF(f,abe)CF(c,ab)=CF(c,a)+CF(c,b)－CF(c,a)

CF(c,b)=0.8+0.5-0.8×0.5

=

0.9CF(d,ab)

=

CF(d,c)

×

CF(c,ab)=

0.7

×0.9

=

0.63CF(f,ab)

=

CF(f,d)

×

CF(d,ab)=

0.9×0.63

=

0.567abR1cdfeR20.80.50.7R30.9R4R5-0.3

CF(f,ab)+CF(f,e)

1－min(|CF(f,ab)|,|CF(f,e)|)CF(d,abe)

===

0.3810.567－0.31－0.3abR1cR3dR4fR5eR20.80.50.70.9-0.3R1:

IF

e1

THEN

H

(0.9)R2:

IF

e2

THEN

H.

(0.6)R3:

IF

e3

THEN

H.(-0.5)R4:

IF

e4

and

(e5

or

e6) THEN

e1

0.8R4CF

(e4and

(e5

or

e6))

=

min(CF(e4),

max(CF(e5),CF(e6))

=0.5CF(e1)

=

0.8

*

0.5

=

0.4R1:

CF1(H)

=

0.9*0.4

=

0.36R2:

CF2(H)

=

0.6*0.8

=

0.48R3:

CF3(H)

=

-0.5

*

0.6

=

-0.3CF12(H)

=0.36

+

0.48

–

0.36

*

0.48

=0.84

–

0.17

=0.67CF123(H)

=

(0.67-0.3)

/1

–0.3

=

0.37

/

0.7

=

0.53He1e2e3ande4e5CF(e2)

=

0.8,

CF(e3)

=

0.6,

CF(e4)

=

0.5,CF(e5)

=

0.6,

CF(e6)

=

0.8

e6or5.3.4

带阈值的不确定推理规则如下：

IF

e THEN

h

(CF(h,e),λ

)e为简单或复合条件。CF(h,e)为规则强度，

0<CF(h,e)

≤1

。λ

为阈值,

0<λ≤1，表明只有CF(e)

≥λ

时，规则才能被触发或使用。1

组合CF(e1∧e2

…∧en)=

min{

CF(e1),CF(e2),

…

CF(en)}CF(e1∨e2

…∨en)=

max{

CF(e1),CF(e2),

…

CF(en)}if

e1

thenif

e2

then…if

en

thenh

(CF(h,e1),λ

1)h

(CF(h,e2),λ

2)h

(CF(h,en),λ

n)若规则满足条件：CF(ei)

≥λ

i

,则分别计算

CFi(h)

=

CF(h,ei)

×

CF(ei)极大值法：CF(h)

=

max(CF1

(h),CF2

(h),

…

CFn

(h)}和法：2

并行i=1..nCF(h)

=(∑(CFi

(h))

/

(∑(CFi

(h,ei))有限和法：CF(h)

=min

(∑(CFi

(h)，1)i=1..nR1:

ife1thene2(CF(e2,e1),λ1)R2:ife2thenh(CF(h,e2),λ2)若满足条件：CF(e1)

≥λ

1,

R1被启动，CF

(e2)

=

CF(e2,e1)

×

CF(e1)若满足条件：CF(e2)

≥λ

2

,

R2被启动，CF

(h)

=

CF(e2,e1)

●

CF(e2)可以是乘法或取极小或其他算符3

串行5.3.5的不确定推理面的推理中，若一条规则的前件有若干个 ，我们认为这些

是一般来说，有的的。但是在实际中并非都是这样。重要些，有的不太重要。因此引入“权”的概念，使不同

具有不同的权重。规则如下if e1

(w1)∧e2(w2)

…∧en(wn)

then h

(CF(h,e),λ)其中wi为ei的

因子，且满足归一化条件∑

wi=

1组合设e=e1

(w1)∧e2(w2)…∧en(wn)CF(e)

=

∑wi

×

CF(ei) I

=1..n并行规则和串行规则同前产乳

THEN有羽毛

THEN有毛发

THEN

哺乳类哺乳类鸟类能飞

∧

下蛋

THEN

鸟类哺乳类∧

吃肉

THEN

肉食动物哺乳类∧有爪∧有利齿∧前视

THEN

肉食动物哺乳类∧有蹄哺乳类∧反刍THENTHEN有蹄动物有蹄动物∧偶蹄动物R1:

IFR2:

IFR3:

IFR4:

IFR5:

IFR6:

IFR7:

IFR8:

IFR9:

IF肉食动物∧黄褐色∧深斑点

THEN

猎豹R10:

IF

肉食动物∧黄褐色∧黑条纹

THENR11:

IF

有蹄动物∧长腿∧长颈∧黄褐色∧深斑点

THEN

长颈鹿有蹄动物∧白色∧黑条纹

THEN

斑马鸟类∧不善飞∧长颈∧长腿∧黑白色

THEN

鸵鸟R12:

IFR13:

IFR14:

IFR15:

IF鸟类∧不善飞∧会游泳∧黑白色

THEN

企鹅鸟类∧善飞

THEN

海燕规则IF

有蹄动物(0.3)∧长腿

(0.2)∧长颈

(0.2)∧黄褐色

(0.13)∧深斑点

(0.13)∧体重>200kg

(0.04)有蹄动物CF(e1)=1长腿CF(e2)=1长颈CF(e3)=1黄褐色CF(e4)=0.8深斑点CF(e5)=0.6体重>200kg

CF(e6)?THEN

长颈鹿

(0.95,

0.8)CF(e)

=

∑wi

×

CF(ei)=

0.3×1+0.2×1+0.2×1+0.13×0.8+0.13×0.6=

0.882

>

0.8CF(h)

=

CF(h,e)×CF(e)=

0.95

×0.882

=

0.845.4Bayes方法Bayes公式要求的概率和条件概率在现实中是比较难以得到的。因此Duda和Hart等人在此基础上进行改进，建立了相应的模型，并在地矿勘探

系统Prospector中得到成功运用。规则形式：IF

E

THEN

（LS,LN）

H

(p(H))5.4.1

充分性度量和必要性度量定义：LS为充分性度量，用于支持程度，取值范围是[0，∝)e对h的LS

=P(e|h)P(e|～h)定义：LN为必要性度量，用于 ～

e对h的支持程度，取值范围是[0，∝)=LN

=

P(～

e|h)

1-

P(e|h)P(～

e|～h)

1-

P(e|～h)LS,LN的值通常由领域

给出，相当于知识的静态强度的不确定性表示5.4.2对于初始E，由用户根据观察S给出P(E|S)在Prospector中，引入度概念，让用户在[-5，5]中选择P(E/S)1P(E)C(E/S)-5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

5C(E/S)=-5，表示在观察S下E肯定不存在，P(E/S)=0C(E/S)=0，表示观察S与E无关，P(E/S)=P(E)C(E/S)=5，表示观察S与下E为真，P(E/S)=1P(E/S)1P(E)C(E/S)-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5P(E|S)

=50≤

C(E|S)

≤

5C(E|S)+P(E)

×(5-

C(E|S))5P(E)

×

(C(E|S)+5)-5≤

C(E|S)

＜

05.4.3

不确定性的计算1、

组合的不确定性计算合取：

设E

=

E1

and

E2

and…and

EnP(E|S) =

min{

P(E1|S),

P(E2|S)…}析取：设E=E1

or

E2

or…or

EnP(E|S) =

max{

P(E1|S),

P(E2|S)…}推理网络E2H1HE4E3E1H2S1S2S3S4确定性若

肯定出现，则P(E)

=P(E/S)=1LS

=P(E|H)P(E|～H)1

2

nO(H|E

E

…E

)

=∏—————·O(H)ni=1P(Ei|H,)P(Ei|H,)P(E/H)O(H/E)

=

————

O(H)P(E/

～H)O(H/E)

=

LS×O(H)O(H/E)

=

LS×O(H)———— =

LS×

———P(H/E)1-P(H/E)P(H)1-P(H)P(H/E)

×(1-P(H))

=

LS×P(H)

×(1-P(H/E))P(H/E)

×(1-P(H)+

LS×P(H)

)

=

LS×P(H)P(H/E)

=

—LS—×P—(H—)P(H)(LS-1)+1确定性若

肯定不出现，则P(E)

=

P(E/S)=0P(～

E)=1LN=P(～

E|H)

.P(～

E|～H)O(H/

～

E)

=

LN×O(H)P(H|

～

E)

=——————LN×P(H)(LN-1)×P(H)+1LS的意义LS>1,

O(H/E)>O(H),

P(H/E)>P(H)E使H为真的可能增加，LS越大，P(H/E)越大→1LS=1，O(H/E)=O(H),

P(H/E)=P(H)E与H无关LS<1,

O(H/E)<O(H),

P(H/E)<P(H)E使H为真的可能下降，LS越小，P(H/E)→0LS=0，E使H为假LN的意义LN>1,

O(H/～E)>O(H),

P(H/～E)>P(H)E不出现使H为真的可能增加，LN越大，P(H/～E)→1LN=1，O(H/～E)=O(H),

P(H/～E)=P(H)E与H无关LN<1,

O(H/E)<O(H),

P(H/E)<P(H)E不出现使H为真的可能下降，LN越小，P(H/～E)→0LN=0，E不出现使H为假LS>1,LS<1,LN<1LN>1LS=LN=1证明LS>1P(E/H)

/

P(E/～H)>1P(E/H)

>

P(E/～H)1-P(E/H)

<

1-P(E/～H)P(～E/H)

<

P(～E/～H)

P(～E/H)

/

P(～E/～H)

<1LN<1E和～E不能同时支持或H，因此已知:

IF

E

THEN

(LS,

LN)

H

(P(H))求：P(H/E)

及

P(H/

～E)即：当

出现或不出现时，对结论的影响例1：IF

E

THEN(18,1)H(0.06)P(H/E)=——LS—×—P—(H—)—(LS-1)×P(H)+1=

18*0.06

/

(18-1)*0.06+1=

0.535即：E的出现，使得H为真的概率大大增加由于LN=1，说明E不出现对H不产生影响，不需要计算P(H/～E)例2：IF

E

THEN(1,0.003)H(0.4)P(H/～E)

=—————————LN×P(H)(LN-1)×P(H)+1=

0.003*0.4

/

(0.003-1)*0.4+1=

0.002即：E不出现，使得H为 概率大大增加由于LS=1，说明E出现对H不产生影响，不需要计算P(H/E)不确定性刚才

的是肯定出现或不出现的情况。但是在现实中，由于用户的观察或

因素，

往往是不确定的。用

观察S来

E的程度推理网络E2H1HE4E3E1H2S1S2S3S4P(H/S)P(H

/E)P(H

)P(H/～E)P(E/S)0P

(E)1P(E/S)

=

1-----P(H/S)=P(H

/E)P(E/S)=0-----P(H/S)=P(H

/～E)P(E/S)=

P

(E)-----P(H/S)=P(H)P(E/S)P(H/S)P(H

/E)P(H

)P(H/～E)0 P

(E)1P(H|S)

=0≤

P(E|S)

<P(E)P(H)-P(H

/～E)

P(E)P(H

/～E)+×P(E/S)P(H/E)-P(H)

1-P(E)P(H)+×(P(E/S)-P(E))P(E)

≤

P(E|S)

≤

1EH公式用

度表示不确定性度C(E/S)来表示对于用户的观察用需要将C(E/S)转化为P(E/S)再求得：P(H/S)P(H|S)

=C(E|S)

≤0P(H)+

[P(H/E)-P(H)]

×P(H

/～E)+

[P(H)-P(H

/～E)]

×[1

C(E/S)+1]1

C(E/S)C(E|S)

>

055CP公式并行规则的不确定性计算1

2

n·O(H)i=1n

O(H|Si,)O(H|S

S

…S

)

=

∏—————O(H)1

2

nP(H|S

S

…S

)

=————————O(H|S1S2…Sn)1+O(H|S1S2…Sn)例1：• IF

E1

THEN

(20,1)

HIF

E2

THEN

(300,1)

HIF

E3

THEN

(75,1)

HIF

E4

THEN

(4,1)

HP(H)

=

0.03HE1E2E3E4S1S2S3S4(20,1)(300,1)(75,1)(4,1)P(H/E1)=20*0.03

/

(20-1)*0.03+1=0.382O(H/E1)

=

P(H/E1)

/

1-P(H/E1)=0.382

/

1-0.382=0.61855P(H/E2)=300*0.03

/

(300-1)*0.03+1=0.903O(H/E2)

=

P(H/E2)

/

1-P(H/E2)=0.903

/

1-0.903=9.309P(H/E3) =

0.699O(H/E3)

=

2.32P(H/E4) =

0.11O(H/E4)

=

0.124O(H/E1E2E3E4)=

O(H/E1)/O(H)

*

O(H/E2)/O(H)

*

O(H/E3)/O(H)

*

O(H/E4)/O(H)

*

O(H)=61333.3P(H/E1E2E3E4)

≈

1例2：•

IF

E1

THEN

(20,1)

HIF

E2

THEN

(300,1)

HP(H)

=

0.03求P(H/E1E2)P(H/E1)=20*0.03

/

(20-1)*0.03+1=0.382以此作为H的新概率H’HE1E2S1S2(20,1)(300,1)P(H’/E2)=300*0.382

/

(300-1)*0.382+1=0.9946即：P(H/E1E2)=0.9946O(H)=P(H)/

1-P(H)

=

0.3

/

1-0.3

=

0.0309O(H/E1)

=

LS1*O(H)=

20*0.0309

=0.618O(H/E2)

=

300*0.0309

=9.27O(H/E1E2)=

O(H/E1)/O(H)

*

O(H/E2)/O(H)

*O(H)=

0.618*9.27/0.0309=18504P(H/E1E2)

=

O(H/E1E2)

/

1+O(H/E1E2)=185.4/186.4=

0.9946例3：R1：IF

A

THEN

(20,1)

BR2：IF

B

THEN

(300,0.001)

HP(B)

=

0.03,求P(H/A)A肯定发生P(H)=0.01HABS(20,1)(300,0.001)P(B/A) =

LS*P(B)

/

(LS-1)*P(B)+1=20*0.03

/

(20-1)*0.03+1=0.382P(H/B)

=

300*0.01

/

299*0.01+1

=0.752但是，B不是必然发生的(此时A对于B相当于观察S),而且A是支持B的，需要使用EH公式后半部分P(H/A)=

P(H)+

[P(H/B)-P(H)]/[1-P(B)]*[P(B/A)-P(B)]=

0.01+(0.752-0.01)

/(1-0.03)

*

(0.382-0.03)=0.279例4：IF

E1

THEN

(2,0.001)

H1IF

E2

THEN

(100,0.001)

H1IF

H1

THEN

(65,0.01)

H2IF

E3

THEN

(300,0.01)

H2已知：O(H1)

=

0.1,

O(H2)=0.01求：O(H2/S1S2S3)P(H1)

=

O(H1)

/

1+O(H1)=0.1

/

1.1

=

0.09P(H1/E1)=

LS1*P(H1)

/

(LS1-1)*P(H1)+1=

2*0.09

/

1*0.09+1=

0.165H2E1H1E2E3S1S2S3(2,0.001)(65,0.01)(100,0.001)(300,0.1)C(E1/S1)

=

3C(E2/S2)

=

1C(E3/S3)

=-2C(E1/S1)=3>0,使用CP公式后半段P(H1/S1)

=

P(H1)+

[P(H/E1)-P(H1)]

×1/5

C(E1/S1)=

0.09

+

(0.165-0.09)*1/5

*

3=0.135O(H1/S1)

=

P(H1/S1)/

1-P(H1/S1)=

0.135

/

0.865 =

0.156同理：P(H1/E2)

=

100*0.1

/

1+100*.01

=

0.909P(H1/S2)

=

0.09

+

(0.909-0.09)

*

1/5*1=

0.254O(H1/S2)

=

0.254

/

0.746

=0.34O(H1/S1S2)

=

0.156

*

0.34

/0.1=

0.53计算P(H2/S1S2)O(H1/S1S2)

=

0.53

>

O(H1)

=

0.01使用EH后半段P(H2)

=

O(H2)/1+O(H2)

=

0.01

/

1.01

=

0.01P(H2/H1)

=

LS3*P(H2)

/

(LS3-1)P(H2)+1=

65*0.01

/

64*0.01+1 =

0.396P(H1/S1S2)=

O(H1/S1S2)

/

1+O(H1/S1S2)

=

0.53/1.53

=0.346使用EH后半段P(H2/S1S2)=

0.01

+

(0.396-0.01)/(1-0.09)*(0.346-0.09)

=0.119O(H2/S1S2)

0.119

/0.881

=

0.135计算O(H2/S3)用CP前半部分P(H2/-S3)

=

LN3*P(H2)

/(LN3-1)*P(H2)+1=

0.01*0.01/(0.01-1)*0.01+1=0.0001P(H2/S3)=0.0001+(0.01-0.0001)*(-2/5+1)0.0001=0.00594

=

0.006O(H2/S3)=0.006/0.994

=

0.006O(H2/S1S2S3)

=

0.135*0.006/0.01=

0.0815.5

模糊逻辑与模糊推理在经典的集合论中，论域是要的问题所涉及到用的对象的全体组成的一个普通集合。通常大写字母U,V,W等表示论域。A为满足某种性质p(x)的对象的集合，即：

A={x|x∈U,且x满足p(x)}用特征函数表示，即：μA(x)

=10x∈Ax∈A也就是说，如果对象属于集合A，则x的特征函数μA(x)=1，否则为0。是一种“非此即彼”的关系。然而在现实中，对于一些属性或特征，很难用这种非此即彼的方式描述。例如：集合U为本院全体师生，从16-70p为“年轻”5.5.1

模糊集合的定义与表示定义：论域U={x}上的集合A可由隶属函数μA(x)表示，μA(x)在闭区间[0,1]中的取值称为x属于模糊集合A的隶属度。若隶属度越接近1，则x属于A的程度就越大，反之越小。也就是说，论域U上的模糊集是指U中元素

x具有某种特征或性质的元素集合。但是元素x属于集合A的程度是不分明的。所以A是一个模糊集合。x=0,1,2…例如：人类

从0-120，定义小为：μA(x)

=

——1——1+(—x—)2301.00.80.60.40.20

20

40

60

80

100

120“年轻”的隶属度函数图形注意：这里+不代表加法运算，/不代表除法运算。若μA(xi)=0，则可以省略μA(xi)/xi给出另一种表示方法：n论域U是有限域，U={x1,x2,…,xn},U上的任一模糊集合A表示为：A=μA(x1)/x1+

μA(x2)/x2

+…+

μA(xn)/xn=

∑μA(xi)/xii

=1例：论域U={1,2,…,9},A为接近5的整数集合:又：论域U是无限域，U上的任一模糊集合A表示为：A=∫μA(x)/xx∈U注意：这里∫不代表积分符号。例：U为实数集，A为小实数的集合。A=∫(1+x2)-1/xRA=0.1/1

+

0.2/2

+

0.4/3

+

0.7/4

+

1/5

+0.7/6

+

0.4/7

+

0.2/8

+

0.1/9当且仅当论域U中任意元素x，有μA(x)=μB(x)，则两个模糊集A和B相等，即A=B。若论域U中每个元素x，有μA(x)≤μB(x)，则模糊集A是模糊集B的子集。U

=

{x1,x2,…,xn},

A=∑μA(xi)/xi

B=∑μB(xi)/xiA∪B

=

∑

(μA(xi)

∨μB(xi))/xiA∩B

=

∑

(μA(xi)

∧μB(xi))/xiA=∑(1-μA(xi))/xii=1..n,∨-取大，∧-取小U

={x1,x2,…,x5},A=0.2/x1+0.7/x2+1/x3+0.5/x5B=0.5/x1+0.3/x2+0.1/x4+0.7/x5A∪B

=

0.5/x1+0.7/x2+1/x3+0.1/x4+0.7/x5A∩B

=

0.2/x1+0.3/x2+0.5/x5A=

0.8/x1+0.3/x2+1/x4+0.5/x5其他算子有界和⊕=min{1,μA(x)+μB(x)}有界积⊙=max{0,μA(x)+μB(x)-1}概率和

+^

=

μA(x)+μB(x)-μA(x)

μB(x)概率积

·=μA(x)

μB(x)乘积设论域A1,A2,…,An分别是论域U1,U2,…,Un上的模糊集。

A1,A2,…,An的乘积记为A1×A2×…×An,它是论域

U1×U2×…×Un上的一个模糊集。其隶属函数定义为：μA1×A2×…×An

(x1,x2,…,xn)=μA1(x1)∧

μA2(x2)∧…

∧

μAn(xn)若论域是有限域，模糊记得

乘积为：A1×A2×…×An=∑(μA1(x1)∧

μA2(x2)∧…

∧

μAn(xn))/(x1,x2,…,xn)若论域是无限域，模糊记得

乘积为：A1×A2×…×An=∫(μA1(x1)∧

μA2(x2)∧…

∧

μAn(xn))/(x1,x2,…,xn)设U1=U2

={x1,x2,x3,x4},A1=0.5/x1+1/x2+0.6/x3A2=1/x1+0.7/x2A1={

0.5,

1,

0.6,0}A2={

1,

0.7,

0,

0}0.5

0.5

0

01

0.7

0

00.6

0.6

0

00

0

0

0B=A1×A2

为4×4的矩阵μB11

=

μA1(x1)

∧

μA2(x1)

=

0.5∧1

=

0.5μB12

=

μA1(x1)

∧

μA2(x2)

=

0.5∧0.7

=

0.5μB13

=

μA1(x1)

∧

μA2(x3)

=

0.5∧0

=

0μB14

=

μA1(x1)

∧

μA2(x4)

=

0.5∧0

=

0μB21

=

μA1(x2)

∧

μA2(x1)

=

1∧1

=

1μB22

=

μA1(x2)

∧

μA2(x2)

=

1∧0.7

=

0.7A1×A2

=5.5.2

模糊关系及模糊变换间的关联程度有模糊关系描述两个集合的元多大。设U={x1,x2,…,xn}和V={y1,y2,…,ym}分别是论域，模糊关系R是乘积U×Ｖ中的模糊集，Ｒ的隶属函数表示为μij

=μＲ(xi,yj)，表示Ｕ中的元素xi与V中的元素yj之间的关联程度。可用矩阵形式表示：Ｒ＝μ11…μm1…

μ1n……

μmn例：U={a,b,c｝表示三个人。Ｒ表示U×Ｕ上彼此熟悉程度１0.70.30.910.40.50.11Ｒ＝例：

U={a,b,c,d｝表示四个人,V={德育,学习成绩,社会活动}。Ｒ表示U×V上

在某方面的相对分Ｒ＝0.

90.780.50.750.880.80.680.760.820.810.960.7R1是论域U×V上的模糊关系，

R2是论域V×W上的模糊关系，则R1和R2的

R1◦R2是U×W上的模糊关系，其隶属函数定义为：μR1◦R2

(x,z)

=

max(min

μＲ1(x,y),

μR2

(y,z)))=

∨(μＲ1(x,y)∧

μR2

(y,z))y∈V模糊关系的

：模糊变换：设A是论域U上的模糊集，R是论域U×V上的模糊关系，则B=A

◦R称为模糊变换。（B是V上的模糊集）Ｒ＝A

=

{0.2，0.5，0.3}求B=A◦RA为1×3,

R为3×4，所以B为1×40.2

0.7

0.1

00

0.4

0.5

0.10.2

0.3

0.4

0.1B1为A的第一行和R的第一列依次取小后再取大得到的值B2为A的第一行和R的第二列依次取小后再取大得到的值B=

A◦R=

{0.2,

0.4,

0.5,

0.1}例：A＝0.１

0.20.3

0.1B＝0.3

0.20.1

0.7A＝1-0.11-0.31-0.21-0.10.9

0.80.7

0.9＝A∪B

＝0.1∨0.30.3∨0.10.2∨0.20.1∨0.70.3

0.30.3

0.7＝A∩B

＝0.1∧0.30.3∧0.10.2∧0.20.1∧0.70.1

0.20.1

0.1＝A◦B

＝(a11∧b11)∨(a12∧b21)(a21∧b11)∨(a22∧b21)(a11∧b12)∨(a12∧b22)(a21∧b12)∨(a22∧b22)0.1

0.20.3

0.2＝例：设对产品评判，标准是质量(u1)，价格(u2)，售后(u3)因此论域U={u1,u2,u3}.评判等级：好(v1)、较好(v2)、一般(v3)、差(v41)因此论域V={v1,v2,v3,v4}.邀请若干评委打分结果如下模糊评价：Ｒ＝0.6

0.2

0.2

00.8

0.1

0.1

00.3

0.3

0.3

0.1客户反馈意见：关心质量、价格、售后为A

=

{0.3，0.3，0.4}B=

A◦R=

{0.3,

0.3,

0.3,

0.1}即将客户反馈A对评委评判意见模糊变换后的结果5.5.3

模糊匹配：if

x

is

小theny

is

大现在，x

is

较小？U

=

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A=

1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5B=

1/1+0.89/2+0.77/3+0.63/4+0.45/5为了确定规则的条件是否与

模糊匹配，就需要对两个模糊集A和B来计算他们的匹配程度。有多种方法可以衡量模糊集的匹配程度δ(A,B)贴近度A=0.6/a+0.8/b+1/c+0.8/d+0.6/e+0.5/fB=0.4/a+0.6/b+0.8/c+1/d+0.8/e+0.6/fA●B=0.8 A⊙B

=

0.6(A,B)

=0.5×(0.8+1-0.6)

=0.6δ(A,B)

=0.6(A,B)

=

—1

[A●B+(1-A⊙B)2其中，A●B

=

∨(μA(ui)

∧μB(ui)

)

内积UA⊙B=∧(μA(ui)∨μB(ui))

外积U语义距离匹配度δ(A,B)=1-d(A,B)A=0.6/a+0.8/b+1/c+0.8/d+0.6/e+0.5/fB=0.4/a+0.6/b+0.8/c+1/d+0.8/e+0.6/f海明距离：d(A,B)≈0.183

δ=0.817欧几里的距离：d(A,B)≈0.187

δ=0.813B

i1海明距离：

d(A,B)

=

—n

∑|

μA(ui)

－μ

(u

)|欧几里德距离：

d(A,B)

=

—1

∑(μA(ui)

－μB(ui))2n5.5.4

模糊推理基本形式if

x

is

A

theny

is

B其中A与B分别是论域U和V上的模糊集x

is

A’y

is

B’结论方法：构造模糊集

A、

B之间的模糊关系R，然后通过R与

的

来求得结论. B’=

A’◦

R扎德方法：条件命题极大极小规则Rm条件命题算术规则RaRm

=

(A×B)

∪(A×V)=

∫(μA(u)∧μB(v))∨(1－μA(u))

/

(u,v)U×VRm(i,j)

=

(μA(ui)∧μB(vj))∨(1－(μA(ui))Ra

=

(A×V)

⊕(U×B)=

∫(1∧

(1－μA(u)+μB(v))

/

(u,v)U×VRa(i,j)

=

1∧

(1-μA(ui)+μB(vj))例：U=V={1,2,3,4,5}A=

1/1+0.5/2

B=

0.4/3+0.6/4+1/50

0

0.4

0.6

10.5

0.5

0.5

0.5

0.5Ｒm＝1111111111111110

0

0.4

0.6

10.5

0.5

0.9

1

1Ｒa＝111111111111111A’=

1/1+0.4/2+0.2/3={0.4,0.4,0.4,0.6,1}0

0

0.4

0.6

1B’m=A’

◦Ｒm=

{1,0.4,0.2,0,0}

◦0.50.50.50.50.5111111111111111000.40.610.50.50.911111111111111111B’a=A’

◦Ｒa=

{1,0.4,0.2,0,0}

◦=

{0.4,0.4,0.4,0.6,1}带有

度的模糊推理规则：if

x

is

A

then

y

is

B (CF1,

λ)其中A与B分别是论域U和V上的模糊集CF1是模糊规则的

度因子λ是规则的阈值条件：xis

A’

(CF2)结论：yis

B’

(CF)计算A与A’的匹配程度δ，若δ>λ，则条件可以匹配CF

=

δ(A,A’)×CF1×CF2CF

=

δ(A,A’)×min{CF1,CF2}CF

=

δ(A,A’)×max{0,

CF1+CF2-1}例：U

=

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}小=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5较小=1/1+0.89/2+0.77/3+0.63/4+0.45/5大=0.2/4+0.4/5+0.6/6+0.8/7+1/8+1/9+1/10R1: If

x

is

小

then

y

is

B1

(0.15)R2: If

x

is

较小

then

y

is

B2

(0.25)R3: If

x

is

大

then

y

is

B3

(0.3)有 ：x

is

5

(0.6)例：U

=

{u1,u2,u3,u4,u5}A

=

0.9/u1+0.6/u2+0.4/u3B

=0.6/u2+0.8/u3+0.5/u4C

=

0.5/u3+0.8/u4+1/u5D

=

0.8/u1+0.5/u2+0.1/u3R1:

If

x

is

A

then

y

is

H1R2:

If

x

is

B

then

y

is

H2R3:

If

x

is

C

then

y

is

H3有：x

isD不确定性：从以下三个方面或事实的不确定性规则的不确定性推理的不确定性组合不确定性的计算：如条件的与、或、否定，如何计算并行规则的不确定性计算：当多条规则满足时，如何给出复合结果。IF e1

TH