不定积分习题课件

第四章不定积分习题课

第四章不定积分习题课1一、不定积分的基本概念与性质1．原函数与不定积分的概念(1)原函数的定义：

(2)不定积分的定义：设为一个原函数，则

在区间上，若则称是在上原函数。

一、不定积分的基本概念与性质1．原函数与不定积分的概念(1)22．不定积分的性质(1)线性性质：

(2)微分与积分运算：2．不定积分的性质(1)线性性质：(2)微分与积分运3二、基本计算方法1．直接积分法

首先要对被积函数进行恒等变形，然后利用不定积分的基本性质和基本积分表求出不定积分。常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,二、基本计算方法1．直接积分法首先要对被积函数42．第一类换元法（凑微分法）：

设，则常用的几种配元形式:

万能凑幂法2．第一类换元法（凑微分法）：设，则常用的几种配元形式:5（适合求形如的积分）（P197例12）的积分）（适合求形如的积分）（适合求形如（适合求形如的积分）（P197例12）的积分）（适合求形如的6的积分）（适合求形如9）（P199例17）10)(1)分项积分:(2)降低幂次:利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如常用简化技巧:的积分）（适合求形如9）（P199例17）10)(1)分73．第二类换元法（变量置换法）：第二类换元法：三角代换倒代换简单无理函数代换

注意：式中

回代。必须单调可导，对t作完积分后,

要用反函数3．第二类换元法（变量置换法）：第二类换元法：三角代换倒代8第二类换元法常见类型:令令令或令令7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换

令令8)第二类换元法常见类型:令令令或令令7)分母中因子次94．分部积分法：

或使用原则:1)由易求出v;2)比好求.一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为u,排后者取为题目类型:分部化简;循环解出;4．分部积分法：或使用原则:1)由易求出v;2)比105．有理函数的积分法：

积分法要点：若是假分式，先作多项式除法，使使之变为一次分式和二次分式的代数和。之变为：“多项式+真分式”。对真分式进行分项，其中部分分式的形式为(1)用拼凑法(2)用赋值法分解方法：5．有理函数的积分法：积分法要点：若是假分式11四种典型部分分式的积分:

变分子为

再分项积分

四种典型部分分式的积分:变分子为再分项积分126．万能公式法：

如果被积函数是三角函数有理式则可采用万能公式。令则从而说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换6．万能公式法：如果被积函数是三角函数有理式则可采用万能13需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.因此不一定都能积出.例如,需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)14三、典型例题、【例1】设是的原函数，求解：由于是的原函数，故令，则三、典型例题、【例1】设是的原函数，求解：由于是的原函数15【例2】求不定积分解：利用不定积分的性质，可知【例3】求不定积分解：【例2】求不定积分解：利用不定积分的性质，可知【例316

分析：由于被积函数不能直接利用基本公式和凑微然后可利用基本公式。分法求解，所以应该首先对被积函数进行代数恒等变形，【例4】求不定积分解：分析：由于被积函数不能直接利用基本公式和凑微17【例5】求不定积分然后利用凑微分法。分析：一般情况下首先分母要进行有理化，解：【例5】求不定积分然后利用凑微分法。分析：一般情况下首先分18【例6】求不定积分分析：此题属于型，故凑解：【例6】求不定积分分析：此题属于型，故凑解：19【例7】求不定积分解：【例7】求不定积分解：20【例8】求不定积分分析：由于被积函数

，不能直接利用基本公式和凑微分法求解，所以应该先对被积函数进行代数恒等变形为：或，再想到凑微分：或，然后进行计算。中含有另外，由于，不能直接计算，可以考虑换元或，然后再进行计算。【例8】求不定积分分析：由于被积函数，不能直接利用基本公21解法1：因为所以解法1：因为所以22解法2：因为所以解法3：令,则于是解法2：因为所以解法3：令,则于是23【例9】求不定积分解法1：(倒代换）设则则【例9】求不定积分解法1：(倒代换）设则则24【例10】求不定积分解法2：(三角代换）设则解：【例10】求不定积分解法2：(三角代换）设则解：25【例11】求不定积分分析：若取

积分法计算出结果，但如果注意到被积函数的特点，

显然可以利用分部先将被积函数进行恒等变形，则会简化计算。解：原式

注意

运算中综合使用不同方法往往更有效。

【例11】求不定积分分析：若取积分法计算出结果，但如果注26【例12】求不定积分分析：由于被积函数中含有根式，所以首先要令把根式去掉，然后选择合适的方法计算。另外，观察被积表达式的特点，由于所以可应用分部积分法计算。【例12】求不定积分分析：由于被积函数中含有根式，所以首先27解法1：令，则所以应用分部积分法所以解法1：令，则所以应用分部积分法所以28解法2：因为所以应用分部积分法解法2：因为所以应用分部积分法29【例13】求不定积分解：【例13】求不定积分解：30【例14】求不定积分分析：设

，则由于中含有和，所以令或去掉根式，然后选择适当的计算方法。

进行恒等变形

然后运用基本积分公式就可以计算。另外，可对

【例14】求不定积分分析：设，则由于中含有和，所以令或去31，于是解法2：因为所以，则解法1：令注：在本题的计算中同样可以选择其计算的复杂程度与选择相同。，于是解法2：因为所以，则解法1：令注：在本题的计算中同32【例15】求不定积分分析：

本题中隐含着不能积分的积分项，但在积分的过程中正、负项抵消.解：【例15】求不定积分分析：本题中隐含着不能积分的积分项，33【例16】设的一个原函数为，求解：由于

为

的原函数

，故从而

【例16】设的一个原函数为，求解：由于为的原函数，故34【例17】求不定积分把假分式化成一个多项式与一个真分式的和，对真

分析：由于被积函数为有理函数，且为假分式，所以首先采用拆项积分。解：设即得于是【例17】求不定积分把假分式化成一个多项式与一个真分式的和35【例18】求不定积分分析：由于被积函数为有理函数且为真分式，分母是二次

是一次式，而分母的导数也是一次式，因此将分

质因式，即不能分解成一次因式的乘积，注意到分子子变成分母的导数

形式，所以把分子拆成和8两部分，而分子可以凑微成，进而可以计算。【例18】求不定积分分析：由于被积函数为有理函数且为真分式36解：解：37【例19】求不定积分分析：(1)由于被积函数为三角函数有理式，所以首先想到用万能公式计算；(2)对被积函数进行恒等变形为：进行计算；就可以用换元：

再利用

(3)把被积函数进行恒等变形为：的关系进行计算.【例19】求不定积分分析：(1)由于被积函数为三角函数有理38解法1：令，则，于是解法1：令，则，于是39解法2：由于被积函数可化为的函数，可设则，于是解法2：由于被积函数可化为的函数，可设则，于是40解法3：由于所以注：(1)通过上面三种解法可看出，用万能代换计算三角函数有理式的积分一定能解出，但计算复杂，所以不是最优的。其余的二种解法，很明显解法3最简单快捷，因为它首先对被积函数进行了恒等变形，进而转化成几个基本积分公式的代数和。

(2)在计算三角函数有理式的不定积分时，关键是利用三角公式进行恒等变形，并利用三角函数与导数之间的关系进行换元或凑微。解法3：由于所以注：(1)通过上面三种解法可看出，用万能代41第四章不定积分习题课

第四章不定积分习题课42一、不定积分的基本概念与性质1．原函数与不定积分的概念(1)原函数的定义：

(2)不定积分的定义：设为一个原函数，则

在区间上，若则称是在上原函数。

一、不定积分的基本概念与性质1．原函数与不定积分的概念(1)432．不定积分的性质(1)线性性质：

(2)微分与积分运算：2．不定积分的性质(1)线性性质：(2)微分与积分运44二、基本计算方法1．直接积分法

首先要对被积函数进行恒等变形，然后利用不定积分的基本性质和基本积分表求出不定积分。常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,二、基本计算方法1．直接积分法首先要对被积函数452．第一类换元法（凑微分法）：

设，则常用的几种配元形式:

万能凑幂法2．第一类换元法（凑微分法）：设，则常用的几种配元形式:46（适合求形如的积分）（P197例12）的积分）（适合求形如的积分）（适合求形如（适合求形如的积分）（P197例12）的积分）（适合求形如的47的积分）（适合求形如9）（P199例17）10)(1)分项积分:(2)降低幂次:利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如常用简化技巧:的积分）（适合求形如9）（P199例17）10)(1)分483．第二类换元法（变量置换法）：第二类换元法：三角代换倒代换简单无理函数代换

注意：式中

回代。必须单调可导，对t作完积分后,

要用反函数3．第二类换元法（变量置换法）：第二类换元法：三角代换倒代49第二类换元法常见类型:令令令或令令7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换

令令8)第二类换元法常见类型:令令令或令令7)分母中因子次504．分部积分法：

或使用原则:1)由易求出v;2)比好求.一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为u,排后者取为题目类型:分部化简;循环解出;4．分部积分法：或使用原则:1)由易求出v;2)比515．有理函数的积分法：

积分法要点：若是假分式，先作多项式除法，使使之变为一次分式和二次分式的代数和。之变为：“多项式+真分式”。对真分式进行分项，其中部分分式的形式为(1)用拼凑法(2)用赋值法分解方法：5．有理函数的积分法：积分法要点：若是假分式52四种典型部分分式的积分:

变分子为

再分项积分

四种典型部分分式的积分:变分子为再分项积分536．万能公式法：

如果被积函数是三角函数有理式则可采用万能公式。令则从而说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换6．万能公式法：如果被积函数是三角函数有理式则可采用万能54需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.因此不一定都能积出.例如,需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)55三、典型例题、【例1】设是的原函数，求解：由于是的原函数，故令，则三、典型例题、【例1】设是的原函数，求解：由于是的原函数56【例2】求不定积分解：利用不定积分的性质，可知【例3】求不定积分解：【例2】求不定积分解：利用不定积分的性质，可知【例357

分析：由于被积函数不能直接利用基本公式和凑微然后可利用基本公式。分法求解，所以应该首先对被积函数进行代数恒等变形，【例4】求不定积分解：分析：由于被积函数不能直接利用基本公式和凑微58【例5】求不定积分然后利用凑微分法。分析：一般情况下首先分母要进行有理化，解：【例5】求不定积分然后利用凑微分法。分析：一般情况下首先分59【例6】求不定积分分析：此题属于型，故凑解：【例6】求不定积分分析：此题属于型，故凑解：60【例7】求不定积分解：【例7】求不定积分解：61【例8】求不定积分分析：由于被积函数

，不能直接利用基本公式和凑微分法求解，所以应该先对被积函数进行代数恒等变形为：或，再想到凑微分：或，然后进行计算。中含有另外，由于，不能直接计算，可以考虑换元或，然后再进行计算。【例8】求不定积分分析：由于被积函数，不能直接利用基本公62解法1：因为所以解法1：因为所以63解法2：因为所以解法3：令,则于是解法2：因为所以解法3：令,则于是64【例9】求不定积分解法1：(倒代换）设则则【例9】求不定积分解法1：(倒代换）设则则65【例10】求不定积分解法2：(三角代换）设则解：【例10】求不定积分解法2：(三角代换）设则解：66【例11】求不定积分分析：若取

积分法计算出结果，但如果注意到被积函数的特点，

显然可以利用分部先将被积函数进行恒等变形，则会简化计算。解：原式

注意

运算中综合使用不同方法往往更有效。

【例11】求不定积分分析：若取积分法计算出结果，但如果注67【例12】求不定积分分析：由于被积函数中含有根式，所以首先要令把根式去掉，然后选择合适的方法计算。另外，观察被积表达式的特点，由于所以可应用分部积分法计算。【例12】求不定积分分析：由于被积函数中含有根式，所以首先68解法1：令，则所以应用分部积分法所以解法1：令，则所以应用分部积分法所以69解法2：因为所以应用分部积分法解法2：因为所以应用分部积分法70【例13】求不定积分解：【例13】求不定积分解：71【例14】求不定积分分析：设

，则由于中含有和，所以令或去掉根式，然后选择适当的计算方法。

进行恒等变形

然后运用基本积分公式就可以计算。另外，可对

【例14】求不定积分分析：设，则由于中含有和，所以令或去72，于是解法2：因为所以，则解法1：令注：在本题的计算中同样可以选择其计算的复杂程度与选择相同。，于是解法2：因为所以，则解法1：令注：在本题的计算中同73【例15】求不定积分分析：

本题中隐含着不能积分的积分项，但在积分的过程中正、负项抵消.解：【例15】求不定积分分析：本题中隐含着不能积分的积分项，74【例16】设的一个原函数为，求解：由于

为

的原函数

，故从而

【例16】设的一个原函数为，求解：由于为的原函数，故75【例17】求不定积分把假分式化成一个多项式与一个真分式的和，对真

分析：由于被积函数为有理函数，且为假分