高考数学《26 幂函数与二次函数》课件

2.6

幂函数与二次函数2.6幂函数与二次函数-2-知识梳理双基自测211.幂函数(1)幂函数的定义:形如

(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是

,α是

.

(2)五种幂函数的图象y=xα

自变量

常数

-2-知识梳理双基自测211.幂函数y=xα自变量常数-3-知识梳理双基自测21(3)五种幂函数的性质

R

R

R

[0,+∞){x|x∈R,且x≠0}R[0,+∞)R[0,+∞){y|y∈R,且y≠0}增

x∈[0,+∞)时,增,x∈(-∞,0)时,减

增

增

x∈(0,+∞)时,减,x∈(-∞,0)时,减

-3-知识梳理双基自测21(3)五种幂函数的性质RR-4-知识梳理双基自测212.二次函数(1)二次函数的三种形式一般式:

;

顶点式:

,其中

为顶点坐标;

零点式:

,其中

为二次函数的零点.

f(x)=ax2+bx+c(a≠0)

f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)(h,k)

f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)x1,x2-4-知识梳理双基自测212.二次函数f(x)=ax2+bx-5-知识梳理双基自测21(2)二次函数的图象和性质

-5-知识梳理双基自测21(2)二次函数的图象和性质-6-知识梳理双基自测21-6-知识梳理双基自测212-7-知识梳理双基自测3415答案答案关闭(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√

2-7-知识梳理双基自测3415答案答案关闭(1)×-8-知识梳理双基自测23415A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,2)答案解析解析关闭答案解析关闭-8-知识梳理双基自测23415A.(-1,1)答案解析-9-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭A.b<a<c B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b-9-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案-10-知识梳理双基自测234154.若幂函数

的图象不经过原点,则实数m的值为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-10-知识梳理双基自测234154.若幂函数-11-知识梳理双基自测234155.(教材习题改编P82T10)已知幂函数y=f(x)的图象过点

则此函数的解析式为

;在区间

上单调递减.

答案解析解析关闭答案解析关闭-11-知识梳理双基自测234155.(教材习题改编P82T-12-考点1考点2考点3例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是(

)(2)已知幂函数(n∈Z)在(0,+∞)上是减函数,则n的值为(

)A.-3 B.1 C.2 D.1或2思考幂函数与指数函数有怎样的区别?幂函数有哪些重要的性质?答案解析解析关闭答案解析关闭-12-考点1考点2考点3例1(1)若幂函数y=f(x)的图-13-考点1考点2考点3解题心得1.幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量.2.幂函数的主要性质:(1)幂函数在(0,+∞)上都有定义,幂函数的图象都过定点(1,1).(2)当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增.(3)当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.(4)幂函数图象在第一象限的特点:当α>1时,曲线下凸;当0<α<1时,曲线上凸;当α<0时,曲线下凸.-13-考点1考点2考点3解题心得1.幂函数中底数是自变量,-14-考点1考点2考点3答案解析解析关闭答案解析关闭-14-考点1考点2考点3答案解析解析关闭答案解析关-15-考点1考点2考点3例2已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.思考求二次函数解析式时如何选取恰当的表达形式?-15-考点1考点2考点3例2已知二次函数f(x)满足f(2-16-考点1考点2考点3-16-考点1考点2考点3-17-考点1考点2考点3-17-考点1考点2考点3-18-考点1考点2考点3解法三

(利用交点式)由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,因此所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.-18-考点1考点2考点3解法三(利用交点式)-19-考点1考点2考点3解题心得根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:(1)已知三个点坐标,宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴的两个交点坐标,宜选用交点式.-19-考点1考点2考点3解题心得根据已知条件确定二次函数的-20-考点1考点2考点3对点训练2已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且它有最小值-1,则f(x)的解析式为f(x)=

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-20-考点1考点2考点3对点训练2已知二次函数f(x)有两-21-考点1考点2考点3考向一

二次函数的最值问题例3设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为g(x),求g(x).思考如何求含参数的二次函数在闭区间上的最值?-21-考点1考点2考点3考向一二次函数的最值问题-22-考点1考点2考点3解

∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,∴对称轴为直线x=1,∵x=1不一定在区间[-2,a]内,当-2<a≤1时,函数在[-2,a]上单调递减,则当x=a时,y取得最小值,即ymin=a2-2a;当a>1时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当x=1时,y取得最小值,即ymin=-1.-22-考点1考点2考点3解∵函数y=x2-2x=(x-1-23-考点1考点2考点3考向二

与二次函数有关的存在性问题例4已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是

.

思考如何理解本例中对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0)?答案解析解析关闭答案解析关闭-23-考点1考点2考点3考向二与二次函数有关的存在性问题-24-考点1考点2考点3考向三

二次函数中的恒成立问题例5已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间;(2)在(1)的条件下,f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,求k的取值范围.思考由不等式恒成立求参数取值范围的一般解题思路是什么?-24-考点1考点2考点3考向三二次函数中的恒成立问题-25-考点1考点2考点3解

(1)∵函数f(x)的最小值为f(-1)=0,∴a=1,b=2.∴f(x)=x2+2x+1,单调递减区间为(-∞,-1],单调递增区间为[-1,+∞).(2)f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,等价为x2+x+1>k在区间[-3,-1]上恒成立.设g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1],则g(x)在[-3,-1]上单调递减.故g(x)min=g(-1)=1.因此k<1,即k的取值范围为(-∞,1).-25-考点1考点2考点3解(1)∵函数f(x)的最小值为-26-考点1考点2考点3解题心得1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.2.已知函数f(x),g(x),若对任意的x1∈[a,b]都存在x0∈[a,b],使得g(x1)=f(x0),求g(x)中参数的取值范围,说明g(x1)在[a,b]上的取值范3.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键:(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值.-26-考点1考点2考点3解题心得1.二次函数在闭区间上的最-27-考点1考点2考点3对点训练3(1)已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为(

)A.[0,1] B.[1,2] C.(1,2] D.(1,2)(2)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]时有最大值2,则a的值为

.

(3)已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,则a的取值范围为

.

答案答案关闭-27-考点1考点2考点3对点训练3(1)已知函数y=x2--28-考点1考点2考点3解析:

(1)如图,由图象可知m的取值范围是[1,2].(2)函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,对称轴方程为x=a.当a<0时,f(x)max=f(0)=1-a,则1-a=2,即a=-1.当0≤a≤1时,f(x)max=a2-a+1,则a2-a+1=2,即a2-a-1=0,-28-考点1考点2考点3解析:(1)如图,由图象可知m的-29-考点1考点2考点3-29-考点1考点2考点32.6

幂函数与二次函数2.6幂函数与二次函数-31-知识梳理双基自测211.幂函数(1)幂函数的定义:形如

(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是

,α是

.

(2)五种幂函数的图象y=xα

自变量

常数

-2-知识梳理双基自测211.幂函数y=xα自变量常数-32-知识梳理双基自测21(3)五种幂函数的性质

R

R

R

[0,+∞){x|x∈R,且x≠0}R[0,+∞)R[0,+∞){y|y∈R,且y≠0}增

x∈[0,+∞)时,增,x∈(-∞,0)时,减

增

增

x∈(0,+∞)时,减,x∈(-∞,0)时,减

-3-知识梳理双基自测21(3)五种幂函数的性质RR-33-知识梳理双基自测212.二次函数(1)二次函数的三种形式一般式:

;

顶点式:

,其中

为顶点坐标;

零点式:

,其中

为二次函数的零点.

f(x)=ax2+bx+c(a≠0)

f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)(h,k)

f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)x1,x2-4-知识梳理双基自测212.二次函数f(x)=ax2+bx-34-知识梳理双基自测21(2)二次函数的图象和性质

-5-知识梳理双基自测21(2)二次函数的图象和性质-35-知识梳理双基自测21-6-知识梳理双基自测212-36-知识梳理双基自测3415答案答案关闭(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√

2-7-知识梳理双基自测3415答案答案关闭(1)×-37-知识梳理双基自测23415A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,2)答案解析解析关闭答案解析关闭-8-知识梳理双基自测23415A.(-1,1)答案解析-38-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭A.b<a<c B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b-9-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案-39-知识梳理双基自测234154.若幂函数

的图象不经过原点,则实数m的值为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-10-知识梳理双基自测234154.若幂函数-40-知识梳理双基自测234155.(教材习题改编P82T10)已知幂函数y=f(x)的图象过点

则此函数的解析式为

;在区间

上单调递减.

答案解析解析关闭答案解析关闭-11-知识梳理双基自测234155.(教材习题改编P82T-41-考点1考点2考点3例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是(

)(2)已知幂函数(n∈Z)在(0,+∞)上是减函数,则n的值为(

)A.-3 B.1 C.2 D.1或2思考幂函数与指数函数有怎样的区别?幂函数有哪些重要的性质?答案解析解析关闭答案解析关闭-12-考点1考点2考点3例1(1)若幂函数y=f(x)的图-42-考点1考点2考点3解题心得1.幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量.2.幂函数的主要性质:(1)幂函数在(0,+∞)上都有定义,幂函数的图象都过定点(1,1).(2)当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增.(3)当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.(4)幂函数图象在第一象限的特点:当α>1时,曲线下凸;当0<α<1时,曲线上凸;当α<0时,曲线下凸.-13-考点1考点2考点3解题心得1.幂函数中底数是自变量,-43-考点1考点2考点3答案解析解析关闭答案解析关闭-14-考点1考点2考点3答案解析解析关闭答案解析关-44-考点1考点2考点3例2已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.思考求二次函数解析式时如何选取恰当的表达形式?-15-考点1考点2考点3例2已知二次函数f(x)满足f(2-45-考点1考点2考点3-16-考点1考点2考点3-46-考点1考点2考点3-17-考点1考点2考点3-47-考点1考点2考点3解法三

(利用交点式)由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,因此所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.-18-考点1考点2考点3解法三(利用交点式)-48-考点1考点2考点3解题心得根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:(1)已知三个点坐标,宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴的两个交点坐标,宜选用交点式.-19-考点1考点2考点3解题心得根据已知条件确定二次函数的-49-考点1考点2考点3对点训练2已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且它有最小值-1,则f(x)的解析式为f(x)=

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-20-考点1考点2考点3对点训练2已知二次函数f(x)有两-50-考点1考点2考点3考向一

二次函数的最值问题例3设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为g(x),求g(x).思考如何求含参数的二次函数在闭区间上的最值?-21-考点1考点2考点3考向一二次函数的最值问题-51-考点1考点2考点3解

∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,∴对称轴为直线x=1,∵x=1不一定在区间[-2,a]内,当-2<a≤1时,函数在[-2,a]上单调递减,则当x=a时,y取得最小值,即ymin=a2-2a;当a>1时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当x=1时,y取得最小值,即ymin=-1.-22-考点1考点2考点3解∵函数y=x2-2x=(x-1-52-考点1考点2考点3考向二

与二次函数有关的存在性问题例4已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是

.

思考如何理解本例中对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0)?答案解析解析关闭答案解析关闭-23-考点1考点2考点3考向二与二次函数有关的存在性问题-53-考点1考点2考点3考向三

二次函数中的恒成立问题例5已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间;(2)在(1)的条件下,f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,求k的取值范围.思考由不等式恒成立求参数取值范围的一般解题思路是什么?-24-考点1考点2考点3考向三二次函数中的恒成立问题-54-考点1考点2考点3解

(1)∵函数f(x)的最小值为f(-1)=0,∴a=1,b=2.∴f(x)=x2+2x+1,单调递减区间为(-∞,-1],单调递增区间为[-1,+∞).(2)f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,等价为x2+x+1>k在区间[-3,-1]上恒成立.设g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1],则g(x)在[-3,-1]上单调递减.故g(x)min=g(-1)=1.因此k<1,即k的取值范围为(-∞,