无锡市江阴市南菁中学九年级上期中数学试卷含答案解析

2022-2023江苏省无锡市江阴市南菁中学九年级（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）﹣3的倒数( )A．﹣下面与A． B．

B． C．3 D．﹣3是同类二次根式的( )C． D．已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形( A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形下列四张扑克牌的牌面，不是中心对称图形的( )A． B． C． 5．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形( )A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=15如图，四边形ABCDBC∠BAD=105°，则∠DCE的大小( )B．l05°D．95°在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值( )A． B．3 C． D．21/28关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围( A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0D．k＜1且k≠0如图是直角三角形AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y= 的图上．若点B在反比例函数y= 的图象上，则k的值( )A．﹣4C．﹣2D．2为半圆O⊙O为BC为APOC于E，连CD③∠OEA=∠APB；④PC+ CE为定值．其中正确结论的个数( )A．l个B．2个C．3个D．4个二．填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）函数y= 中自变量x的取值范围．设一元二次方程2x2﹣x﹣1=0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2= ．1500015000亿元用科学记数法表示为 元．分解因式：ax2+2ax+a= ．2/2823，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 ．如果四边形的两条对角线相等，那么顺次连接四边形各边中点得到的四边形是．一种药品经过两次降价，药价从原来每盒6048.6元，则平均每次降价的百分率是 如图，已知Rt△ABC的直角边AC=24，斜边AB=25，一个以点P为圆心、半径为1的圆△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程⊙P一直保持△ABC的边相切，点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度．三．解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：6tan230°﹣ sin60°﹣ sin45°（2）先化简，再求值： ÷（1+ ），其中x= ﹣1．20．（1）解方程：x2﹣2x﹣3=0；（2）解不等式组： ．已知：如图，在四边形ABCD∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DFBE．求证：四边形ABCD为平行四边形．如图，四边形ABCD是⊙O∠ABC=2∠D，连接OAOB、OCAC，OB与AC相交于点E．OCA的度数；∠COB=3∠AOB，OC=2 ，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）3/28”儿童节前夕，薪黄县教育局准备给留守儿童赠送一批学习用品，先对浠泉镇浠泉小学的留守儿童人数进行抽样统计，发现各班留守儿童人数分别为6名，7名，8名，12名这五种情形，并将统计结果绘制成了如图所示的两份不完整的统计图：请根据上述统计图，解答下列问题：该校有多少个班级？并补充条形统计图；该校平均每班有多少名留守儿童？留守儿童人数的众数是多少？若该镇所有小学共有60名留守儿童．某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店经营，该网店以每个20元的价格购进3530035元的价格销售仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低150个）．1元售出，则第一周，第二周分别获利多少元？若第二周单价降低x元销售一周后，商店对剩余商品清仓处理，以每个159500元，问第二周每个商品的单价应降低多少元？25．如图，某建筑物BC顶部有釕一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小红在D处观测旗杆顶部A47°，观测旗杆底部B42°已知点D到地面的距离为1.56m，EC=21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位）．参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90．4/28学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c15的整数个单位长度．表示边长2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（作图痕迹）．如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于两点，且M是AB的中点．以OM⊙P分别交x轴，yC，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），连结DE交OM于点（1）若点M的坐标为（3，4），①求两点的坐标；②求ME的长．（2）若 =3，∠OBA的度数．（3）设tan∠OBA=x（0＜x＜1），

=yy关于x的函数解析式．是坐标原点，点A的坐标是点B是（0，b）（b＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥xC．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为a．当b=3时，①求直线AB的解析式；②若点P′的坐标是（﹣1，m），求m的值；若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．当P′D：DC=1：3时，求a的值；是否同时存在a，b△P′CAa，b的值；若不存在，请说明理由．5/286/282022-2023江苏省无锡市江阴市南菁中学九年级（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）﹣3的倒数( )A．﹣ B． C．3 D．﹣3【考点】倒数．【专题】存在型．【分析】根据倒数的定义进行解答即可．解：∵（﹣3）×（﹣）=1，∴﹣3的倒数是﹣．故选A．【点评】本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数．下面与A． B．

是同类二次根式的( )C． D．【考点】同类二次根式．【专题】计算题．【分析】分别将各选项中的二次根式化为最简，然后可判断出答案．【解答解、 是最简二次根式与 不同，故本选项错误；B、 =2C、 =2D、 =2

，故本选项错误；，故本选项正确；，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查同类二次根式的知识，属于基础题，比较简单，注意细心将各选项分别化简后再作答．已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形( A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形7/28【考点】多边形内角与外角．【分析】多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成60°n，列方程可求解．解：设所求正n边形边数为60°•n=360°，解得n=6．故正多边形的边数是6．故选B．【点评】本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．下列四张扑克牌的牌面，不是中心对称图形的( )A． B． C． D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念和扑克牌的花色特点求解．【解答】解：根据中心对称图形的概念，知A、B、C都是中心对称图形；D、旋转180°后，中间的花色发生了变化，不是中心对称图形．故选D．【点评】考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形( )A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=15【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程利用配方法求出解即可．【解答】解：方程变形得：x2﹣8x=1，配方得：x2﹣8x+16=17，即（x﹣4）2=17，故选C【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．如图，四边形ABCDBC∠BAD=105°，则∠DCE的大小( )8/28B．l05°D．95°【考点】圆内接四边形的性质．【专题】计算题．【分析】根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE=∠BAD=105°．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠BAD，而∠BAD=105°，∴∠DCE=105°．故选B．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等．在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值( )A． B．3 C． D．2【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【分析】设BC=x，则AB=3x，由勾股定理求出AC，根据三角函数的概念求出tanB．【解答解：设BC=x，则由勾股定理得x，tanB= = =2 【点评】本题考查的是锐角三角函数的概念和勾股定理的应用，应用勾股定理求出直角三角形的边长、正确理解锐角三角函数的概念是解题的关键．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围( A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0D．k＜1且k≠0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根时，必须满足△=b2﹣4ac＞0【解答】解：依题意列方程组，故选D．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．9/28如图AOB是直角三角形AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y= 的图上．若点B在反比例函数y= 的图象上，则k的值( )A．﹣4C．﹣2D．2【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质．【分析】要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得△ACO∽△ODB，得到： = =数法即可．解：过点A，BAC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．设点A的坐标是则AC=n，OC=m，∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∵∠DBO+∠BOD=90°，∴∠DBO=∠AOC，∵∠BDO=∠ACO=90°，∴△BDO∽△OCA，∴ = = ，∵OB=2OA，∴BD=2m，OD=2n，因为点A在反比例函数y= 的图象上，则mn=1，∵点B在反比例函数y= 的图象上点的坐标是∴k=﹣2n•2m=﹣4mn=﹣4．故选A．

=2，然后用待定系10/28【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．为半圆O⊙O为BC为APOC于E，连CD③∠OEA=∠APB；④PC+ CE为定值．其中正确结论的个数( )A．l个B．2个C．3个D．4个【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．【专题】几何综合题；压轴题．①根据三角形外心的定义得到点E△ABP等于所对圆心角的一半可以证明PE⊥AE．②①的结论，可以知道点C和点E在以点D为圆心的同一个圆上，得到DC=DE．③根据垂径定理得到∠AEO= ∠AEB，然后用圆周角定理得∠APB=∠AEO．④利③的结论，结合图形，在直角三角形中用余弦进行计算得到PC+ CE= OC，是圆的半径的 倍，一个定值．∵点D是AP的中点，且DE⊥AP，∴DE是AP的垂直平分线，AB⊙O∴OC是AB的垂直平分线，∴点E是△ABP的外心，∵∠ABC=45°，∴∠AEP=90°（同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）∴PE⊥AE，故①正确．②∵AB是半⊙O的直径，∴∠ACB=90°=∠ACP=∠AEP，∴点C和点E在以点DDC=DE②正确．③知点E是△ABP的外心，∴∠APB= ∠AEB=∠AEO，正确．④在直角△APC中，PC=AP•cos∠APC=

AE•cos∠AE0=

AE• = OE，∴PC+

CE= OE+ CE=

（OE+CE）=

OC，∴PC+ CE为定值，⊙O半径的 倍．④正确．故选D．11/28【点评】本题考查的是圆周角定理的综合运用，结合图形，利用圆周角定理，对每个选项进行分析，作出正确的判断．二．填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）函数y= 中自变量x的取值范围是x≠3．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解．【解答】解：根据题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．设一元二次方程2x2﹣x﹣1=0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2= ．【考点】根与系数的关系．【分析】已知方程有实数根，根据根与系数的关系即可直接求出x1+x2的值．【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2= ；故答案为：．【点评】此题考查了根与系数的关系，解答此题要熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1•x2= ．1500015000亿元用科学记数法表示为1.5×1012元．【考点】科学记数法—表示较大的数．12/28科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：15000亿=1500000000000=1.5×1012，故答案为：1.5×1012．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14．分解因式：ax2+2ax+a=a（x+1）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．【解答】解：ax2+2ax+a，=a（x2+2x+1）﹣﹣（提取公因式）=a（x+1）2．﹣﹣（完全平方公式）【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．23，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为8．【考点】三角形三边关系．【分析】首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得3﹣2＜x＜3+2，然后再确定x的值，进而可得周长．【解答】解：设第三边长为x，∵两边长分别是2和3，∴3﹣2＜x＜3+2，即：1＜x＜5，∵第三边长为奇数，∴x=3，∴这个三角形的周长为2+3+3=8，故答案为：8．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．如果四边形的两条对角线相等，那么顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形．【考点】菱形的判定；三角形中位线定理；平行四边形的判定．【专题】证明题．【分析根据三角形的中位线定理求出BD，GH∥BD，EF= BD，GH= BD，EH= AC，推出GH，EF=GH，EF=EH，推出平行四边形EFGH，进一步推出答案【解答】解：∵E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，∴BD，GH∥BD，EF= BD，GH= BD，EH= AC，13/28∴EF∥GH，EF=GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC=BD，EF= BD，EH= AC，∴EF=EH，∴平行四边形EFGH是菱形．故答案为：菱形．【点评】本题主要考查对菱形的判定，平行四边形的判定，三角形的中位线等知识点的理解和掌握，能根据性质求出平行四边形EFGH和EF=EH是解此题的关键．一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.610%．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】本题可设平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后药价为60（1﹣x）元，第二次在60（1﹣x）元的基础之又降低x，变为60（1﹣x）（1﹣x）即60（1﹣x）2元，进而可列出方程，求出答案．【解答】解：设平均每次降价的百分率是x，则第二次降价后的价格为60（1﹣x）2元，根据题意得：60（1﹣x）2=48.6，即（1﹣x）2=0.81，解得，x1=1.9（舍去），x2=0.1．所以平均每次降价的百分率是0.1，即10%．故答案为：10【点评】此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．如图，已知RtABC的直角边AC=24，斜边AB=25，一个以点P1ABC⊙PABC的边相切，当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是 ．【考点】切线的性质；弧长的计算．【专题】计算题．Rt△ABC的直角边AC=24，斜边AB=25，则另一直角边为7是一个与三角形相似的图形，设三边分别为7a，24a，25a，则从图中我们可以看出三个梯形面积加上小三角形面积等于大三角形面积．三个梯形的高都是圆的半径1，所以可列方程，解之求得a的值，从而求得所构成的三角形的三边，求出周长，即为所求．14/28【解答】解：设三边分别为7a，24a，25a，则：（24a+24）+ （7a+7）+ （25a+25）+ ×7a×24a= 解得：a= ，故构成的三角形的三边分别是，16， ，则当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度为+16+ = 故答案为：【点评】此题考查了切线的性质，解题的关键是根据三个梯形面积加上小三角形面积等于大三角形面积，设出未知数，列出方程求所构成的三角形的三边长．三．解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：6tan230°﹣ sin60°﹣ sin45°（2）先化简，再求值： ÷（1+ ），其中x= ﹣1．【考点】分式的化简求值；实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】（1）分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可；（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．【解答】解：（1）原式=6×（=6× ﹣3﹣1=2﹣3﹣1=﹣2；

）2﹣ × ﹣ ×（2）原= ÷= •= ．当x= ﹣4时，原式= = ．15/28【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．（1）解方程：x2﹣2x﹣3=0；（2）解不等式组： ．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元一次不等式组．【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式解方程得出答案；（2）分别解不等式进而得出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3=0（x﹣3）（x+1）=0，解得：x1=3，x2=﹣1（2） ，解①得：x﹣3x+6≤4，解得：x≥1；解②得：1+2x＞3x﹣3，解得；x＜4，故不等式组的解集为：1≤x＜4．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法以及不等式组的解法，正确分解因式是解题关键．已知：如图，在四边形ABCDCD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DFBE．求证：四边形ABCD为平行四边形．【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．△AEBCFD可得AB=CD，再由条件ABCD且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD为平行四边形．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，∵DF∥BE，∴∠BEC，∴∠AEB=∠DFC，16/28在△AEB和△CFD中 ，∴△AEB≌△CFD（ASA），∴AB=CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．如图，四边形ABCD是⊙OABC=2D，连接OAOB、OCAC，OB与AC相交于点E．OCA的度数；∠COB=3∠AOB，OC=2 ，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）【考点】扇形面积的计算；圆内接四边形的性质；解直角三角形．【分析】（1）根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形得到∠ABC+∠D=180°，根据∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°，从而求得∠D=60°，最后根据OA=OC得到∠OAC=∠OCA=30°；阴影（2）首先根据∠COB=3∠AOB得到∠AOB=30°，从而得到∠COB为直角，然后利用S阴影扇形=S OBC﹣S△OEC求解．扇形【解答】解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠D=180°，∵∠ABC=2∠D，∴∠D+2∠D=180°，∴∠D=60°，∴∠AOC=2∠D=120°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°；（2）∵∠COB=3∠AOB，∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，∴∠AOB=30°，∴∠COB=∠AOC﹣∠AOB=90°，在Rt△OCE中，OC=2 ，17/28∴OE=OC•tan∠OCE=2 •tan30°=2 × =2，∴ • ×S = OE∴ • ×△OEC

=2 ，扇形∴S OBC= =3π，扇形OBC∴S =S ﹣S OEC=3π﹣2 OBC阴影 扇形【点评】本题考查了扇形面积的计算，院内接四边形的性质，解直角三角形的知识，在求不规则的阴影部分的面积时常常转化为几个规则几何图形的面积的和或差．”儿童节前夕，薪黄县教育局准备给留守儿童赠送一批学习用品，先对浠泉镇浠泉小学的留守儿童人数进行抽样统计，发现各班留守儿童人数分别为6名，7名，8名，12名这五种情形，并将统计结果绘制成了如图所示的两份不完整的统计图：请根据上述统计图，解答下列问题：该校有多少个班级？并补充条形统计图；该校平均每班有多少名留守儿童？留守儿童人数的众数是多少？若该镇所有小学共有60名留守儿童．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数．【分析】（1）根据有7名留守儿童班级有2个，所占的百分比是12.5%，即可求得班级的总个数；最多的数确定留守儿童的众数；利用班级数60乘以中求得的平均数即可．个8个）．18/28；（2）每班的留守儿童的平均数是：（1×6+2×7+5×8+6×10+12×2）=9（人），众数是10名；（3）该镇小学生中，共有留守儿童60×9=540（人）．答：该镇小学生中共有留守儿童540人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店经营，该网店以每个20元的价格购进3530035元的价格销售仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低150个）．1元售出，则第一周，第二周分别获利多少元？若第二周单价降低x元销售一周后，商店对剩余商品清仓处理，以每个159500元，问第二周每个商品的单价应降低多少元？【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）根据利润=每个的利润×销售量列式计算即可求解；（2）设第二周每个商品的单价应降低x9500方程即可．第二周获利：（300+50）×（35﹣1﹣20）=4900（元）；即：x2﹣14x+40=0，解得：x1=4，x2=10（不符合题意，舍去）．答：第二周每个商品的销售价格应降价4元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．如图，某建筑物BC顶部有釕一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小红在D处观测旗杆顶部A47°，观测旗杆底部B42°已知点D到地面的距离DE19/28为1.56m，EC=21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位）．参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．根据题意分别在两个直角三角形中求得AF和BF度，进而求得BC的高度．【解答】解：根据题意得DE=1.56，EC=21，∠ACE=90°，∠DEC=90°．过点D作DF⊥AC于点F．则∠DFC=90°∠ADF=47°，∠BDF=42°．∵四边形DECF是矩形．∴DF=EC=21，FC=DE=1.56，在直△DFA中，tan∠ADF= ，∴AF=DF•tan47°≈21×1.07=22.47（m）．在直△DFB中，tan∠BDF= ，∴BF=DF•tan42°≈21×0.90=18.90（m），则AB=AF﹣BF=22.47﹣18.90=3.57≈3.6（m）．BC=BF+FC=18.90+1.56=20.46≈20.5（m）．答：旗杆AB3.6m，建筑物BC20.5米．角三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解．学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c15的整数个单位长度．2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（作图痕迹）．20/28【考点】作图—应用与设计作图；三角形三边关系．【分析】（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形．（2）首先判断满足条件的三角形只有一个：a=2，b=3，c=4，再作图：①作射线AB，且取ABAB=4；②以点AA为圆心，3为半径画弧；以点BB为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C；③连接AC、BC．则△ABC即为满足条件的三角形．【解答】解：（1）共9种：（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）．（2）由可知，只有即a=2，b=3，c=4时满足a＜b＜c．△ABC即为满足条件的三角形．【点评】本题考查了三角形的三边关系，作图﹣应用与设计作图．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于两点，且M是AB的中点．以OM⊙P分别交x轴，yC，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），连结DE交OM于点（1）若点M的坐标为（3，4），①求两点的坐标；②求ME的长．（2）若 =3，∠OBA的度数．（3）设tan∠OBA=x（0＜x＜1），

=yy关于x的函数解析式．21/28三角形中位线定理；矩形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值．【专题】压轴题．【分析】（1）①连接DM、MC，如图1，易证四边形OCMD是矩形，从而得到MD∥OA，MC∥OB，由点M是AB的中点即可得到BD=DO，AC=OC，然后利用点M的坐标就可解决问题；②根据勾股定理可求出AB的长，从而得到BM的长，要求ME的长，只需求BE的长，只需证△OBM∽△EBD，然后运用相似三角形的性质即可；连接DPPE，如图2，由 =3可得OK=3MK，进而得到PK=MK．易证△DPK≌△EMK，则有DK=EK．由PD=PE可得PK⊥DE，从而可得cos∠DPK= = ∠DPK=60°∠DOM=30°∠AM=BM可得OM=BM∠OBA=∠DOM=30°；连接PDOE，如图3，设MK=t，则有OK=yt，OM=（y+1）t，BM=OM=（y+1）t，DP=PM= ，PK= ．由DP∥BM可△DKP∽△EKM，则有= ，由此可得ME= t，从而可求得OE= • ，BE= ，则有x=tan∠OBA= = ，即=1﹣，整理得y= ．【解答】解：（1）①连接DM、MC，如图1．∵OM是⊙P的直径，∴∠MDO=∠MCO=90°．∵∠AOB=90°，∴四边形OCMD是矩形，∴MD∥OA，MC∥OB，∴ = ， = ．∵点M是AB的中点，即BM=AM，∴BD=DO，AC=OC．∵点M的坐标为∴OB=2OD=8，OA=2OC=6，∴点B的坐标为（0，8），点A的坐标为（6，0）；②在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，∴AB= =10．22/28∴BM= AB=5．∵∠OBM=∠EBD，∠BOM=∠BED，∴△OBM∽△EBD，∴ = ，∴ = ，∴BE= ，∴ME=BE﹣BM= ﹣5= ；（2）连接DP、PE，如图2．∵ =3，∴OK=3MK，∴OM=4MK，PM=2MK，∴PK=MK．∵OD=BD，OP=MP，∴DP∥BM，∴∠PDK=∠MEK，∠DPK=∠EMK．在△DPK和△EMK中，，∴△DPK≌△EMK，∴DK=EK．∵PD=PE，∴PK⊥DE，∴cos∠DPK= = ，∴∠DPK=60°，∴∠DOM=30°．∵∠AOB=90°，AM=BM，∴OM=BM，∴∠OBA=∠DOM=