数学奥林匹克高中训练题

数学高中训练题斜边长为2009的直角三角形,若两条直角边长也为整数,则其面积为 2正三棱柱ABCB的侧棱及底面

圆的切线,设这两条切线交于点C0;类似再以线BC、CA为一条轴各作椭圆,分别A0、B0不论每个椭圆的另一条轴的长度如何选三条直AA0、BB0、CC0都经过一个定点. )=x )=x1AABCBBCCABC的公共部分的体积是

x

y11y13M122009nM123n

求最大的,使得对于任何满足xfxz. 115分)正整数数列an满足数,则这样的n共 个

a=16,1<+

<x=x 3 1x1

a2n1 a2

an1

2nn)π7 π7f

称abc上坡数那么,上坡数的个数是.0个正数的和为231它们的平方和为200950个数中最大数的最大值是.29x2+94fx 3229x2+94的最小值 M12若有四个互异数a、b、c、dMabcdmod17,abcdM的一个平衡对.

5∠A平分线上的任一点,E、F分线上CEBD, M、N分别是CE、BF的中点 证明 MN5sinA)AsinB)

4分在平面上给定不共线的三点作一个不经过点C的椭圆与另两条直线AC、BC分别交于点E、FEF分别作椭

·snC0sin5mm009m、n为正整数,n为牛分数m现将所有的牛分数按递增顺序排成一n1n2数列

ABBBCABm1m V= =1 3=3证明:对于牛数列中的任两个相邻 1

,都满足m n1 mkmk1 kk1 k1 注意四50分)从圆周的九等分任

1nn1)

1 Sn=

同的六1,■2,…,■6满 ■, ■642设两x、yx2y220092据勾股数及x、y的对称性,mn,2m nk9m

n与n1互质Sn为平方数时n必为平方数n为偶平方数时,nn+12平方整数当n为奇平方数时, 为平方整数n可取M中的所有平方数这样的数共有44个.44xcosπ7π7221cos2ππ722200941721772741不能表为两个正整数的平方和,故只49 n41

x= 12cos2πco254x1960y4411

34s

4 2πcos .3.3

cos 3x2= 7,x 72根据对CAB、ABC

故 3 1B1

O

=

π8 cos

2πsHABC的中心AB、BC的中D、EOH是■EAA

=cos2πcos4πcos =cos12πos10πs 图

=1 cos2kπ 2kπ =∑1OH=DH=1

161 160 =1C1 3所以,OH= 于是, 3 153 fcos7165

1xx+2342=(x2 2 对于bc可取bb1,…9共 b个值而对于确定的数a,数b可aa19故三位上坡数的个数

Mx到焦F的距离之和1fMAMF 910- ∑10 b 注意到点A在抛物线上方,点M到a1ba a1k19a1

12

点的距离等于其到准线的距离,即MFMH故当MM1AH1上时,1

H2=2a16

21a2652

AM+HH4+3= 即3f f≥4设最大数为x其余49个数为a1a2…,a9x≥a1≥a2≥≥a9则>ai231 xi1

87617等分其分点按顺时针方向顺次记为A1A2,…A17则mn +lmod1)

A AA009

+∑a

m kii1

49i1

注意到圆周17等分点的任一对分点连x23x2

线都不是直径,因此全部弦17个方向i17即 2≤492009…4575742(x23 2(x23 42x322343

Ai的切线平行的弦有8共形8C2=8平行若考虑17个8向,共得 17476个平行弦对因此,中有476个平衡对.二、9考虑以边AB为一条轴的椭圆,如图4建立直角坐标系,设椭圆的方 y=其焦点为F0F0,4方,3y=4.34,图3.则改写 图

a2b21a≠b,直线AC、BC分别交于点E、F, 图E、F分别作椭圆的两条切线交于点C0,Ba0Ea,a则

bsin AE

fx5xy

1s

另外,当xy=,z4 2,lBF bsinβ a1 C的横坐标xC

ββ2

fxyz的值无25n125n11据条件 1知,数列严格递增a < 故椭圆过点E、F的切线方程分xcos+ysin1

n aa1≥1a2≥2a3≥3先在条件式中取n3得到3 1<1+ 1<13xcosβyinβ a 1<+1 1<

+β

13a .

a

>2+

xC0

β

921 0由xCxC知, AB0同理, BC,BB 因此AA0、BB0、CC0分别重合于

又由式①右端得5a2

480ABCABC

8

8454垂心.

据式②、③得整a392fx,zx1nynz1n 2< <225 < < 为此, < < axnbynzn

则1a51,1b51,1c51, 由式④左端

>= za注意

a<814+5 xa 9a290,1a 2>n- n- 3 <(a)5n5n+…+n11

因

3故 1x 14a1.1

1同理, 1y<4b 1, 1<1

1z4c1.

三式相加得

<<+ 11 11 1xy+z4abc a1为正故式⑤右端恒成立.4fx1即45 4fx)3.

而由式⑤左端

13,故 13a11

nn )n n

n

n2149162ann

2(n22 2n22222 2n222nnn2(n2nn2n)1n1 n<1

n12<1<即(n1

2 <12

21 nnn) 1)

<1.

22n12n1)

2 此式显然成立 n n(n) n n) 4 4 nan nn≤4时已验证.若nn1 n2+

n)n) 1 1 1

n a <2

<.n

n1

n1

) n 由式⑦右端 1n 2n2) n2n1 2n2n <an1

22nn1)2

1)

n 3n2

an1

n5n 2 nn12 2n+3n1

2)n )n1n

n2n1 n+12 n 4n4n22>0)n))

1).nn n[n )≥n(n2)>0)据式⑦左端得1<1 n

对任意的nN成立an=n2a22a2n1

an1 )即(

na

10

5n1 其判别

n1 n

延长BD、CDAC、AB[1] (n)n2[nn1] 1}2[n)nnn 224n]0an1的一元二次方程的两根为α、则

DBGDCH点D的等高性及等角性,由面 图比定理n2(n1+ DB1β 2(n

S

H又由CE BD,BF CD得GB=D,HC=D DC BGDCH

cos≥sinAsnBinC. xcotAycotBzcotCx∈+zzx1sinA·sinB·cosCcosA·cosB·sin1F sin BC的中点K位线定

y 1x2 2· 1BE, 1CF

xy

1y 2故KMKN

1+x1+y同理,作∠MKN的平分线KP,则 MN因 AC,所以, KP又 MN,故 MN

sinB·sinC·cossin x2

ocos,·sinA)

1+21+ossinA)A2snA·cosin cosA·sin

sin=y22.1=y22.1+z1+x

2cosin cosA·sin

于是只要yz 2 22sinos

1y1z 1z1x 1 1x1y1xsn1x 2sin

+ . cosB·cosC·snAsnB)snB·snC·cos

1yzxxx1yzxx 2sn yyzzxy2xyy,co2cos

sn2

snB·snC·cos.2sn

zz2xzyz,同理

sB·snBsin

yz yz +

y2

xy+z xy+os 2cos 2sinsinCsin

≥xyzxyzzx上式x、y≥xyzxyzzxx由xcos

sn2

2sn

x2yz

x(y yzyz=因此,所证不等式化 yzyz=

xyxsin

cos

zxzxzxzxzxzx

2zx

=yz ,sin

cos xyxy zxz nxyxyxxyxy T1知n2时结论成立.即要证:(x

(yz

nk成立Tkyz

zzxz z

kab1xy x x≥ 设a、 <, ad1是Tk-1因 yz 0 b (yz xzxz 的一对相邻分数Tk中也相邻+zx xy

则显然满足条件如果它们在Tk中不相邻=(yz) x

x

即有TkTk-1中的分数 mk,mk1, =(yz

< 所以式③成立因此结论得证

b或d,kd9,+C,<B≤∠A所以

1=

m+ si18°sin80°sinsinB)sinB)

≥1+1bd 所以k≥bd ac sin sin

也介于

与之间AsiBCsnB AsinBsin sin (这

a

bd a 0,故siA)AsiB bd bbd) 故+sin

sin ac >0).A·sAB·sB bd bsn2 sn2 注意因sinC ·siC0

)dc 1ac sin ac与bd互质即 B·sinA)·sB)

sin

abd2·snC0sin

dcmbdmk

∈T三、对任一正整数n,将牛数列中分母 bd n的子数列记为Tnn1时

又m≤m bd

a m<且、在<bd <且、在21T123 中相邻kbd且式①中等号成立21 ac ac= 显然满足条件.

bd 从而,acm,这与a+cm,bc

的弧长1.再设一条弦,如果其所对的劣弧k则称该刻度k.于以b

kTk-1

点为端点的弦的刻度只有1、2、3、4四种情bdk 况.显然,两弦相等当且仅当其刻度 ac

中的相邻项,那么 个红点共得C210条红端点的弦,其中必bbd、d是对于前一对分数而言c)dc 1而对于后一对分数而言d)da+cc 1因此 ac后的分数列符合条件b

三条弦具有相同的刻度,由于对每个k同一k的弦注意到以九等分点为端点的任一条弦不为直径,因此,若两条等弦无公共端点,则其四个端点便构成若这三条等弦不围成三角形,则其中有两条等弦无公共端点.于是,其四个端点构成 m=1以及 a=1 等腰梯形的四个顶点 若这三条等弦围成三角形,则是正三角d由 m=1 d db) ac= ac bd cm 因此mac b又ac是Tk中能 ba、c之间的唯一分

形,3若还有刻3l,则该弦与正三角形的每条边此时l与正三角形的每一条若除了正三角形的边之外再无刻度为3的弦去掉这三条弦剩下7条弦只有1、2、4这三种刻度,其中必有三条弦具有相同的刻度,这三条等弦不可能围成三角形因此,其中有两条等弦无公共端点.于是,其四 Tk-1Tk时不论相邻分数间是否了新的分数Tk都满足条件.因此n结论成立特别是数列T2009满足条件故本题得证.四、注意如下事实:AD、BC为底的等腰梯形ABCD中,存在ABC■DCB,■BAD■CDAMABCD两底ADBC中垂线上的任一点,则■MAB■MCD先证明五个红点中必有某四点

由于弦的刻度只有1、2、3、4四种情况,故等腰梯形上下两底的“刻度对”只1,13,1,2,24,3六种可能顺次如6所示.数学高中训练