高中数学考点15两角和与差的正弦余弦和正切公式简单的三角恒等变换(含2015高考试题)-8395

学必求其心得，业必贵于专精考点15两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换一、选择题3cos1.（2015·重庆高考理科·Ｔ9）若tan2tan,则10（）5sin5A.1B。2C.3D。4【解题指南】解答本题的要点在于找到角之间的联系，因为简求解。

3105,因此可以进行化2【剖析】选C.cos3cos2cossin105255sin5sin5sin5sin5sincoscossin55sincoscossincoscos5tantan555sincoscossinsincoscossin5tantan5555coscos52tantan因为tan2tan,因此上式553.52tantan552.（2015·重庆高考文科·Ｔ6)若tan1,tan()1,则tan（32A.1B。1C.5D。57676【解题指南】解答本题可以依照()结合两角差的正切公式求解tan()tan11【剖析】选A.tantan()231tan()tan11132

).1.71学必求其心得，业必贵于专精3。(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T2）sin20°cos10°—cos160°sin10°=（）A。332B。2

11C。D。22【解题指南】由cos160°=—cos20°,利用两角和的正弦公式求解。【剖析】选D.原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=1.2二、填空题4。（2015·四川高考理科·T12）sin15°+sin75°的值是。【剖析】sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=2sin(15°+45°）=2362.2答案:625。（2015·江苏高考·T8)已知tanα=-2，tan(α+β）=1,则tanβ的值为.7【解题指南】将β化为β=(α+β）—α,利用两角差的正切公式求解.【剖析】tanβ=tan[（α+β)-α］=（）tan。因为tanα=-2,tan（α+β)=1，tan71（）tantan因此上式=1-（）。7-2311）（7答案:3三、解答题6.（2015·广东高考理科·T16)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=√2√2(2,-2cosx）,x∈(0,π2).

),n=（sinx，(1）若m⊥n,求tanx的值.（2）若m与n的夹角为

π3

求x的值.【解题指南】（1)利用向量垂直转变成向量的数量积为0。（2)利用向量的夹角公式求解。【剖析】（1）因为m(2,2),nsinx,cosx且mn，222学必求其心得，业必贵于专精因为mn(2,2)sinx,cosx2sinx2cosxsinx,又x0,222242因此x4,,44因此x即x404因此tanxtan41由（）及题意知(2)1mnsinx4cossinx223mn422sin2xcos2x22因此sinx41又x4,,244因此x，因此x546127。（2015·安徽高考文科·T16）已知函数f(x)(sinxcosx)2cos2x（1）求f(x)最小正周期；（2）求f(x)[0,]在区间2上的最大值和最小值。【解题指南】应用三角函数的有关公式和性质化简求值。【剖析】（1）因为f(x)(sinxcosx)2cos2x=1+sin2xcos2x=（）2sin2x+4+1，2=因此f(x)最小正周期为T2。x[0,]2x+[,5]sin（2x+）[-2,1]f(x)在区间（2)当2，444，因此42，因此[0,]2，最小值为0。2上的最大值为1+8.(2015·广东高考文科·T16)已知tanα=2。（1）求tan(α+π4)的值.3学必求其心得，业必贵于专精（2)求sin2的值。sincoscos2sin21【解题指南】（本题观察两角和与差的三角函数（1）由两角和的正切公式张开，代入数值，即可得tan的值；(2)先利用二倍角的正、余弦公式可得4sin2sin2sin22sincos2cos2，再分子、分母都除以sincoscos21sincoscos2可得sin2sinsin2cos212tan，代入数值，即可得costan2tan2sin2的值．sin2sincoscos21tantantan121【剖析】（1)tan4341tan121tantan4（2)sin2sin2sincoscos212sincossin2sincos2cos2112sincossin2sincos2cos22tantan2tan222222219。（2015·天津高考文科·T16）（本小题满分13分)在△ABC中，内角A,B，C所对的边分别为a，b，c,已知△ABC的面积为3√15，b-c=2，cosA=—1,41）求a和sinC的值。2）求cos（2A+π）的值.6【剖析】（1)在△ABC中,由cosA1,得sinA15,由1bcsinA315得bc24,442又由bc2，解得b6,c4.由余弦定理a2b2c22bccosA可得a8。又因为ac,故sinC15.sinAsinC84学必求其心得，业必贵于专精(2)由（1)知知cosA1,sinA15，因此cos2A2cos2A17,sin2A15，4488因此cos(2A)cos2Acos1573sin2Asin1666610。(2015·重庆高考理科·Ｔ18)已知函数f(x)sin2xsinx3cos2x.求f(x)的最小正周期和最大值；(2)谈论f(x)在,2上的单调性。63【解题指南】（1）第一依照倍角公式及和差公式化简函数f(x)的剖析式即可求出函数f(x)的最小正周期及最大值，(2）利用正弦函数的图像和性质求解即可。【剖析】（1）由题意知f(x)sin2xsinx3cos2xcosxsinx3(1cos2x)21sin2x3cos2x3sin2x33,2222因此f(x)的最小正周期为,最大值为23.2（2）当x2时，02x,从而6,33当02x,即x5f(x)单调递加，36时，212当2x,即52时，f(x)单调递减，3x2123综上可知，f(x)在,5上单调递加，在5,2上单调递减。61212311。（2015·重庆高考文科·Ｔ18）已知函数f(x)1sin2x3cos2x.2（1)求f(x)的最小正周期和最小值；（2）将函数f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,获取函数g(x)5学必求其心得，业必贵于专精的图像，当x,时，求g(x)的值域。2【解题指南】（1）第一依照倍角公式及和差公式化简函数f(x)的剖析式即可求出函数f(x)的最小正周期及最小值，（2)第一求出函数g(x)的剖析式,尔后利用正弦函数的图像和性质求解即可。【剖析】（1）由题意知f(x)1sin2x3cos2x1sin2x3(1cos2x)222133sin2x3sin2xcos2x2,2232因此f(x)的最小正周期为，最大值为223.(2）由条件可知,g(x)sinx3.32当x2,时，有x36,2,从而sinx的值域为1,1332那么sinx3的值域为123,22332故g(x)在区间,上的值域为13,23.22212。(2015·福建高考理科·T19）已知函数f(x)的图象是由函数g（x)=cosx的图象经以下变换获取:先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变）,再将所获取的图象向右平移π个单位长度。2（1)求函数f（x)的剖析式,并求其图象的对称轴方程.（2）已知关于x的方程f（x)+g(x)=m在［0,2π)内有两个不同样的解α,β。①求实数m的取值范围。②证明：cos（α-β）=2m2-1。5【解题指南】（1)y=cosx→y=2cosx→yπ=2cos(x-2)=2sinx。6学必求其心得，业必贵于专精（2）利用辅助角公式化简,求角的关系,再借助于二倍角公式求解。【剖析】方法一:（1）将g（x）=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标ππ不变)获取y=2cosx的图象，再将y=2cosx的图象向右平移2个单位长度后获取y=2cos(x-2)π(k∈Z）。的图象，故f(x)=2sinx，从而函数f（x）=2sinx图象的对称轴方程为x=kπ+2（2)①f(x)g(x)2sinxcosx5(2sinx1cosx)555sin(x)(其中sin1,cos2)55依题意,sin(x+φ)=m[0,2),当且仅当|m√5|〈1,故m的取值√5范围是（-√5，√5）。②因为α，β是方程√5sin（x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同样的解，因此sin(α+φ)=m,sin(β+φ）=m.√5√5π当1≤m<√5时,α+β=2(2-φ),即α+φ=π—（β+φ）,当-√5〈m〈1时，α+β=2(3π-φ)，2即α+φ=3π—(β+φ),因此cos（α-β）=—cos2(β+φ)=2sin2(β+φ)-1=2m2-1=2m2-1.(√5)5方法二：(1）同方法一。（2)①同方法一.②因为α，β是方程√5sin(x+φ）=m在区间[0,2)π内的两个不同样的解，因此sin（α+φ）=m，sin（β+φ)=m.√5√5当1≤m〈√5时，α+β=2(π-φ)，即α+φ=π-(β+φ）,23πφ)，即α+φ=3π-(β+φ）,当-√5〈m<1时，α+β=2(-2因此cos(α+φ）=—cos(β+φ）.于是cos（α—β)=cos［(α