岩土力学课件：本构及强度理论

岩土力学课件：本构及强度理论第一页，共42页。

岩体力学研究对象:岩体是岩块和结构面的组合体，其力学性质往往表现为弹性、塑性、粘性或三者之间的组合。

岩体力学问题求解:是将岩体划分成若干单元或称微分单元，其求解过程如下：§6.1概述

依据适合的强度理论，判断岩体的破坏及其破坏形式。

岩体本构关系:指岩体在外力作用下应力或应力速率与其应变或应变速率的关系。力的平衡关系（平衡方程）位移和应变的关系（几何方程）应力和应变的关系（物理方程或本构方程）应力场位移场边界条件+=第二页，共42页。

岩石或岩体的变形性质：弹塑性或粘弹塑性。本构关系：弹塑性或粘弹塑性本构关系。本构关系分类：

①弹性本构关系：线性弹性、非线性弹性本构关系。

②弹塑性本构关系：各向同性、各向异性本构关系。

③流变本构关系：岩石产生流变时的本构关系。流变性是指如果外界条件不变，应变或应力随时间而变化的性质。岩石强度理论：研究岩石在一定的假说条件下在各种应力状态下的强度准则的理论。第三页，共42页。

岩石的强度是指岩石抵抗破坏的能力。岩石材料破坏的形式:断裂破坏、流动破坏（出现显著的塑性变形或流动现象）。断裂破坏发生于应力达到强度极限，流动破坏发生于应力达到屈服极限。岩体的力学性质可分为变形性质和强度性质，

变形性质主要通过本构关系来反映，强度性质主要通过强度准则来反映。

第四页，共42页。一、岩石力学中的符号规定

（1）力和位移分量的正方向与坐标轴的正方向一致；（2）压缩的正应变取为正；（3）压缩的正应力取为正。假如表面的外法线与坐标轴的正方向一致，则该表面上正的剪应力的方向与坐标轴的正方向相反，反之亦然。§6.2岩石的本构关系第五页，共42页。

二、岩石弹性本构关系

1．平面弹性本构关系

据广义虎克定理有：式中：E为物体的弹性模量；为泊松比；G为剪切弹性模量，第六页，共42页。

对于平面应变问题：因εz

＝γzx＝γyz

＝0，故τyz＝τzx＝0，可知：第七页，共42页。

对于平面应力问题：σz＝τzx＝τzy＝0

对比平面应力问题与平面应变的本构方程，可以看出，只要将平面应力问题的本构关系式中的E换成，v换成。第八页，共42页。

2.空间问题弹性本构方程第九页，共42页。

三、岩石塑性本构关系

图6-1加－卸载应力－应变曲线

塑性本构关系特点：1、应力-应变关系的多值性

同一应力有多个应变值与它相对应。本构关系采用应力和应变增量的关系表达。塑性状态描述：除用应力、应变，还需用塑性应变，塑性功等内状态变量来刻画塑性变形历史。

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1）屈服条件：塑性状态的应力条件。2）加-卸载准则：材料进入塑性状态后继续塑性变形或回到弹性状态的准则，通式写成：

式中：垂直于轴的平面上平行于轴的应力，为某一函数关系，为与加载历史有关的参数，。3）本构方程：或（7-7）式中：R为某一函数关系

2、本构关系的复杂性塑性阶段本构关系包括三组方程：

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1）岩石屈服条件和屈服面初始屈服条件：从弹性状态开始第一次屈服的条件。

后继屈服条件：当产生了塑性变形，屈服条件的形式发生了变化的屈服条件。式中：为总应力，为塑性应力，为标量的内变量，它可以代表塑性功，塑性体积应变，或等效塑性应变。屈服面：屈服条件在几何上可以看成是应力空间中的超曲面。初始屈服面和后继屈服面。第十二页，共42页。

分类：按塑性材料屈服面的大小和形状是否发生变化。理想塑性材料（不变化）和硬化材料（变化）。第十三页，共42页。

（1）硬化材料的屈服面模型①等向硬化-软化模型：塑性变形发展时，屈服面作均匀扩大（硬化）或均匀收缩（软化）。如果是初始屈服面，后继屈服面为：

②随动硬化模型：塑性变形发展时，屈服面的大小和形状保持不变，仅是整体地在应力空间中做平动，后继屈服面为：式中：α是材料参数。

③混合硬化模型：介于等向硬化-软化和随动硬化之间的模型，后继屈服面为：

（2）塑性岩石力学最常用的屈服条件库仑（Coulomb）、德鲁克-普拉格（Drucker-Prager）屈服条件。第十四页，共42页。

2.塑性状态的加-卸载准则

塑性加载：对材料施加应力增量后，材料从一种塑性状态变化到另一种塑性状态，且有新的塑性变形出现；中性变载：对材料施加应力增量后，材料从一种塑性状态变化到另一种塑性状态，但没有新的塑性变形出现；

塑性卸载：对材料施加应力增量后，材料从塑性状态退回到弹性状态。

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1）全量理论：描述塑性变形中全量关系的理论，称形变理论或小变形理论。汉基（Hencky）、依留申等依据类似弹性理论的广义胡克定律，提出如下公式：

3.本构方程

塑性状态时应力-应变关系是多值的，取决材料性质和加-卸载历史。第十六页，共42页。

2）增量理论：描述应力和应变增量间关系的理论，又称流动理论。

当应力产生一无限小增量时，假设应变的变化可分成弹性的及塑性的两部分：

弹性应力增量与弹性应变增量之间仍由常弹性矩阵D联系，塑性应变增量由塑性势理论给出，对弹塑性介质存在塑性势函数Q，它是应力状态和塑性应变的函数，使得：式中：是一正的待定有限量，它的具体数值和材料硬化法则有关。第十七页，共42页。

其总应变增量表示为：

由一致性条件可推出待定有限量为：

式

称为塑性流动法则，对于稳定的应变硬化材料，Q通常取与后继屈服函数F相同的形式，当Q=F时，这种特殊情况称为关联塑性。对于关联塑性，塑性流动法则可表示为：第十八页，共42页。式中：为塑性功，这样加载时的本构方程为：

对任何一个状态，只要给出了应力增量，就可以唯一地确定应变增量。

应用增量理论求解塑性问题，能够反映应变历史对塑性变形的影响，因而比较准确地描述了材料的塑性变形规律。对于系数A：理想塑性材料：

硬化材料：第十九页，共42页。

四、岩石流变理论流变：指材料的应力-应变关系与时间因素有关的性质，材料变形过程中具有时间效应的现象称为流变现象。

蠕变：当应力不变时，变形随时间增加而增长的现象。松弛：当应变不变时，应力随时间增加而减小的现象。

弹性后效：加载或卸载时，弹性应变滞后于应力的现象。第二十页，共42页。

蠕变试验表明：1)当岩石在某一较小的恒定荷载持续作用下，其变形量虽然随时间增长有所增加，但蠕变变形的速率则随时间增长而减少，最后变形趋于一个稳定的极限值，这种蠕变称为稳定蠕变。

2)当荷载较大时，曲线所示，蠕变不能稳定于某一极限值，而是无限增长直到破坏，这种蠕变称为不稳定蠕变。这是典型的蠕变曲线，根据应变速率不同，其蠕变过程可分为三个阶段，即减速蠕变阶段或初始蠕变阶段、等速蠕变阶段及加速蠕变阶段。图岩石蠕变曲线示意图第二十一页，共42页。

在一系列的岩石流变试验基础上建立反映岩石流变性质的流变方程，通常有二种方法：

1．经验法岩石蠕变经验方程：图岩石的典型蠕变曲线式中：为时间的应变；瞬时应变；初始段应变；等速段应变；加速段应变。典型岩石蠕变方程：幂函数方程、指数方程、幂指数对数混合方程

2.理论模型模拟法将介质理想化，归纳成各种模型，模型可用理想化的具有基本性能（包括弹性、塑性和粘性）的元件组合而成。第二十二页，共42页。岩石的长期强度:由于流变作用，岩石强度随外载作用时间的延长而降低，通常把作用时间的强度（最低值）称为长期强度。对于大多数岩石，长期强度/瞬时强度（）一般为0.4～0.8，软的和中等坚固岩石为0.4～0.6，坚固岩石为0.7～0.8。表7-1中列出某些岩石瞬时强度与长期强度的比值。表6-1几种岩石长期强度与瞬时强度比值第二十三页，共42页。岩石强度理论：研究岩石在一定的假说条件下在各种应力状态下的强度准则的理论。强度准则：又称破坏判据，是表征岩石破坏条件的应力状态与岩石强度参数间的函数关系，可用如下的方程表示:

σ1=f(σ2,σ3,σC,σt,C,Ф)§6.3岩石强度理论与破坏判据

或处于极限平衡状态截面上的剪应力和正应力间的关系方程：第二十四页，共42页。§6.3岩石强度理论与破坏判据一、库仑强度准则二、莫尔强度理论三、格里菲斯强度理论四、德鲁克一普拉格准则第二十五页，共42页。

一、库仑强度准则

岩石的破坏：剪切破坏。认为岩石的剪切强度等于岩石本身的粘结力和剪切面上由法向力产生的摩擦阻力。平面应力中的剪切强度准则（图）为：或（6-1）

图6-6σ－τ坐标下库仑准则第二十六页，共42页。

最大主应力方向与剪切面（指其法线方向）间的夹角（称为破坏角）恒等为：

另外由图6-6可得：并可改写为：若取，则极限应力为岩石单轴抗压强度，即有：或第二十七页，共42页。图6-7σ1－σ3坐标系的库仑准则

坐标中库仑准则的强度曲线，如图6-7所示，极限应力条件下剪切面上正应力和剪力用主应力可表示为：由方程（7-27）式并取，得：第二十八页，共42页。上式表示（图6-8)的直线交于，且：交轴于。注意：并不是实际抗拉强度图6-8σ1－σ3坐标系中的库仑准则的完整强度曲线第二十九页，共42页。

图6-8中直线AP代表的有效取值范围。为负值（拉应力）时，特别在单轴拉伸实验中，当拉应力达到岩石抗拉强度时，岩石发生张断裂。基于试验结果和理论分析，库仑准则的有效取值范围由图6-8给出，并可用方程表示为：图6-8σ1－σ3坐标系中的库仑准则的完整强度曲线第三十页，共42页。

在此库仑准则条件下，岩石可能发生以下四种方式的破坏。(1)当时，岩石属单轴拉伸破裂；(2)当时，岩石属双轴拉伸破裂；(3)当时，岩石属单轴压缩破裂；(4)当时，岩石属双轴压缩破裂。另外，由图6－8中强度曲线上A点坐标可得，直线AP的倾角为：在主应力坐标平面内的库仑准则可以利用单轴抗压强度和抗拉强度来确定。第三十一页，共42页。二、莫尔强度理论莫尔（Mohr，1900年）把库仑准则推广到考虑三向应力状态。最主要的贡献是认识到材料性质本身乃是应力的函数。他总结指出“到极限状态时，滑动平面上的剪应力达到一个取决于正应力与材料性质的最大值”，并可用下列函数关系表示：

上式在坐标系中为一条对称于轴的曲线，它可通过试验方法求得，即由对应于各种应力状态（单轴拉伸、单轴压缩及三轴压缩）下的破坏莫尔应力圆包络线，即各破坏莫尔圆的外公切线（图7-9)，称为莫尔强度包络线给定。第三十二页，共42页。

莫尔包络线的具体表达式，可根据试验结果用拟合法求得。包络线形式有：斜直线型、二次抛物线型、双曲线型等。斜直线型与库仑准则基本一致，库仑准则是莫尔准则的一个特例。这里主要介绍二次抛物线和双曲线型的判据表达式。图6-9完整岩石的莫尔强度曲线第三十三页，共42页。

1、二次抛物线型岩性较坚硬至较弱的岩石。式中：为岩石的单轴抗拉强度；n为待定系数。

利用图6-10中的关系，有：1.双向压缩应力圆，2.双向拉压应力圆，3..双向拉伸应力圆图6-10二次抛物型强度包络线第三十四页，共42页。其中：消去式中的，得二次抛物线型包络线的主应力表达式为：单轴压缩条件下，有：解得：利用这些式子可判断岩石试件是否破坏。第三十五页，共42页。

2、双曲线型砂岩、灰岩、花岗岩等坚硬、较坚硬岩石的强度包络线近似于双曲线（图6-11)，其表达式为：式中，φ1为包络线渐近线的倾角，图6-11双曲线型强度包络线第三十六页，共42页。

莫尔强度理论实质:剪应力强度理论。优点：(1)适用塑性岩石及脆性岩石的剪切破坏；(2)反映岩石抗拉强度远小于抗压强度特性;(3)能解释岩石在三向等拉时破坏，在三向等压时不会破坏（曲线在受压区不闭合）的特点。

缺点:(1)忽略了中间主应力的影响，与试验结果有一定的出入。(2)该判据只适用于剪破坏，受拉区的适用性还值得进一步探讨，不适用于膨胀或蠕变破坏。第三十七页，共42页。三、格里菲斯强度理论

格里菲斯（Griffith，1920年）认为:脆性材料断裂的起因是分布在材料中的微小裂纹尖端有拉应力集中（这种裂纹称之为Griffith裂纹）。