第6适应信号处理

第六章自适应信号处理交通大学信息科学第六章

自适应信号处理自适应信号处理概述§6.1基于最小均方误差的自适应滤波及性能函数§6.2

自适应滤波器§6.3

线性

格型滤波器§6.4最小二乘滤波（Least

square）§6.5自适应滤波技术应用自适应信号处理概

述包括自适应滤波（时域，空域即自适应阵列，频域）、自适应

、自适应对消、自适应增强，是近二十年发展起来的信息科学的一个重要分支。本质上也是维纳滤波，但是它与维纳滤波相比，不需要信号的统计特性的先验知识，能够自动调节滤波参数，以适应信号和噪声未知的或随时间变化的统计特性（即或学习过程）实现最优滤波。6.1.1

基本原理典型的自适应滤波结构如下：y(k

)

W

T

(k

)

X

(k

)e(k)

d

(k)

y(k)

d

(k)

W

T

(k)

X

(k)均方误差为：

E[e2

(k

)]

E[d

2

(k

)]

W

TRW

2PT

W之中

R

E[

X

(k

)

X

T

(k

)]P

E[d

(k

)

X

T

(k

)]

Rdx

E[e2

(k

)]

E[d

2

(k)]

W

TRW

2PT

W6-11

E[e2

(k)]

E[d

2

(k

)]

W

TRW

2PT

WM

1k

1m

0,1,

2,...,

M

1

Rx

(m

k)Wk

Rdx

(m),

Winer-Hopf方程相应的最小均方误差：可导出：令新向量

V

W

Wopt

min

V

T

RV1

opt

optoptoptopt证明：

E[d

2

(k

)]

W

T

RW

2PTW

(W

W

)T

R(W

W

)常数

min

V

T

RV()

2RVV

W（∵V和W只差一个常数）

E[e2

(k

)]2

T

T

E[d

(k

)]

W

RW

2P

W

min

V

RVT6-12由于R为对称矩阵，可做相似变换Q—特征向量

01...m1

R

1特征值对角阵

VT1V

min

V

RV

minT

min

min

(QTV

)T

(QTV

)

V

'T

V

'''

'0

0

1

1]V

'm1

m1

2[

V

,

V

,

......,

V

''i

ii

2V

2

VV

'2ii

2V

'2误差性能函数的二次导数与特征值成正比。

2RV

()V

W2、梯度搜索法W

(k

1)

W

(k)

(

(k))由（）式知(k)

2RV

(k)等式两边分别减去Wopt

(k

1)和Wopt

(k)，且Wopt

(k

1)

Wopt

(k)V

'

(k

1)

Q1

(I

2

R)QV

'

(k

)

(I

2Q1RQ)V

'

(k

)

(I

2)V

'

(k

)V

'

(k

1)

(I

2)k

1V

'

(0)12...k

1k

1k

1m1(1

2

)(1

2

)V

'

(0)(1

2

)由前面知主轴为：V

'

Q1V,QV

'

(k

1)

(I

2R)QV'

(k)V

QV'

则有：V

'

(k

1)

(I

2)k

1V

'

(0)6.2自适应滤波器在梯度法中，计算梯度的估计值是十分的。ˆ(w)

e2

(k

)

[d

(k)

WT

X

(k)]T

[d

(k

)

WT

X

(k)]ˆ

(k)

2e(k)

e(k

)

2e(k)

X

(k

)W

(k

1)

W

(k

)

2e(k

)

X

(k

)W

(k)W

(k

1)

W

(k)

(

(k))EMSE

E[

(k

)

min

]minmin超量均方误差：EMSE

E[

(k)

min

]失调定义为：M

EMSEminEMSE

min

i

mintr(R)iM

tr(R)

失调与和特征值的迹有关6.3线性格型滤波器前向：ˆmffa

(k

)

X

(n

-

k

)X

(n)

mffmma

k

X

(n

-

k

)e

f

(n)

X(n)

Xˆ(n)

X

(n)

6

3

1mk

1k

1m

f后向

E{|

e

f

(n)

|2}：mbˆbmk1X

(n

-

m)

a

(k

)X

(n

-

m

k

)ˆmbbbmmk

1e

(n

-

m)

X

(n

-

m)

X

(n

-

m)

X

(n

-

m)

a

(k)X

(n

-

m

k)6

3

2bb

2m

E{|

e

(n)

|

}线性格型滤波器如下图由第五章上述滤波其每级有如下的递推关系：meb

(n)

eb

(n

1)

k

*

e

f

(n)m

m1

m

m1m1

m

m1e

f

(n)

e

f

(n)

k

eb

(n

1)6

3

36

3

4由levinson—Durbin递推公式m1m1km

RX

(m)

am1

(k

)RX

(m

k

)k

16-3-5*2ffN1m1N1nm2e

(n)eb

(n

1)Km

nm

e

(n)2

eb

(n

1)m1

m1

m16.4最小二乘滤波（Least

square）基本概念线性向量空间及影操作算子3.最小二乘格型滤波x2

(1)

x2

(2)2mx1(1)

x1(2)xm

(1)

xm

(2)11

x1(m

1)

x

(m

1)

A

1

x

(m

1)

111ze

z

e

2

2

2

m

m

m

Z

e

θ

z

e

iik

kim1k

0z

x

ei

1,

2,...,

mZ

Aθ

e(3)，，证明：

P

x,y

(P

x)T

y

xT

PT

y

xT

P

y

x,P

y

U

U

U

U

U(d

)

P1

PU

0U证明：P1

PU

(I

PU

)

PU

I

PU

PU

PU

PU

PU

0UU如果u可以产生另一个与{U}正交的向量W，则PUu

PU

PW

,此时PW

P1

uPW

W

W

,W

1

WT

P1

u

P1u,

P1

u

1

(P1

u)TU

U

U

UPUu

PU

PW

PU

P1u

P1

u,

P1u

1

uT

P1U

U

U

UP1

I

PU

PW

P1

P1

u

P1

u,

P1

u

1

uT

P1Uu

U

U

U

U

U对于{U

,u}中的任意向量y,可以得到下面的更新公式：PUu

y

PU

y

P1

u

P1

u,

P1u

1

u,

P1

y

U

U

U

UP1

y

P1

y

P1u

P1

u,

P1

u

1

u,

P1

y

Uu

U

U

U

U

U0=

0I(n-1)*(n-1)1*(n-1)P1

(n)

1-P

(n)

diag(1,1,…，1，0)0(n-1)*1

则有P

(n)x(n)0

x(1)

x(2)

0

x(n-1)

x(n)

=

0

1

00

0

0

0T

=

0，，0，x(n)将图6-8中OBEDAC平面取出，可得图6-9由图可见XX

,P

(2)d

(2)P

(3)d

(3)

P

(3)d

(3)

0XP

(2)

ˆ(2)d

(2)

dP

1

(n)

P1

(n)

P1

(n)

(n)

P1

(n)

(n),

P1

(n)

(n)

(n),

P1

(n)

()1U

U

U其中，

P1

(n)

(n),

P1

(n)

(n)

U

U

UUU

U=

[I

PU

(n)]

(n),

P1

(n)

(n)

U

(n),

P1

(n)

(n)

PU

(n)

(n),

P1

(n)

(n)

U

(n),

P1

(n)

(n)

U令u

(n),于是有rU

(n

1)rU

(n

1)rU

(n

1)rU

(n

1)rU

(n

1)X反映的就是n

1时刻的投影算子PU

(n

1)和n时刻的投影算子PU

(n)的更新关系，显然rU

(n

1)是调整标量，其几何解释和物理意义如下图所示：rU

(n

1)

P1

(n)

(n),

P1

(n)

(n)

U

U

(n),

P1

(n)

(n)

U

(3),

P1

(3)

(3)

cos

X

(3)

P1

(3)

(3)rU

(n

1)rU

(n

1)rU

(n

1)mfxˆ(n)

w

(k

)x(n

k)

mk

11,mm(n)W

f

(n)Xˆ

(n)

Xz(m1)fmu在书P181(6.5.29a,6.5.29b)中，令6.4最小二乘滤波（Least

square）y

X

(n),

Z

,

P(n

1)X

(n)

m1

(n)(n)Z

m11,mUm1,mU

U

UPP(n)

(n)

Pu,

Pu

u,

Pu

(n),

y

PP

P

PPPUU

U

UUUuu

u,y

Z

,y

Z

,

Z

,1u

u,之中PPUuU

,

Z

,Z

m1

X

(n)

Z

X

(n)u

(n)–y

X

(n),y

Z

m1

X

(n)–证明：6.4最小二乘滤波（Least

square）0UUPUum1P

(n

Z

Z

,

y

X

(n

1),

X

(n)X

(n

1)

O1)

O

0m1

m1Z

X

(n)

P

(n

X

(n

1)

X

(n)

,

X

(n

1),

P

(n

1)

Z

m1

X

(n

1)

–

–1)

Z

X

(n

1)

–1,mmme

P

(n

1)

X

(n

1),

z1P1,m

0,m1m1(n

1)Z

m

X

(n

1)

e

f

(n

1),

z1

b

(n

1)

(n

1)得mfm

b

(n)emeeem

1

1m1m1f

b(n)Z

1

(n)m1(n)

(n

1)

Z (n)

(n

1)

(n

1)

(n

1)eb

(n

1)m

0

(

n

)

1前后向反射系数计算公式fmk

f

(n)m1(n)

m1

(n)bmkbm1(n)

m1

(n)

(n

1)6.5

自适应滤波技术的应用典型应用器系统辩证(建模)均衡(逆滤波等)典型应用如下:器系统辩证(建模)min

e(k)

d

(k)

y(k)自适应滤波器w(n)

未知系统h(n)均衡(逆滤波等)min

e(k)w(k)为h-1

(k)噪声对消n'

(k)6.4最