普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(北京卷含解析)

一般高等学校招生全国一致考试数学文试题(北京卷,含解析)一般高等学校招生全国一致考试数学文试题(北京卷,含解析)14/14一般高等学校招生全国一致考试数学文试题(北京卷,含解析)2015年一般高等学校招生全国一致考试数学文试题（北京卷，含解析）一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项．）1、若会集x5x2，x3x3，则I（）A．x3x2B．x5x2C．x3x3D．x5x3【答案】A考点：会集的交集运算.2、圆心为1,1且过原点的圆的方程是（）2y12B221A．x11．x1y12y12D222C．x12．x1y1【答案】D【解析】r2，则圆的标准方程为2y22.试题解析：由题意可得圆的半径为x11考点：圆的标准方程.3、以下函数中为偶函数的是（）A．yx2sinxB．yx2cosxC．ylnxD．y2x【答案】B【解析】试题解析：依照偶函数的定义f(x)f(x)，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0,)不拥有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，应选B.考点：函数的奇偶性.4、某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法检查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）A．90B．100C．180D．300种类人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300【答案】C【解析】试题解析：由题意，整体中青年教师与老年教师比率为160016x，由分层900；设样本中老年教师的人数为9抽样的性质可得整体与样本中青年教师与老年教师的比率相等，即32016180.x，解得x9考点：分层抽样.5、执行以下列图的程序框图，输出的k的值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B考点：程序框图.rrrrrrrr）6、设a，b是非零向量，“abab”是“a//b”的（A．充分而不用要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不用要条件【答案】A【解析】rrrrrr，由已知得cosrr1，即rr0rrrr试题解析：a?b|a|?|b|cosa,ba,ba,b，a//b.而当a//b时，rrrrrrrrrrrra,b还可能是，此时a?b|a||b|，故“abab”是“a//b”的充分而不用要条件.考点：充分必要条件、向量共线.7、某四棱锥的三视图以下列图，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1B．2C．3D．2【答案】C【解析】试题解析：四棱锥的直观图以下列图：由三视图可知，SC平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，SASC2AC2SC2AB2BC23.考点：三视图.8、某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的行程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．6升B．8升C．10升D．12升【答案】B【解析】试题解析：由于第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量V48升.而这段时间专家驶的里程数S3560035000600千米.所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008升，应选B.600考点：平均耗油量.二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分．）9、复数i1i的实部为．【答案】-1【解析】试题解析：复数i(1i)i11i，其实部为-1.考点：复数的乘法运算、实部.110、23，32，log25三个数中最大数的是．【答案】log25【解析】试题解析：23考点：比较大小.

1131，log25log2423，所以log25最大.1，32811、在C中，a3，b6，2．，则3【答案】4【解析】试题解析：由正弦定理，得ab36，所以sinB2B.sinAsinB，即sinB，所以3242考点：正弦定理.22y12、已知2,0是双曲线x1（b0）的一个焦点，则b．【答案】3【解析】试题解析：由题意知c2,a1，b2c2a23，所以b3.考点：双曲线的焦点.13、如图，C及其内部的点组成的会集记为D，x,y为D中任意一点，则z2x3y的最大值为．【答案】7考点：线性规划.14、高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况以以下列图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．此后次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是

；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是

．【答案】乙、数学【解析】试题解析：①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙.②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比很多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学.考点：散点图.三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）15、（本小题满分13分）已知函数fxsinx23sin2x．2（Ⅰ）求fx的最小正周期；（Ⅱ）求fx在区间0,2上的最小值．3【答案】（1）2；（2）3.考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.16、（本小题满分13分）已知等差数列an满足a1a210，a4a32．（Ⅰ）求an的通项公式；（Ⅱ）设等比数列

bn

满足

b2

a3，b3

a7，问：

b6与数列

an

的第几项相等？【答案】（1）an

42(n

1)

2n

2；（2）b6与数列

an

的第

63项相等

.【解析】试题解析：本题主要观察等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，观察学生的解析问题解决问题的能力、转变能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将a1,a2,a3,a4转变为a1和d，解方程获取a1和d的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论获取b2和b3的值，再利用等比数列的通项公式，将b2和b3转变为b1和q，解出b1和q的值，获取b6的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n的值，即项数.试题解析：（Ⅰ）设等差数列an的公差为d.由于a4a32，所以d2.又由于a1a210，所以2a1d10，故a14.所以an42(n1)2n2(n1,2,L).（Ⅱ）设等比数列bn的公比为q.由于b2a38，b3a716，所以q2，b14.所以b64261128.由1282n2，得n63.所以b6与数列an的第63项相等.考点：等差数列、等比数列的通项公式.17、（本小题满分13分）某商场随机采用1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成以下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．商顾品甲乙丙丁客人数100√×√√2172003008598

×√×√√√√×√×√×√××××√××（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；（Ⅲ）若是顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？【答案】（1）0.2；（2）0.3；（3）同时购买丙的可能性最大.【解析】试题解析：本题主要观察统计表、概率等基础知识，观察学生的解析问题解决问题的能力、转变能力、计算能力.第一问，由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数200，计算出概率；第二问，先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的人数100+200，再计算概率；第三问，由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为200，顾客同时购买甲和丙的人数为100+200+300，顾客同时购买甲和丁的人数为100，分别计算出概率，再经过比较大小得出结论.试题解析：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.2.1000（Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，还有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100200.1000（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.2，1000顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为10020030010000.6，100顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为，1000所以，若是顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.考点：统计表、概率.18、（本小题满分14分）如图，在三棱锥VC中，平面V平面C，V为等边三角形，CC且CC2，，分别为，V的中点．（Ⅰ）求证：V//平面C；（Ⅱ）求证：平面C平面V；（Ⅲ）求三棱锥VC的体积．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）3.3【解析】试题解析：本题主要观察线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式等基础知识，观察学生的解析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、转变能力、计算能力.第一问，在三角形ABV中，利用中位线的性质得OM//VB，最后直接利用线面平行的判断获取结论；第二问，先在三角形ABC中获取OCAB，再利用面面垂直的性质得OC平面VAB，最后利用面面垂直的判断得出结论；第三问，将三棱锥进行等体积转变，利用VCVABVVABC，先求出三角形VAB的面积，由于OC平面VAB，所以OC为锥体的高，利用锥体的体积公式计算出体积即可.试题解析：（Ⅰ）由于O,M分别为AB，VA的中点，所以OM//VB.又由于VB平面MOC，所以VB//平面MOC.（Ⅱ）由于ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.又由于平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB.所以平面MOC平面VAB.（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB中，ACBC2，所以AB2,OC1.所以等边三角形VAB的面积SVAB3.又由于OC平面VAB，所以三棱锥C-VAB的体积等于1OCSVAB3.33又由于三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，所以三棱锥V-ABC的体积为3.3考点：线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式.19、（本小题满分13分）设函数x2fxklnx，k0．2（Ⅰ）求fx的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若fx存在零点，则fx在区间1,e上仅有一个零点．【答案】（1）单调递减区间是(0,k)，单调递加区间是(k,)；极小值k(1lnk)f(k)；（2）证2明详见解析.所以，f(x)的单调递减区间是(0,k)，单调递加区间是(k,)；f(x)在xk处获取极小值f(k)k(1lnk).2k(1lnk)（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在区间(0,)上的最小值为f(k).2由于f(x)存在零点，所以k(1lnk)0，从而ke.2当ke时，f(x)在区间(1,e)上单调递减，且f(e)0，所以xe是f(x)在区间(1,e]上的唯一零点.当ke时，f(x)在区间(0,e)上单调递减，且f(1)10，f(ek2e)0，2所以f(x)在区间(1,e]上仅有一个零点.综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1,e]上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题.20、（本小题满分14分）已知椭圆C:x23y23，过点D1,0且但是点2,1的直线与椭圆C交于，两点，直线与直线x3交于点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若垂直于x轴，求直线的斜率；（Ⅲ）试判断直线与直线D的地址关系，并说明原由．【答案】（1）6；（2）1；（3）直线BM与直线DE平行.3【解析】试题解析：本题主要观察椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的地址关系等基础知识，考查学生的解析问题解决问题的能力、转变能力、计算能力.第一问，先将椭圆方程化为标准方程，获取a，b，c的值，再利用ecAB的特别地址，设出A，B点坐标，设出直线AE的方计算离心率；第二问，由直线a程，由于直线AE与x=3订交于M点，所以获取M点坐标，利用点B、点M的坐标，求直线BM的斜率；第三问，分直线AB的斜率存在和不存在两种情况进行谈论，第一种情况，直接解析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB和直线AE的方程，将椭圆方程与直线AB的方程联立，消参，获取x1x2和x1x2，代入到kBM1中，只需计算出等于0即可证明kBMkDE，即两直线平行.试题解析：（Ⅰ）椭圆C的标准方程为x2y21.3所以a3，b，c2.1所以椭圆c6.C的离心率e3a（Ⅱ）由于AB过点D(1,0)且垂直于x轴，所以可设A(1,y1)，B(1,y1).直线AE的方程为y1(1y1)(x2).令x3，得M(3,2