二次函数在闭区间上的最值课件-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

二次函数在闭区间上的最值

复习回顾初中阶段我们学了二次函数的哪些知识？1、二次函数的概念；2、二次函数的解析式有三种形式：一般两根三顶点；3、二次函数的图像画法、性质特征；xyyx练：求二次函数的最小值。思考：求函数在区间[0，3]上的最值？在区间上的最小值？在区间

上的最大值？

函数函数1.轴定区间定例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。分析：该二次函数是固定的，给出的定义域区间也是固定的，此种情况我们称为“定二次函数在定区间上的最值”。解决此类问题只需画出函数图象，观察对称轴与区间的位置关系。正向型图1解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是。，顶点坐标为（2，2），且其图象最小值为开口向下，显然其对称轴在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为，2、轴定区间变例2.如果函数定义在区间上，求的最小值。分析：该二次函数是固定的，但定义域区间随参数t的变化而变化，此种情况我们称之为“定二次函数在动区间上的最值”。解决此类问题关键在于变换区间位置，对在不同位置上的图像对称轴与区间位置关系进行讨论。xy11tt+1tt+1tt+1当函数取得最小值时，函数取得最小值当时，当函数取得最小值时，解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。若对称轴在区间上时，有，即当时，函数取得最小值。

。综上所述，若对称轴在区间右侧时，有，即当时，函数取得最小值。左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。若对称轴在区间3、轴变区间定例3.求函数在上的最大值。分析：该二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。解决此问题的方式是移动对称轴，对不同位置的对称轴和定义域区间位置关系进行讨论。xy-11当时函数取得最大值当时函数取得最大值当时函数取得最大值解：

函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，（1）时（2）时（3）

时；即逆向型例4.已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。分析：此题属于已知二次函数最值，求函数或区间中参数取值的问题，我们称之为逆向型问题，此类问题该如何思考呢？解：配方可得（1）若不符合题意。（3）若时，则由，得综上知或则由，得（2）若例5.已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a分析：此题与上题类似，都属于逆向型问题，但两题区别在于上题对称轴是定值，该题对称轴若仍像上题般讨论参数的正负，则需分析对称轴与区间的位置关系，需分五种情况讨论，过程复杂，但如果我们注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。

（1）令，得此时抛物线开口向下，对称轴方程为，而，故不合题意；解：（2）令，得此时抛物线开口向上，对称轴方程为，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意；（3）若，得此时抛物线开口向下，对称轴方程为在区间内，故综上，不符合题意；，对称轴小结：

设，求在上的最大值与最小值。xymnxymnxymn练习1、已知，求函数的最值。，当时