人教版九下数学2解直角三角形导学案

解直角三角形(二)学习目标、重点、难点【学习目标】1.了解什么是仰角和俯角，学会解决观测问题．2.了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角,学会解决方位角问题．3.巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．4.逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．【重点难点】1.用三角函数有关知识解决观测问题.2.用三角函数有关知识解决方位角问题.3.理解坡度的有关术语,解决有关坡度的实际问题．4.学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型.知识概览图→解决实际问题仰角、俯角→解决实际问题坡角、坡度方向角、方位角新课导引【生活链接】如右图所示，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高?(精确到0.1m)°，β＝60°，那么如何才能求出这栋高楼的高度呢?【点拨】如右图所示，α＝30°，β＝60°，AD＝120．∵tanα＝，tanβ＝，∴BD＝AD·tanα＝120×tan30°＝120×＝40，CD＝AD·tanβ＝120×tan60°＝120×＝120，∴BC＝BD＋CD＝40＋120＝160≈277．1．答：这栋楼高约为277．1m．教材精华知识点1仰角、俯角如图28－65所示，OC为水平线，OD为铅垂线，OA，OB为视线，我们把视线OA与水平线OC所形成的∠AOC称为仰角；把视线OB与水平线OC所形成的∠BOC称为俯角．在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角；当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角．例如：如图28－66所示，从地面上C，D两处望山顶A，仰角分别是30°，45°，若C，D两处相距200m，那么山高AB为多少?解：由题意可知BC⊥BA，且∠C＝30°，∠ADB＝45°．在Rt△ACB中，tanC＝，∴BC＝＝＝AB.在Rt△ADB中，∵∠BDA＝45°，∠B＝90°，∴BD＝BA，∴CD＝CB－DB＝AB－AB＝(－1)AB．∵CD＝200，∴200＝(－1)AB，∴AB＝100(＋1)，即山高AB约为100(＋1)m．拓展仰角与俯角都是视线与水平线的夹角．知识点2坡角、坡度如图28－67所示，BC表示水平面，AB表示坡面，我们把水平面BC与坡面AB所形成的∠ABC称为坡角．一般地，线段BC的长度称为斜坡AB的水平宽度，线段AC的长度称为斜坡AB的铅垂高度．如图28－67所示，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，用i表示，记作i＝h：l，坡度通常写成h：l的形式，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．于是i＝＝tanα，显然，坡度越大，α越大，坡面就越陡．例如：如图28－68所示，有一山坡，在水平方向上每前进100m就升高50m，那么山坡的坡度(即tanα)就是tanα＝＝.拓展(1)坡度也叫做坡比，即i＝，一般写成1：m的形式(比的前项是1，后项可以是整数，也可以是小数或根式)．(2)坡度i和坡角α的关系为i＝tanα．(3)坡角越大，坡度越大，坡面越陡.知识点3方位角、方向角方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角．如图28－69所示，∠NOA，∠NOB，∠NOC都是方位角．方向角；从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角．如图28－70所示，∠NOA，∠SOB，∠NOD，∠SOC都是方向角．如图28－69所示，目标方向OA表示的方位角为50°；目标方向OB表示的方位角为110°；目标方向OC表示的方位角为250°．如图28－70所示，目标方向OA表示的方向角为北偏东35°；目标方向OB表示的方向角为南偏东75°；目标方向OC表示的方向角为南偏西45°，也称西南方向；目标方向OD表示的方向角为北偏西40°．拓展解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解．规律方法小结在学习本节内容时，要注意运用转化思想将所求的线段转化到直角三角形中，利用三角函数建立已知线段与未知线段的联系．另外，在测量某参照物的仰角、俯角或方向角的度数时，对在两个不同位置观测到的度数要分类讨论，即有时要运用分类讨论思想来解决问题．课堂检测基础知识应用题1、如图28－71所示，某电信部门计划修建一条连接B，C两地的电缆，测量人员在山脚A测得B，C两地的仰角分别为30°，45°，在B地测得C地的仰角为60°，已知C地比A地高200m，则电缆BC至少需要m(结果保留整数)2、如图28－72所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时海轮所在的B处距离灯塔P有多远?(结果保留小数点后两位)3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进了10m，则他所在的位置比原来的位置升高了m．综合应用题4、如图28－74所示，河对岸有一座铁塔AB，在河边C，D处用测角仪器测得塔顶B的仰角分别为30°，60°，已知测角仪器的高为1．5米，CD＝20米，求铁塔的高．(结果保留小数点后一位)5、如图28－75所示，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝高10米，斜坡AB的坡度为1：2(AR：BR)，现要加高2米，在坝顶宽度和斜坡坡度均不变的情况下，加固一条长为50米的大坝，需要多少立方米土石料?6、如图28－76所示，一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向上，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°方向上，已知以小岛C为中心，周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的危险区，则这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有进入危险区的可能?7、某种吊车的车身高EF＝2m，吊车臂AB＝24m，现要把如图28－77所示的圆柱形装饰物吊到14m高的屋顶上安装．吊车在起吊的过程中，圆柱形装饰物始终保持水平，如图28－78所示，若吊车臂与水平方向的夹角为59°，则能否吊装成功?(sin59°≈，cos59°≈，tan59°≈8、如图28－80所示，在一个高为10m的建筑物顶部c处测得旗杆底部B的俯角α为60°，旗杆顶部A的仰角β为20°．(1)求建筑物与旗杆的水平距离BD；(结果可保留根号)(2)计算旗杆的高度．(结果保留小数点后一位，供选用的数据：sin20°≈，cos20°≈，tan20°≈，≈9、如图28－81所示，两个建筑物的水平距离BC为27米，从点A测得点D的俯角α＝30°，测得点C的俯角β＝60°，求AB和CD两个建筑物的高．10、如图28－82所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC＝1，D是AB边上的一点，且DE⊥BC，垂足为E，ED的延长线交CA的延长线于F，则当点D在AB边上的何处时，△ADF与△BDE的面积之和最小?并求出最小值．探索与创新题11、如图28－83(1)所示，一个长为4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的夹角α为60°．(1)求AO与BO的长；(2)若梯子的顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．①如图28－83(2)所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC：BD＝2：3，求梯子的顶端A沿NO下滑了多少米；②如图28－83(3)所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′＝15°，试求AA′的长．12、如图28－84(1)所示，在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度和占地面积，图中虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角θ越小，楼梯的安全程度越高，但占地面积较大．如图28－84(2)所示，设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1＝4m,θ1＝40°，θ2＝36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少．(结果保留小数点后两位)13、如图28－85所示，在小山的东侧A处有一热气球，它以每分钟28米的速度沿着与铅直方向的夹角为30°的方向飞行，半小时后到达C处，这时热气球上的人发现，在A处的正西方向有一着火点B，5分钟后，在D处测得着火点B的俯角是15°，求热气球的升空点A与着火点B的距离．(结果保留根号，参考数据：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2－)14、如图28－86所示的是某立式家具(角书橱)的横断面，请你设计一个方案(角书橱高2米，房间高2.6米，所以不必从高度方面考虑设计方案)，按此方案可使该家具通过如图28－87所示的长廊搬入房间，在图中把你设计的方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由．(注：搬迁过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁)15、某学校为了改善教职工的居住条件，准备在教学楼(正楼)的正南方建筑一栋住宅楼(正楼)，要求教学楼与住宅楼等高，且均为15.6m．已知该地区冬至正午时分太阳高度最低，太阳光线与水平线的夹角为30°，教学楼与住宅楼相距19.2m，如图28－90所示．(1)冬至正午时分住宅楼的影子落在教学楼上有多高?(结果保留小数点后一位)(2)要使冬至正午时分的太阳能够照到教学楼的墙角，则两楼间的距离至少应为多少?(结果保留小数点后一位)16、飞机在高空中的A处测得地面C的俯角为45°，水平飞行2km到达B处，再测得其俯角为30°，求飞机飞行的高度．(结果保留小数点后一位，≈体验中考腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑(如图，28－96(1)所示)，为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°(如图28－96(2)所示)．若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．(结果保留小数点后一位，参考数据：≈学后反思 附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析过点C作CD⊥AD于D，过点B分别作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，由题意可知CD＝200m．在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，∴AD＝CD＝200m，设DE＝xm，由图可知BF＝DE＝xm．在Rt△CBF中，tan∠CBF＝，∴CF＝BF·tan60°＝x．在Rt△ABE中，tan∠BAE＝，AE＝AD－DE＝200－x，∴BE＝AE·tan30°＝(200－x)，∴DF＝BE＝(200－x)．由CF＋FD＝CD，得x＋(200－x)＝200，∴x＝100(－1)．在Rt△CBF中，cos60°＝，∴BC＝＝200(－1)，即BC＝200(－1)≈146．故埴146．【解题策略】解此类问题时，应弄清题中的仰角、俯角的定义，把握题意画出正确的几何图形，再将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解．2、分析在Rt△APC中，由cos∠APC＝，得PC＝PA·cos∠APC，在Rt△PBC中，由cos∠CPB＝，得PB＝，从而求出PB．解：由已知可得AB⊥PC，∠APC＝90°－65°＝25°，∠BPC＝90°－34°＝56°，且PA＝80海里．在Rt△APC中，∵cos∠APC＝，∴PC＝PA·cos∠APC＝80cos25°．在Rt∠BPC中，∵cos∠BPC＝，∴BP＝＝≈≈(海里)，因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向的B处时，它距离灯塔P大约129．66海里．【解题策略】解答本题的关键是抓住实际问题的本质，并将实际问题转化为数学问题，通过本题的解答，培养运用所学知识解决实际问题的能力．3、分析k，由勾股定理可知AB＝＝＝5k．∵AB＝10，∴5k＝10，即k＝2，∴BC＝3×2＝6(m)，即他所在的位置比原来的位置升高了6m．故填6．【解题策略】将坡度看成铅直高度与水平宽度的份数比，利用勾股定理求出斜边的份数，从而求出每份的数据，此题还可以由＝和BC2＋AC2＝AB2＝100构造方程组来求解．4、分析塔高等于BG＋AG，AG是1．5米，关键是求BG，设BG＝x，用x表示EG，FG，列出关于x的方程来求解．解：设BG＝x，在Rt△FBG中，∠BGF＝90°，∠BFG＝60°，∵tan∠BFG＝，∴FG＝x，在Rt△BEG中，∠BEG＝30°，∵tan∠BEG＝，∴EG＝x，∵EG－FG＝EF，EF＝CD＝20，∴x－x＝20，∴x＝10,∴AB＝AG＋BG＝1．5＋10≈(米)．答:铁塔的高约18．8米．【解题策略】解决此类含有两个直角三角形的问题耐，应设在两个直角三角形中起桥梁作用的线段为x，其他的边用x表示，列出方程，从而求得x，此法在解题中经常用到，应注意掌握．5、分析欲求加固大坝所需的土石料，已知坝长为50米，关键是求加高后的等腰梯形面积与原来的等腰梯形面积之差．解：过点E作EH⊥BC于H，∵梯形EPCF为等腰梯形，∴PC＝2PH＋EF．∵梯形ABCD为等腰梯形，∴BC＝2BR＋AD．∵斜坡EP，AB的坡度都为1：2，∴，．∵AR＝10，∴EH＝10＋2＝12，∴PH＝24，BR＝20，∴PC＝2PH＋EF＝2×24＋6＝54，BC＝2BR＋AD＝2×20＋6＝46，∴S梯形EPCF＝(EF＋PC)·EH＝(6＋54)×12＝360，S梯形ABCD＝(AD＋BC)·AR＝(6＋46)×10＝260，∴V＝50(S梯形EPCF－S梯形ABCD)＝50×(360－260)＝5000(立方米)．答：需要5000立方米土石料．【解题策略】(1)有关大坝加固的问题在近几年的中考中均有出现，这些题往往图形较复杂，计算步骤较多，有一定的难度，且与实际生活关系密切，因此是中考的热点题型之一，要熟练掌握．(2)建立数学模型，找出变量(如坝高增加2米)和不变量(如斜坡的坡度，四边形的形状仍为等腰梯形)是解决此类问题的关键．6、分析过C作CD⊥AB交AB的延长线于D，此时CD在Rt△BCD和Rt△ACD中，利用AB＝AD－BD列方程求解．解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D，在Rt△BDC中，设CD＝x，则BD＝CD·tan30°＝x，在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，tan∠CAD＝，∴AD＝x．又∵AD－BD＝AB，AB=30×＝20，∴AD－BD＝20，即x－x＝20，∴x＝10.∵10＞10，∴这艘渔船继续向东追赶鱼群，不会进入危险区．7、解：过点B作BK⊥AH，垂足为K，如图28－79所示．在Rt△ADC中，DC＝3m，∠ADC＝59°，∵tan∠ADC＝，∴AC＝DC·tan∠ADC＝3×tan59°≈3×＝(m)．在Rt△ABK中，AB＝24m，∠ABK＝59°，∵sin∠ABK＝，∴AK＝AB·sin∠ABK＝24×sin59°≈24×＝(m)．∴GH＝(AK＋KH)－(AC＋OG)≈＋2)－＋3)＝＞14，∴能吊装成功．【解题策略】本题是一道实际应用问题，应转化为数学问题来解决，即利用直角三角形的知识来求解．8、分析(1)在Rt△BCD中，由∠CDB＝90°，∠CBD＝60°，CD＝10m，可求得建筑物与旗杆的水平距离．(2)由图可知，求旗杆AB的高，可以过C作CE⊥AB于E，则AB可化为AE＋EB，其中EB＝CD是已知的，在Rt△AEC中可以求出AE的长，从而可求出旗杆的高．解法1：(1)在Rt△CBD中，由题意可知∠CBD＝60°，CD＝10m，tan∠CBD＝，∴BD＝(m)．答：建筑物与旗杆的水平距离BD为m．解法2：(1)在Rt△CBD中，∠BCD＝90°－∠CBD＝30°，CD＝10m，则BD＝BC，设BD＝x,则BC＝2x，由勾股定理得(2x)2＝x2＋102，∴x＝.答：建筑物与旗杆的水平距离BD为m.解：(2)过C作CE⊥AB，垂足为E．在Rt△ACE中，∠ACE＝20°，CE＝BD＝，∵tan∠ACE＝，∴AE＝CE·tan∠ACE＝×tan20°≈×1．732×≈，∴AB＝AE＋BE≈＋10＝12．1(m)．答：旗杆的高度约为12．1m．【解题策略】解此题时要注意结果按要求取近似值．9、分析在Rt△ABC中，∠BCA＝β＝60°，BC＝27，从而可求得AB，而求CD需要过点D作DE⊥AB于E，先求AE，再求BE，从而求出CD．解：过点D作DE⊥AB于E，则DE＝BC＝27，∠ADE＝α＝30°，∠ACB＝β＝60°，在Rt△ADE中，tan30°＝，∴AE＝tan30°·DE＝×27＝9.在Rt△ABC中，tan60°＝，∴AB＝tan60°·BC＝27，∴BE＝AB－AE＝18，∴CD＝18，答：AB和CD两个建筑物的高分别为27米和18米．【解题策略】在此类问题中，如果所给的图形不是直角三角形，就应作适当的辅助线，把原图形转化为直角三角形或矩形，作辅助线时要注意观察原图形，如果有特殊角要保留，以便于进一步的计算．10、分析本题中涉及到最值问题，往往使我们联想到与函数有关，结合已知条件可以发现，所求面积之和由点D的位置所决定，若设AD＝x，则面积之和可以看作是关于x的函数，求出函数关系式，再求最小值．解：设所求面积之和为y，AD＝x，则DF＝x，∴BD＝1－x，DE＝(1－x)，∴y＝S△ADF＋S△DEB＝AD·DF·sin45°＋BD·DE·sin45°＝x·x＋＋(1－x)·(1－x)·＝＋.当x＝时，y取得最小值，∴当AD＝AB时，△ADF与△BDE的面积之和最小，最小值为.【解题策略】本题把解直角三角形与函数知识结合起来，运用函数思想建立了面积与相关线段之间的函数关系，再利用函数的增减性求其最值．11、分析(1)AO与BO的长可直接根据直角三角形中的边角关系求出；(2)①由AC：BD＝2：3，不妨设AC＝2x，则BD＝3x，再根据OC2＋OD2＝CD2这个等量关系列方程求得x，从而确定AC的长；②根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得到两个等腰三角形，从而求得∠P′A′O＝45°，解Rt△A′OB′，求得A′O的长度，则AA′可求．解：(1)在Rt△AOB中，∠O＝90°，α＝60°，∴∠OAB＝30°．又∵AB＝4，∴OB＝AB＝×4＝2．OA＝AB·sin60°＝4×＝2，(2)①∵AC：BD＝2：3，∴设AC＝2x，则BD＝3x，在Rt△COD中，OC＝2－2x，OD＝2＋3x，CD＝4，根据勾股定理得OC2＋OD2＝CD2，∴(2－2x)2＋(2＋3x)2＝42，即13x2＋(12－8)x＝0．∵x≠0，∴13x＋12－8＝0，∴x＝，AC＝2x＝，即梯子的顶端A沿NO下滑了米．②∵点P和P′分别是Rt△AOB的斜边AB与Rt△A′OB′的斜边A′B′的中点，∴PA＝PO，P′A′＝P′O，∴∠PAO＝∠AOP，∠P′A′O＝∠A′OP′，∴∠P′A′O－∠PAO＝∠A′OP′－∠AOP，即∠P′A′O－∠PAO＝∠POP′＝15°．∵∠PAO＝30°，∴∠P′A′O＝45°，∴A′O＝A′B′·cos45°＝4×＝2，∴AA′＝OA－A′O＝(2－2)米．【解题策略】解决此题的关键是要认识到梯子在移动的过程中长度不变．12、解：在Rt△ABC中，BC＝d1，∠ACB＝θ1，∵tan∠ACB＝，∴AB＝BC·tan∠ACB＝d1tanθ1＝4tan40°．在Rt△ABD中，BD＝d2，∠ADB＝θ2，∵tan∠ADB＝，∴AB＝BD·tan∠ADB＝d2tanθ2＝d2tan36°，∴4tan40°＝d2tan36°，d2＝≈≈，∴d2－d1≈－4＝．答：楼梯占用地板的长度增加了约0．62m．【解题策略】本题是解直角三角形的实际应用问题，解此题的关键是将其转化为数学问题，本题求楼梯占用地板的长度增加了多少，实际上是求d2－d1，d2的长可在Rt△ABD中利用边角关系求得。13、分析过点D作DH⊥BA，交BA的延长线于H，构造出直角三角形，在Rt△DAH中求出DH和AH，在Rt△DBH中求出BH后，即可求得AB的长．解：过点D作DH⊥BA，交BA的延长线于H，根据题意可知AD＝(30＋5)×28＝980．在Rt△DAH中，DH＝AD·sin60°＝980×＝490，AH＝AD·cos60°＝980×＝490．在Rt△DBH中，∵BH＝，∴BH＝490×(2＋)＝1470＋980，∴AB＝BH－AH＝(1470＋980)－490＝980(1＋)．答：热气球的升空点A与着火点B的距离为980(1＋)米．【解题策略】此类问题需将实际问题转化为数学问题，然后利用解直角三角形的知识来解决．14、分析本题是近几年中考的热门问题，利用相关的数学知识将实际问题转化为数学模型来求解．解：设计方案草图如图28－88所示．如图28－89所示，作直线AB，并延长DC交AB于E，由题意可知△ACE是等腰直角三角形．∴CE＝，DE＝DC＋CE＝＋＝2，过点D作DH⊥AB于H，则DH＝DE·sin∠HED＝2sin45°＝2×＝．∵＜，∴可按设计方案将家具搬入房间．【解题策略】解此题的关键是根据题意画出正确的几何图形．15、