管理统计学课件真齐了204autumn-7参数统计推断

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管理统计学——参数统计推断课程大纲1.统计推断总体均值的估计总体百分比（数）和两总体百分比（数）差的估计中位数的区间估计单总体参数的假设检验两类错误数理统计学（推断统计学）以概率论为基础对随机抽样得到的数据进行分析处理统计

方式：随机抽样省时、省力更为科学和理性化：可靠性得到保证，误差可以有效控制课程大纲1.统计推断总体均值的区间估计总体百分比（数）和两总体百分比（数）差的估计中位数的区间估计单总体参数的假设检验两类错误统计推断的两类问题根据样本做出结论（统计上称为统计推断）大体分为估计和假设检验两大类问题例1：从产品中抽取100件产品，其中有5件是次品，估计问题：次品率多大？（点估计）对给定的置信度（如95%），次品率会在什么范围内变化？（或者说，次品率有95%的概率会在什么范围内变化？区间估计）检验问题：能否说该批产品次品率≤6%？例2由下表的数据，能否判断吸烟与肺癌有关联？吸烟不吸烟ni患15318健康258533875982n

j260034006000统计推断统计推断问题：由总体抽取的一个样本（样本量为n）来推知总体的某一性质样本是总体的一部分，抽到什么样本有随机性问题统计推断结论有多大的把握：置信度问题由部分推断总体的某个性质总会有误差，因此

的统计推断结论有可能是错误的置信度和精度的关系问题：在区间估计中，置信度依赖于区间的长度：区间越长，置信度越高，但精度越低得到的结论是否有实际意义统计推断结论的正确与否：与

对总体的了解有关影响统计推断的基本因素样本是如何得到的（采样方式、方法）样本量n总体的波动规律——分布希望的可靠度（统计上称为置信水平）(confidence

level)课程大纲1.统计推断总体均值的估计总体百分比（数）和两总体百分比（数）差的估计中位数的区间估计单总体参数的假设检验两类错误总体统计总体，研究对象某个指标取值的全体量X的分布表示统计总体是一个分布，常用随总体一个重要的问题是如何由样本估计总体均值

和方差

2统计量：能很好地反映总体均值或总体方差，或者其他一些

感

的总体参数完全取决于样本的取值，一般记为f(X1,X2,…,Xn)统计推断用统计量来估计或检验总体中的一些参数（总体分布已知），称为参数统计推断用统计量对总体的分布本身进行统计推断（总体分布未知），称为非参数统计推断例子EAI公司的人事部经理需要为公司2500名管理制定一份简报，内容包括管理的管理的平均年薪和已所占的比率完成公司管理培训总体均值：μ=51800总体方差：σ2=40002完成培训

所占比率：p=1500/2500=0.6如果用样本，如何获得对这些总体参数的估计呢？点估计样本均值样本方差1nX

1

(

X

X

)ni1i

X

)2n

1nS

2

1

(

X样本均值

X

和样本方差

S

2

用来估计总体均值

和总体方差

2

，称为

和

2

的点估计点估计量是随

量，与未知参数无关：取值依赖于样本在一定条件下，上述估计是最好估计求点估计量的方法矩估计法用样本矩替代相应的总体矩极大似然法建立在最大似然原理（概率最大的事件最可能出现）基础上在观测到样本值之后，选取使得似然函数最大的变量值作为未知总体参数的估计值好的点估计量应具有的性质无偏性：期望值等于所估计的总体参数值有效性：方差越小越有效当从正态总体中抽样时，中位数的标准差大约比均值的标准差大将近25%最小均方误差估计最小方差无偏估计一致性：随着样本量的增大，点估计量的值与总体参数值越来越接近例子（续）EAI公司的人事部经理需要为公司2500名管理制定一份简报，内容包括管理的管理的平均年薪和已所占的比率完成公司管理培训总体均值：μ=51800总体方差：σ2=40002完成培训

所占比率：p=1500/2500=0.6点估计量依赖于样本，能否给出一个区间，使得总体均值等参数有很大的概率在此区间内？区间估计的定义，也一般用一个数估计总体的一个参数，可能不知道与被估参数的误差有多少区间估计：根据样本构造一个区间，把参数θ估计在这个区间中置信度（可靠度）

1-α，α一般取0.05，0.01等1

2区间1

1

1

2

n

2

2

1

2

n寻找两个统计量

ˆ

ˆ(

X

,

X

,,

X

),ˆ

ˆ

(

X

,

X

,,

X

)

，1

2满足ˆ

ˆ

，使得P(

(ˆ,ˆ

))

P(ˆ

ˆ

)

1

1

2

1

2称(ˆ,ˆ

)

为参数θ的(1

)

100%

的区间估计或置信区间估计的形式总体均值：(X

d

,X

d

)对于正态分布总体，此形式的区间估计在给定置信水平下精度最高能提供基于样本得出的点估计值与总体参数值的接近程度的信息总体方差：(S

2

/A,S

2

/B)显著性水平：α，通常取些标准值，如0.05，0.025，0.01置信水平（置信系数）：1-α希望区间(X

d

,X

d

)满足P(

(

X

d

,

X

d

))

1

d越小，精度越高，但可靠度越低正态总体均值的区间估计——总体方差已知取最小值若总体分布非正态或分布形态未知，n充分大(通常指n>30)，可以用中心极限定理σ已知在一些应用中，在抽样前可以根据大量有关的历史数据或者其他信息获得总体标准差的一个好的近似设样本X1

,

X

2

,,

Xn

抽自正态总体

X

~

N

(,

2

)nX

~

N

(,

1

2

)n

d

/

n

/

X

P(

X

d

X

d

)

1

P

1

/

2

/

nd

u

/2

置信区间是nd

u例1

某大学教师家庭每月水电、煤气和

费的支出情况，随机抽取100户，发现每月平均账单是253元，设账单上的付款数X

~

N

(,

2

),

70(元)，求平均付款额μ的置信水平为95%的区间估计n

100,

x

253,

70,

0.05,u0.05

/

2

1.96μ的置信水平为95%的区间估计为70

(239.28,266.72)100

x

u

253

1.96

n

/

2例2从自动包糖机生产线上随机抽取12包糖，测得样本均值x

10.092

(kg)，设每包糖的重量服从正态分布

N(μ,0.04)，试求μ的95%置信区间n

12,

x

10.092,

0.04

0.2,

0.05,u0.05/

2

1.96μ的置信水平为95%的区间估计为12

n

x

u

0.2

10.092

1.96

(9.979,10.205)

/

2正态总体均值的区间估计：总体方差未知设X

~

N

(,

2

)方差未知时，用样本标准差S代替方差σX

S

/

n~

t(n

1)度的t分布上α分位点t

(n)附表列出各种P(t(n)

t

(n))

t分布度为v的t分布：著名的统计三大分布之一t分布与N(0,1)很接近钟形密度曲线，关于y轴对称当

度趋于无穷大时，t分布的极限分布是标准正态分布总体均值μ的置信水平为(1-α)×100%的区间估计是ns

x

t

(n

1)

/

2χ2分布量Xi都服从标准正态分布度为k的χ2分布，记为χ2k或者设一组相互独立的随，则

服从χ2(k)t分布概率密度曲线例1的样本均服从正态的区间估由

知16家公司自用汽车每年值（万元）为

x

340,

s

60

，设分布，求置信水平是99%的平均计160.01/2

(n

1)

340

60

t

(15)

(295.799,384.201)

ns

t

x

/

2总体分布非正态或未知（大样本）若总体分布非正态或未知，且总体方差亦未知，由中心极限定理，当n充分大时(n≥30)，近似有μ的(1-α)×100%的区间估计（近似）公式是如果总体分布是严重偏斜或者包含异常点，样本量n应大于等于50如果总体分布不是正态分布但是大致对称，n≥15即可~

N

(0,1)X

S

/

n

/

2

ns

u

x

例2某超市

80人，

他们每月在酱菜上的平均花费。

得平均值为

x

5.9

，样本标准差s

1.20求到该超市人群每月在酱菜上的平均花费

的置信度为95%的区间估计求置信度为90%的区间估计设

人数是100人，其他数据不变，置信区间的精度又如何变化？例2（续）1.样本量越多，相同置信度下精度越高（置信区间越小）由题意知，n

80,x

5.9,s

1.20,u0.05/2

1.96

，故区间是(5.9

1.96

1.20

/ 80)

(5.637,6.163)2.

取水平α=0.1，u0.1/2

1.645

，则区间是(5.9

1.6451.20

/

80)

(5.679,6.121)置信度越高，精度越低（置信区间越大）3.

n=100时置信区间分别为(5.9

1.96

1.20

/ 100)

(5.665,6.135)100)

(5.703,6.097)和(5.9

1.6451.20/例3检测200件产品的，得样本平均值x

300，样本标准差s=8，设α=0.05和0.01，求期望μ的置信水平为(1-α)×100%的置信区间(300

1.96

8

/ 200)

(298.9,301.1)(300

2.576

8

/ 200)

(298.5,301.5)例4

某小区180户居民每月水电费支出，数据如下,求总体均值μ的95%置信区间居民每月水电费支出（元）频数组中值<50725[50,100)1275[100,150)15125[150,200)30175[200,250)53225[250,300)38275[300,400)20350≥4005450例5（续）222111

i

ii

i1

i

ii

inf

x

f

x

8006.11

89.48n

1f

(x

x)2

n

s2

nx

1

f

x

221.25180

221.25

89.48

1.96

(208.18,234.32)

/

2

ns

u

x

样本容量的确定在保证置信度的前提下可以通过改变样本容量n的方式来满足精度的要求2

dnd

u

/

2

n

/

2

u例1故至少要抽取25个职工某公司欲估计其职工探亲的平均天数，通过

，得样本均值

x

。公司希望由此做出的估计与真值之间的差距不超过两天，其可靠性达到95%。若职工探亲天数X

~

N

(,25)，问至少要抽取多少个职工调查？

2un

/

25

2

1.96

24.012

2

2n

u

/

2例2故至少抽取12个灯泡设灯泡（小时）服从正态分布，方差

2

1225。为估计其平均

，需要抽取多少灯泡才能有95%的把握使误差不超过20小时？

11.764920

35

2n

1.96

总体标准差σ未知给出σ的初始值或者计划值，再使用容量公式σ的初始值或者计划值的确定方法根据以前研究中的数据计算总体标准差的估计值利用实验性的研究，选取一个初始样本，以该样本的样本标准差作为σ的计划值对σ值进行判断或“最优猜测”两个正态总体均值差的区间估计，以分别表示总体X和Y的样本均值和样本方差基本假设：总体X和Y相互独立且都服从正态分布：X

~

N

(

,

2

),Y

~

N

(

,

2

)1

1

2

2设从总体X和Y中分别抽取了一组样本(X1,X

2

,,Xn1

)和2(Y1,,Yn

)2221X

,

S

,Y

,

S两个正态总体均值差的区间估计：总体方差已知两个正态总体均值差的置信区间是(1-α)×100%的区间估计是

2

2

2

)n1

n2X

Y

~

N

(1

2

,

1~

N

(0,1)n1

n2

2

2 1

2[

X

Y

(1

2

)]

/

2

2

2

u

/

2

1n1

n21

2

x

y

例子1现有两种品牌的油漆，随机地从甲品牌中取出10个样品，从乙品牌取出9个样品，测得其干燥时间（单位：小时）分别为甲品牌：5.7,6.1,5.5,6.9,5.6,6.2,5.3,5.7,5.7,5.8乙品牌：6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0设这两种品牌油漆的干燥时间分别服从试在σ1=0.65，σ2=0.6的假设条件下，求μ1-μ2的95%置信区间221

1

2

2N

(

,

),

N

(

,

)例子1（续）根据资料，有x

5.85,y

6置信区间是10

9210.652

0.62

(0.71,0.41)

5.85

6

1.96

1

2n

n

x

y

u

2

2

/

2两个正态总体均值差的区间估计：总体方差未知222当

1

2

未知，用

Y

)

2

1

2i1i

1

n1

i1iTn2

(

X

X

)2

(Yn

n

2

S

2

来估计

2211

2T(n1

n2

2)

S

~

t1

1n

nX

Y

/

1

2

x

y

211

1

sTt

/

2

(n1

n2

2)

n

n例子某工厂有两条生产线A和B，每小时生产情况如下求两条生产线平均产量差的区间估计（α=0.05，假

设两条生产线产量服从正态分布且两总体方差相等）A生产线B生产线抽取小时数1218样本均值111106样本标准差4.43.5例子（续）1Tt0.025

(28)2.048(

1.96

u0.025

)

3.8786,(11s2

17s2

)

15.0432,

s1

2T12

18

2s212

181

1112

18

5

3.8786

2.048

(2.0397,7.9603)

1

2

111106

T

0.025

1

s

t

(28)

两个正态总体均值差的区间估计：总体方差未知当不知道

的关系时，

度为区间估计为例子某国家银行进行一项研究，确定两家分行的客户支票账户余额之间的差异计算这两个总体均值之差的95%的置信区间度df=47.8,取整47置信区间(115-78,115+78)分行A分行B样本容量2822样本均值1025910样本标准差150125只有有限个的总体，则样本大小n与N的比例影响区设总体有N个间估计的精度区间估计修正为当n/N>0.05时考虑修正因子

u

/

2

nN

n

sN

1

x

n(N

n)/(N

1)

称为有限总体修正因子理由：当总体

个数为N时（无放回抽样），样本均值的标准差是N

n

N

1课程大纲1.统计推断总体均值的估计总体百分比（数）和两总体百分比（数）差的估计中位数的区间估计单总体参数的假设检验两类错误总体百分比的估计一个二项分布随

量X~B(n,p)，当n充分大(n>30，的分布也可以用正态分布来近似，其中n是样本量，r是n次试验中事件发生的次数总体百分比p的(1-α)×100%近似区间估计为np≥5，n(1-p)≥5)时，可以用正态分布近似rn百分比的估计pˆ

nN

p,

p(1

p)

p

pˆ

/

2npˆ(1

pˆ)u总体百分数的估计总体百分数π=100p近似服从1.

总体百分数π的(1-α)×100%近似区间估计为

nN1

,

(100

)

(100

)

ˆ

u

/

2nP

ˆ

(100

)

1

(100

)nˆ

u

/

2n

u

/

2由此可以解出π的两个近似值2.

用ˆ

代替根号里的π：ˆ(100

ˆ)

ˆ

u

/

2n例1一稽查员某公司财务情况，发现100张

中百分数的90%置信区有12张不正确，求“错”间估计ˆ

12,

n

100,

0.1,u0.05

1.645故区间估计是100

1.645

(6.65,17.35)12(100

12)

12

例2在住房设施中，发现300户中有250户有固定热水

设备，求该地区有固定热水

设备家庭百分数的95%和99%置信区间估计百分数95%置信区间估计是百分数99%置信区间估计是3000.01/

20.05

/

2ˆ

250

100

83.3,

n

300,

u

1.96,

u

2.57683.3316.67

/

300

1.96)

(83.33

4.22)

(79.11,87.55)

(83.33

83.3316.67

/

300

2.576)

(83.33

5.54)

(77.79,88.87)

(83.33

例3，按简单随机抽样的方式抽取某市500户家庭结果有380户拥有电冰箱。求该市居民户电冰箱普及率的95%区间估计该市电冰箱拥有量的95%区间估计（已知该市共有220万户居民）电冰箱普及率p的95%置信区间是5000.05

/

2n

500,

pˆ

380

0.76,

u

1.965001.96

(0.7226,0.7974)

u

/

2

0.76

npˆ(1

pˆ

) 0.76

(1

0.76)

pˆ

拥有量的95%置信区间是(0.7226,0.7974)

2200000

(1589720,1754280)样本量的确定对已知误差，已知置信水平(1-α)×100%，问要多大的n才能达到要求？但是：或用以前相同或类似样本的样本比率代替利用实验性的研究，选取一个初始样本，以该样本的样本比率代替使用判断或“最优猜测”如果上述方法均不适用，取π

=50或p=0.52

值未知

(100

)d

u

n

/

2

(100

)nd

u

/

2例子多少

吸烟率，要求误差不超过5‰，问要人才能达到这一要求（

α=0.05）用π=50代替如果知道π的初步信息可以少做不少先抽取少部分人，对π(p)作一保守估计2

502

(100

)

2不知道π的值：注意到

(100

)

50243.8416

10

即可满足要求（比较保守）

1.96

2取n

0.5

两总体百分比（数）差的区间估计当n1>30,n2>30时，由正态

近定理，π1-π2的(1-α)×100%区间估计近定理，p1-p2的(1-当n1>30,n2>30时，由正态α)×100%区间估计12nnˆ1(100

ˆ1)

ˆ2(100

ˆ2)

1

2

ˆ1

ˆ2

u

/

221nnpˆ1

(1

pˆ1

)pˆ2

(1

pˆ2

)

p1

p2

pˆ1

pˆ2

u

/

2例1对两地区住

有热水

设备的

如下：A地区：n1=300户中234户有热水

设备；B地区：n2=150户中135户有热水

设备求两个地区有热水 设备百分数差的95%置信区间300

1501

2n1

300,

n2

150,u0.05/

2

1.96π

1-π2的95%置信区间是ˆ

234

100

78,ˆ

135

100

90300

1502178

22

90

10

(18.7,5.3)

78

90

1.96

nnˆ1(100

ˆ1)

ˆ2(100

ˆ2)

1

2

ˆ1

ˆ2

u

/

2例2A,B两城市电冰箱抽样的结果是：A城市中500户家庭中有380户拥有电冰箱，B城市中300户家庭中有260户拥有电冰箱，试求A,B两城市电冰箱普及率之差p1-p2的95%区间估计p1-p2的95%置信区间是3002

0.05

/

21

1

2pˆ

0.76,

n

500,

pˆ

260

0.8667,

n

300,

u

1.96500

3001

20.76

0.24

0.8667

0.1333

0.76

0.8667

1.96

(0.1604,0.0530)nnpˆ1

(1

pˆ1

)

pˆ2

(1

pˆ2

)

pˆ1

pˆ2

u

/

2单侧置信区间（置信限）在实际生产和生活中，有一类“单侧置信区间”问题例子：设θ为产品中某种服务中的平均顾客不满意度，通常人们通常希望它不要太高，下限不做要求找到统计量

(X1,X

2

,,Xn

)，使得P(

)

1

称

为θ的一个1-α单侧置信上限同理，满足P(

)

1

的统计量

(X1,X

2

,,Xn)称为θ的一个1-α单侧置信下限求单侧置信限方法正态总体，方差σ2已知时：将分位点α/2改成α，得到置信上限，下限分别为

n

n

x

u

,

x

u正态总体，方差σ2未知时：置信上限，下限分别为

x

s

t

(n

1),

x

s

t

(n

1)n

n例子已知某种灯泡的

服从正态分布N(μ,σ2)，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命（单位：小时）分别为1067,919,1196,785,1126,936,918,1156,920,948试据此求灯泡平均222

1

x

nx的95%置信下限

17304.7667n

1

x

997.1,

s

n

i1

in

10,

0.05,

t

(n

1)

t0.05

(9)

1.833故灯泡平均

的95%置信下限为17304.7667

1.833

920.8510n

x

s

t

(n

1)

997.1课程大纲1.统计推断总体均值的估计总体百分比（数）和两总体百分比（数）差的估计中位数的区间估计单总体参数的假设检验两类错误中位数的区间估计设X1,…,Xn为连续分布总体中抽取的一个样本，如果以T表示比中位数小的样本个数，则T服从二项分布B(n,1/2)由中心极限定理，当n>30时，可用正态分布近似T估计步骤：由数据x1,x2

,,xn

构造次序统计量x(1)

x(2)

x(n)对给定的置信度(1-α)×100%，估计中位数所在区间的上下限在n个数据中的次序：上限值u和下限值l2

2

2

2

/

2

/

2n

u

n

u,

l

n

u

n

中位数(1-α)×100%置信区间定义为(x(l

),x(u

))

2 2

n

n

/

2T

n

/

2

~

N

(0,1)

T

n

u

/

2例子

30个人上周在超市中消费情况（单位：元），数据如下：15，18，20，25，29，33，36，45，60，81，102.5，112，136，157，170，184，210，233，234，240，251，270，281，295，320，335，338，380，412，456，求中位数的置信度为95%的区间估计2

2l

30

30

1.96

9.632

92

2u

30

30

1.96

20.368

21故区间估计是(x(9),x(21)

)(60,251)课程大纲1.统计推断总体均值的估计总体百分比（数）和两总体百分比（数）差的估计中位数的区间估计单总体参数的假设检验两类错误假设检验根据以往的经验（数据）提出一种假设，用数据来检验所提假设是正确的还是错误的例子：1-3参数假设检验，4-5非参数假设检验次品率是否≤6%袋袋食盐是否为500克？3.波动率是否不超过0.04？吸烟与患肺癌是否有关？数据是否从一个正态总体中抽取出来？统计假设设从总体中抽取了一个样本x1,x2,…,xn，μ是否等于某个已知数μ0?μ是否大于某个已知数μ0?μ是否小于某个已知数μ0?这一类提法称为统计假设统计假设是指对一个或多个总体的概率分布或其中的参数所作的假定统计假设例子：由获得一批数据，问它们是否来自正态总体N(μ,σ2)或二项分布总体B(n,p)？如果知道总体是正态分布，但是μ,σ2未知，问μ是否等于某个已知数原假设（零假设）：提出一种想法，希望检验这种想法是否正确。记为H0一般零假设是经过长期检验被认为是正确的，不应轻易被否定对立假设（备择假设），记为H1，是当H0被否定后可以作为备用选择的假设，一般把希望得到的结果放在H1原假设和独立假设在单侧假设检验问题中，把什么放在原假设，什么放在对立假设，很重要根据原假设和对立假设不对等以及保护原假设的原则，可以根据如下两条之一来决定检验中的原假设和对立假设问题：把经过长期检验认为是正确的放在H0希望得到的结果放在H1理由：接受H0是的——没有充分论据否定它，而一旦否定H0接受H1是有充分的对应假设作为研究假设试图搜集

支持研究中的假设：把研究者希望支持的结论放在对立假设中例子：某汽车在城市中行驶时目前的燃油效率是每加仑24英里，某产品研究小组设计了一种新型燃油喷射系统，想通过统计做出结论：新型燃油喷射系统使得每加仑行驶的英里数超过目前使用的系统H0:

μ

=

24

(μ

≤

24

)↔

H1:

μ

>

24在接纳一项新事物时，把研究中的假设作为备选假设例子：认为一种新型教学方法优于目前的方法，那么对立假设是新方法更好原假设作为被怀疑的假定原假设表述了对总体参数值的信念或者假定例子：某种瓶装饮料的

注明，每瓶为67.6盎司。除非有其他理由，

通常假设

上的标注是正确的。但可以对制造商的说明提出质疑从

监督部门角度H0:

μ=

67.6

(μ

≥

67.6

)↔

H1:

μ

<

67.6从制造商的角度H0:

μ

=

67.6

↔

H1:

μ

≠

67.6研究者或决策者的观点不同，原假设和对立假设也随之不同检验问题的提法H0:原假设↔H1:对立假设例如：H0:θ=θ0

↔

H1:

θ

≠

θ0H0:

θ=θ0

↔

H1:

θ>θ0H0:

θ=θ0

↔

H1:

θ<θ0H0:

是均匀的↔H1:不是均匀的等号总是放在原假设中将有利于构建检验统计量的假设作为原假设，这样做才可以顺利进行下一步的统计分析和检验过程正态总体均值的检验：总体方差σ2已知，μ的假设检验时

H0关于μ有三类假设：H0:

μ

=

μ

0

↔

H1:

μ

≠

μ

0H0:

μ

=

μ

0

↔

H1:

μ

>

μ

0H0:

μ

=

μ

0

↔

H1:

μ

<

μ

0对于假设1，当n充分大时，由大数定律，X

与总体均值μ差不多。假设原假设H0成立，则X与μ0也应相差不远X

0规则：对给定的常数d,

d

时接受H0，X

0dd的选择对给定的很小的常数α（称为显著性水平，常设α=0.1,0.05,0.01等），要求在原假设H0成立的条件下，有0若H

成立，则总体X~N(μ02,

σ

)，N:检验统计量PX

d

|

H

0

0n0

2

X

~

N

,~

N

(0,1)N

X

0

/

nP|

N

|d

/n

/

2

/

nd

u取等号使得精度最高，有

d

un

/

2检验规则1.

H0:

μ

=

μ

0

↔

H1:

μ≠

μ

0时接受H0,否则

H0双侧检验2.

H0:

μ

=

μ

0

↔

H1:

μ

>

μ

0时接受H0,否则

H03.

H0:

μ

=

μ

0

↔

H1:

μ

<

μ

0单侧检验

/

2当

/

n

ux

0

u

/

n当x

000

u

时接受H

,否则

H

/

nx

0当检验规则在2，3中把原假设H0:μ

=μ

0

分别换成H0:μ≤μ

0

和H0:μ≥μ

0

后，临界值d不变在原假设是H0:μ≥μ0

时，用等号进行检验，当拒绝H0:μ

=μ

0

，接受H1:μ

<μ

0时，不可能选择接受H0:μ≥μ

0

：相对于H0:μ

>μ

0来说，H0:μ

=μ

0

，是最接近H1:μ

<μ

0的原假设对立假设颠倒检验1：H0:μ≤μ

0

↔H1:μ

>μ

0检验2：H0:μ≥μ

0

↔H1:μ

<μ

0从侧面说明：接受一个原假设的风险是明显的检验1结论检验2结论结论一致性x

u

0

nμ

<

μ

0μ

<

μ

0一致

u

x

u

0

0

n

nμ

≤

μ

0μ

≥

μ

0基本相反x

u

0

nμ

>

μ

0μ

>

μ

0一致例1本题中原假设H0某商店经理认为顾客每周花在面包上的费用为1.5元，随机

80人，计算得

x

1.40

元，已知σ=0.15(元)。问在α=0.05显著性水平上，商店经理的观点是否正确？（设消费额服从正态分布）构造原假设和对立假设：H0:μ

=1.50↔H1:μ≠1.50

/

2

/

n

5.9628

1.96

ux

00

1.5,

x

1.4,

0.15,

n

80,

0.05,u

/

2

1.96例1（续）若取α=0.01，则接受原假设H0接受H0是因为样本大小n太小，没有足够的 说明H0不对有的书上此时不说“接受H0”，而是说“无法

H0”u0.01/

2

2.5760.01/

2|1.4

1.5

|

5.9628

2.576

u0.15

/

80原假设H0若n=10,

α=0.01,则0.01/

2|1.4

1.5

|

2.108

2.576

u0.15

/

10例2一家

的质量管理部门规定，某种包装食品每包净重不得少于50千克。经验表明，重量服从标准差为3千克的正态分布。假定从一个由20包食品构成的随机样本中得到的食品平均重量是48千克，问有无充分说明这些包装食品的平均重量减少了？（

α=0.05）构造原假设和对立假设为H0:μ≥50

↔H1:μ

<50时接受H0

，否则

H0原假设

u

/

n当x

00.0548

50

2.98

1.645

u3

/

200

50,

x

48,

3,

n

20,

0.05,u

u0.05

1.645例3无法原假设

/

2

/

n

5

/

35

14.3

15.2

1.065

1.96

ux

0历史数据表明，某城市每个晚间长途

的平均通话时间是15.2分钟，现随机 了35个晚间长途的通话时间，样本均值是14.3分钟，若该城市晚间长途的通话时间服从正态分布N(μ,25)，试根据样本数据判断，该城市的晚间长途

的平均通话时间是否发生了明显的变化？（

α=0.05）构造原假设和对立假设：H0:μ

=15.2

↔H1:μ≠15.20

15.2,

x

14.3,

5,

n

35,

0.05,u

/

2

1.96正态总体均值的检验：总体方差σ2未知，μ的假设检验的分布是

度为n-1的t分布三类假设的检验如下1.

H0:

μ

=

μ

0

↔

H1:

μ

≠

μ

02.

H0:

μ

≥

μ

0

↔

H1:

μ

<

μ

0检验：当H03.

H0:

μ

≤

μ

0

↔

H1:

μ

>

μ

0检验：当0时接受H

，否则

H0nS

/X

0检验统计量

ts

/

n

/

2检验：当

x

0

(n

1)

时接受H0

，否则

H0s

/

nx

0

t

(n

1)时接受H0

，否则0

t

(n

1)s

/

nx

例1某汽车轮胎厂声称该厂生产的汽车轮胎平均行驶的里程大于

26000公里。现对一个由25个轮胎组成的随机样本做试验，得到的平均值是28000公里，标准差是4500公里，假定轮胎的行驶里程数服从正态分布，选择α=0.05的显著性水平，你能否从这些数据中得出结论：该厂的产品同该厂所说的标准相符合？构造原假设和对立假设为：H0:μ≤26000

↔H1:μ>26000

t

(n

1)

时接受H0,否则

H0当x

0s

/

n0

26000,

x

28000,

s

4500,

n

25,

0.05,

t

(n

1)

1.7108828000

26000

2.222

1.710884500

/

25原假设H0例2有人估计，平均而言，一个有丈夫和

的家庭主妇每周做家务的时间不会超过55小时，现随机抽取8名这样的家庭主妇，了解到其一周做家务的时间分别为58，52，64，63，59，62，62，55（单位：小时）。设每人做家务的时间服从正态分布，试据此考察前述的估计是否合理(α=0.05)构造原假设和对立假设为：H0:μ≤55

↔H1:μ>55

t

(n

1)时接受H0,否则

H0s

/

n当x

059.375

55

2.9416

1.8954.2067

/

8原假设H02

201

n

1

s

nn

i1

ix

nx

4.2067,

0.05,

t

(n

1)

1.895

55,

n

8,

x

1

x

59.375,

s

4500,总体分布未知或

从正态分布由中心极限定理，当n>30时，X

近似服从

N

,

2

n

进而S

/

n近似服从N(0,1)X

检验规则1.

H0:

μ

=

μ

0

↔

H1:

μ≠

μ

0时接受H0,否则

H0双侧检验2.

H0:

μ

=

μ

0

↔

H1:

μ

>

μ

0时接受H0,否则

H03.

H0:

μ

=

μ

0

↔

H1:

μ

<

μ

0单侧检验

/

2当

s

/

n

ux

0s

/

n当x

0

u

时接受H0,否则

H0当

s

/

nx

0

u例3当时接受H0，否则

H0

从一批灯泡中随机抽取50只分别检测其，算得样本均值x

1990小时，样本标准差s=30.5小时，试分别在α=0.01和0.05的水平下，检验这批灯泡的平均是否为2000小时构造原假设和对立假设为：H0:μ

=2000↔H1:μ≠20000

/

2

u|

x

|30.5

/

500.01/

2s

/

n1990

20002.3184

u0.05

/

2

1.96显著性水平选取的不同带来检验结果的不同

2.3184

u

2.576例4时接受H0，否则

H0H0，电池平均

增加了电池商称电池平均

299小时，后改进充电技术，厂商认为平均 增加了。取200节电池检测得x

300

小时，s=8小时，问在α=0.05下厂商说法是否正确？构造原假设和对立假设为：H0:μ

=299↔H1:μ

>299

us

/

n当x

08

/

200计算得

300

299

1.768

u

1.6450.05例5在95%置信水平下 原假设，在99%置信水平下接受原假设产品说明书称 绳平均折断强度不小于15kg/cm2。随机抽50根检查得x

14.85kg/cm2，s=0.5kg/cm2，在α=0.05和0.01水平下分别检验产品是否与说明书相同？构造原假设和对立假设：H0:μ≥15↔H1:μ

<15

us

/

n计算得当

x

0

接受H0，否则

H00.05

1.6450.5

/

50

2.121

u0.01

2.3314.85

15

2.121

u总体百分比（数）的检验设所关心的事件发生的概率是p(π=100p是百分数)，检验它是否等于给定的百分比p0(π0)从总体中抽取n个样本，所关心的事件发生了r次，记pˆ

r

/

n(ˆ

100

pˆ

)双侧检验问题为：H0:π

=π

0

↔H1:π≠π

0nˆ由中心极限定理，近似服从正态分布

N

,

(100

)

若π

=π

0

，则ˆ

与π

0相差不多总体百分比（数）的检验规则时接受H0时

H0检验规则：ˆ

0H0

d

时接受H0，ˆ

0

d

时d

|

H0

)

显著性水平α下，要求P(ˆ

0

/

2n0

(100

0

)u得d

0

/

2n0

(100

0)u故

ˆ

0

/

2n0

(100

0

)uˆ

总体百分比p的三类假设及其检验公式三类假设的检验如下1.

H0:

p

≤

p

0

↔

H1:

p

>

p

02.

H0:

p

≥

p

0

↔

H1:

p

<

p

0检验：当

时接受H0

，否则

H03.

H0:

p

=

p

0

↔

H1:

p

≠

p

0检验：当0时接受H

，否则

H0

u

时接受H0

，否则

H0检验：当p0

(1

p0

)

/

npˆ

p0

up0

(1

p0

)

/

n