答案导数小题-应用函数零点和极值点求参

导数小题---应用函数零点和极值点求参答案1．已知在R上有两个零点，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】通过讨论a的符号得函数的单调性,从而结合函数零点的判定定理确定实数a的取值范围.【详解】①当时,易知函数是增函数,故函数不可能有两个零点;

②当时,令得,;故在上是增函数,在上是减函数,且，，

故若函数有两个零点,则,即,解得，此时，故a的取值范围是;

故选：D.【点睛】本题考查了导数的应用及函数的单调性的判断与应用,同时考查了函数零点的判定定理的应用,属于中档题.2．函数在上有三个零点，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】函数在上有三个零点，转化为函数与由三个交点，先判断，可得当时，两图象必有一个交点，只需的图象在轴右边由两个交点，利用导数研究函数的单调性与最值，结合图象可得结果.【详解】当时，函数恒成立，不合题意，所以，作函数与的图象如图，由图象可知，当时，两图象必有一个交点，故当时，两图象有两个交点，则有两个正根，即有两个正根，的图象在轴右边由两个交点，记，在上递减，在递增，故，故时，两图象有两个交点；故若函数有三个不同零点，则，的取值范围是，故选D.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.3．已知函数若恰有4个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由零点定义可知恰有4个不同交点，画出函数的图像；利用导数求得直线与相切时的斜率，再将直线绕原点旋转，即可判断出有4个交点时的斜率取值范围.【详解】根据零点定义可知，即恰有4个不同交点，画出函数的图像如下图所示：当时，，则，设与相切于，由导数几何意义及切点在上，则满足解得，将直线绕原点旋转，当恰有4个交点时满足，即的取值范围为，故选：A【点睛】本题考查了函数零点与方程根的关系，利用导数的几何意义求得相切的斜率，利用数形结合法求参数的取值范围，综合性强，属于难题.4．（题文）已知函数无零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：若，则，由图象得函数没有零点，符合题意.若，对函数求导得，此时当时，在上为增函数，当取一个非常小的负数时显然函数值小于，当取大于的数时显然函数值为正，这样的话此单调函数在上有且只有一个零点；当时，当时，，当时，，这样函数在上的最小值为，若使函数无零点，应使，解得.综上，可得.故应选D.考点：通过导数研究函数图象进而判断函数的零点问题.5．已知函数有两个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：，当时，，函数单调递增，至多有一个零点，不符合题意.当时，令，故函数在上单调递增，在上单调递减，需要最大值大于零，即，.故选C.考点：函数导数与零点问题.【思路点晴】这是一个典型的根据导数判断函数的单调区间，数形结合，用图象来判断零点个数的题目.具体的方法是这样，先求出定义域，然后求导、通分，观察导函数的分母，，这是一个一次函数，结合，那么就要对进行分类讨论，其中当时，，函数单调递增，至多有一个零点，不符合题意.当，利用导数判断函数图像先增后减有极大值也即是最大值，所以最大值要大于零，由此求得结果.6．函数有三个零点，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】问题转化为求与的交点问题，结合函数的图像求出的取值范围【详解】函数有三个零点，方程有三个根也就是与的图像有三个不同的交点由可得：，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增有极小值为在上是单调增函数，其图像如图所示而直线过定点，且函数在处的切线的斜率为：，则要使与的图像有三个不同的交点，实数的取值范围是故选【点睛】本题主要考查的是函数的图像及函数零点的判定定理，考查了学生的转化能力和数形结合思想，计算能力，综合性较强，有一定难度。7．已知函数存在零点,则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】函数的零点就是方程的根，根据存在零点与方程根的关系，转化为两个函数交点问题，数形结合得到不等式，解得即可．【详解】函数存在零点，等价于方程有解，即有解，令，则，方程等价于与有交点，函数恒过定点（0,0），当时，与图象恒有交点，排除A，B，C选项；又当时，恰好满足时，，此时与图象恒有交点，符合题意；故选：D.【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，此类问题通常将零点问题转化成函数交点问题，利用数形结合思想、分类讨论思想，求参数的范围，属于较难题.8．若函数存在负数零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，当时，方程不成立，即时，，设，则，在上递增，在上递减，且时，，，由图可知函数存在负数零点，则的取值范围是，故选D.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及函数零点问题，属于难题.已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．9．已知函数有四个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用特值法，进行选项排除【详解】当a=0时：，令f(x)=0,此时只有两个解，故排除D当a=-1时：令f(x)=0,结合函数图像不难发现，在x>0时，函数没有零点；在x<0时，只有一个零点；所在a=-1时，共有一个零点，故排除：B,C故选：A【点睛】考查函数与方程的关系，根据函数零点的个数求参数的值10．已知函数，若函数有四个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨设，的图像如图所示，则，，其中，，故，也就是，则，因，故，选B.点睛：函数有四个不同零点可以转化为的图像与动直线有四个不同的交点，注意函数的图像有局部对称性，而且还是倒数关系.11．若函数存在零点，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】试题分析：本题可转化为两函数存在交点，因为此两个函数互为反函数，图象关系对称，本题又可转化为与存在共公点，当与有一个公共点时，满足，，，，，；当与有两个公共点时满足，故的取值范围为，所以选A.考点：函数与方程；导数的几何意义.【易错点睛】已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法和思路：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．本题难点还在于如何应用反函数.本题难度较大.12．已知函数有4个零点，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由题意可知，函数为偶函数，则时函数有2个零点，即方程有2个根，即与有2个交点.在同一坐标系内画出函数与直线：，由图象可知直线夹在切线与直线之间时，有2个交点，分别求解与的斜率，即可.【详解】函数的定义域为关于原点对称，函数为偶函数函数有4个零点时函数有2个零点，则方程有2个根.即与有2个交点.由题意可知直线为曲线的切线，且经过点.设切点坐标，则，则切线的方程为即，则又直线平行于轴，则由图可知，，即故选：C【点睛】本题考查了函数的零点个数问题，同时也考查利用导数的几何意义求切线斜率，属于一道较难的题.13．已知函数有三个零点，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】令，得，记,对求导，可得时，在单调递增，在单调递减，有最大值0.当时，，在单调递减，可得a的取值范围.【详解】解：令，得，记.当时，，，故在单调递增，在单调递减，有最大值0.当时，，在单调递减.所以.故选：A.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性与零点问题，体现了数形结合和分类讨论的思想方法，属于中档题.14．已知，又有四个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由题意首先将函数写成分段函数的形式研究函数的性质，然后结合二次函数的性质研究复合函数的性质即可确定实数的取值范围.【详解】，当x⩾0时,恒成立,所以f(x)在[0,+∞)上为增函数；当x<0时,，由f′(x)=0,得x=−1,当x∈(−∞,−1)时,f′(x)=−ex(x+1)>0,f(x)为增函数，当x∈(−1,0)时,f′(x)=−ex(x+1)<0,f(x)为减函数，所以函数f(x)=|xex|在(−∞,0)上有一个最大值为，则函数的大致图象如图所示：令f(x)=m,要使方程f2(x)−tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根，则方程m2-tm+1=0应有两个不等根,且一个根在内,一个根在内.再令h(m)=m2−m+1,因为h(0)=1>0,则只需,即，解得.故选A.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的零点等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】当x⩾1时,f(x)=lnx⩾0，∴f(x)+1⩾1，∴f[f(x)+1]=ln(f(x)+1)，当x<1,f(x)=1−>,f(x)+1>，f[f(x)+1]=ln(f(x)+1)，综上可知：F[f(x)+1]=ln(f(x)+1)+m=0，则f(x)+1=e−m,f(x)=e−m−1,有两个根,(不妨设<)，当x⩾1是,ln=e−m−1,当x<1时,1−=e−m−1，令t=e−m−1>,则ln=t,=et,1−=t,=2−2t，∴=et(2−2t),t>，设g(t)=et(2−2t),t>，求导g′(t)=−2tet，t∈(,+∞),g′(t)<0,函数g(t)单调递减，∴g(t)<g()，∴g(x)的值域为(−∞,)，∴取值范围为(−∞,)，故选D.点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.16．设函数，若函数存在两个零点，(<)，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】画出的图像，根据有两个零点，求得的取值范围.用表示，代入所求表达式，由此构造函数，利用的导数求得其单调区间，由此求得其取值范围.【详解】画出的图像如下图所示，令，得，即和有两个不同的交点.根据图像可知.由得，所以，构造函数.由于，，所以时递增，因为，所以在时递增，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查函数零点问题的求解策略，考查指数式和对数式运算，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.17．已知函数，若有两个零点，，则的取值范围是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】作出f（x）的图象，设，由题意可得有两个不等实根x1，x2，即为a=x1+1=lnx2，可得为a的函数，求得导数和单调性，可得极小值和最大值，结合图象可得所求范围．【详解】设，即的两个零点为，，由题作出f（x）图象，可知，令，，所以，令，，所以有单调递减，在上单调递增，，由知，，所以．故选：D.【点睛】本题考查分段函数的应用，解题关键是运用数形结合与转化思想，将问题转化为新的函数求极值与最值问题，考查综合分析及转化思想方法，属于较难题.二、填空题18．已知函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】变形，令，的零点个数等价于直线与函数且的图象的交点个数，利用导数研究函数且的单调性，画出函数图象，利用数形结合可得结果.【详解】由，得，令，则，当时，不是函数的零点：当时，令,分离参数，的零点个数等价于直线与函数且的图象的交点个数，，时，，在上递减；时，，在上递增；极小值，画出的图象如图所示：因为直线与函数且的图象的交点个数为1,由图可知，实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题主要考查函数的零点以及利用导数研究函数的单调性，属于难题.函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.19．已知函数，若关于的方程恰有四个不同的解，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】设，判断为偶函数，考虑x>0时，的解析式和零点个数,利用导数分析函数的单调性,作函数大致图象，即可得到的范围.【详解】设，则在是偶函数，当时，，由得，记，，，故函数在增，而，所以在减，在增，，当时，，当时，，因此的图象为因此实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数的零点的个数问题，涉及构造函数，函数的奇偶性，利用导数研究函数单调性，考查了数形结合思想方法，以及化简运算能力和推理能力，属于难题.20．函数若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】作出函数与函数的图象，如图所示：由题意,直线过(1,0)时,，x>1时,，直线与y=lnx相切时,设切点坐标为(a,lna),则切线方程为,即，令,则,∴，∴函数若方程恰有四个不相等的实数根，实数的取值范围是.点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.21．若函数恰有3个不同的零点，则a的取值范围是____.【答案】【解析】【分析】去绝对值，分、与进行讨论，对进行化简，同时对求导，结合函数有3个不同的零点，可得a的取值范围.【详解】解：（1）当时，，因为递减，，时，，所以在有1个零点；当时，，因为，①，即时，在上递减，所以，即在没有零点；②，即时，在上递增，在上递减，因为，，所以时，在没有零点；时，在有1个零点；时，在有2个不同的零点.（2）当时，，当时，在上没有零点；当时，在有1个零点；时，在有2个不同的零点.综上，当或时恰有三个不同的零点.【点睛】本题主要考查函数的零点与利用导数判断函数的单调性与零点，属于难题.22．已知函数，，若，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】设得到，的关系，利用消元法转化为关于的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．【详解】设，则．令，则，∴在上单调递增，且，∴当时，单调递减；当时，单调递增．∴．故的最小值为．故答案为.【点睛】本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解