同角三角函数的基本关系

同角三角函数的基本关系预习学案[学习目标]1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．[知识链接]1．任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的？3．如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？[预习导引]1．任意角的三角函数的定义如图所示，以任意角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系．设P(x，y)是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点．其中，则sinα＝cosα＝tanα＝2．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系(2)商数关系：3．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝；cos2α＝.(2)tanα＝eq\f(sinα,cosα)的变形公式：sinα＝；cosα＝要点一利用同角基本关系式求值例1已知cosα＝－eq\f(8,17)，求sinα，tanα的值．规律方法已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin2α＋cos2α”．本题没有指出α是第几象限的角，则必须由cosα的值推断出α所在的象限，再分类求解．跟踪演练1已知tanα＝eq\f(4,3)，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．要点二三角函数代数式的化简例2化简下列各式：(1)eq\f(\r(1－2sin10°cos10°),sin10°－\r(1－sin210°))；(2)eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))＋eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))，其中sinα·tanα<0.规律方法解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(4)关于sinα，cosα的齐次式的求值方法①sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子，分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，如eq\f(sinα－cosα,2sinα＋cosα)可化为eq\f(tanα－1,2tanα＋1)，再代入求值．②若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，如3sin2α－2cos2α可写成eq\f(3sin2α－2cos2α,sin2α＋cos2α)，进一步化为eq\f(3tan2α－2,tan2α＋1)，再代入求值．跟踪演练2已知tanα＝3，则(1)eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)＝；(2)sin2α－3sinαcosα＋1＝.要点三三角函数恒等式的证明例3求证：eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanαsinα).规律方法(1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异，有目的的化简．(2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．(3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．跟踪演练3已知2cos4θ＋5cos2θ－7＝asin4θ＋bsin2θ＋c是恒等式．求a、b、c的值．当堂检测：1．化简eq\r(1－2sin40°cos40°)＝.2．已知α是第三象限角，sinα＝－eq\f(1,3)，则tanα＝.3．若α是第三象限角，化简eq\r(\f(1＋cosα,1－cosα))＋eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα)).1.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，eq\f(sin8α,cos8α)＝tan8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在象限来决定的，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在三角函数的变换求值中，已知sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：①“1”的代换；②减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；③多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；④对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解．一、基础达标1．已知α是第二象限角，sinα＝eq\f(5,13)，则cosα等于()A．－eq\f(12,13) B．－eq\f(5,13)\f(5,13) \f(12,13)2．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，则sin4α－cos4α的值为()A．－eq\f(1,5)B．－eq\f(3,5)\f(1,5)\f(3,5)3．已知eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝2，则sinθcosθ的值是()\f(3,4)B．±eq\f(3,10)\f(3,10)D．－eq\f(3,10)4．若sinα＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α等于()A．0B．1C．2D．35．化简：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝.6．已知α∈R，sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，则tanα＝.7．(1)化简eq\r(1－sin2100°)；(2)用tanα表示eq\f(sinα＋cosα,2sinα－cosα)，sin2α＋sinαcosα＋3cos2α.二、能力提升8．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于()A．－eq\f(4,3)\f(5,4)C．－eq\f(3,4)\f(4,5)9．已知sinα－cosα＝－eq\f(\r(5),2)，则tanα＋eq\f(1,tanα)的值为()A．－4B．4C．－8D．810．已知直线l的倾斜角是θ，且sinθ＝eq\f(5,13)，则直线l的斜率k＝.11．已知eq\f(4sinθ－2cosθ,3sinθ＋5cosθ)＝eq\f(6,11)，求下列各式的值．(1)eq\f(5cos2θ,sin2θ＋2sinθcosθ－