工程水文学课件5

第七章

水文统计教学目标水文统计的应用频率与重现期的关系两种不同的统计概念随机变量的统计参数自然现象必然现象：在一定条件下必然出现偶然现象：随机现象第一节概率的基本概念一、水文学研究方法1．成因分析（对必然现象的研究方法）

成因—→规律—→结果2．地理综合法（地理分析法）3．数理统计法（对随机现象的研究方法）

样本—→规律—→总体—→结果

水文统计:由于水文现象具有一定的随机性，且这种随机性规律需要大量资料统计出来，因此，用数理统计方法来分析研究水文现象并揭示水文规律。总体：某随机变量所有取值的全体。样本：从总体中任意抽取的一个部分。样本容量：水文统计的应用1．由样本资料—→总体—→水文特征值（）2．由相关关系—→插补延长，由短系列—→长系列，提高其代表性3．用误差理论，估计误差范围估算第二节概率的基本概念一、事件对随机现象的观测叫随机实验，随机实验的结果称为事件。必然事件：不可能事件：随机事件：二、概率在同等可能的条件下，随机事件在实验结果中可能出现的大小，用一个数量标准来衡量，这个数量标准就是概率。P（A）——概率；K——出现随机事件A的结果数；N——实验中所有可能出现的结果数。频率随机事件A在重复次实验n中出现了m次，P(A)称事件A在n次实验中出现的频率。概率——度量随机事件出现可能性大小的数量标准，对总体而言；频率——对样本而言；当n—→N时，频率—→概率三、概率与频率的关系四、频率率与重现现期的关关系频率：抽抽象，水水文上常常用重现现期重现期（（T）——随机事件件平均的的重现间间隔时间间，水文文上称多多少年一一遇。1．研究暴暴雨洪水水（防洪洪、稀遇遇洪水））P<50%，则（（年））P——设计频率率，或设设计标准准三峡：P=0.1%，P=0.01%，P>50%，则例如P=80%，5（年）例如：二二十年一一遇的设设计洪水水，枯水水年P=1－0.05=95%2．研究枯水水（兴利））（灌溉、、发电、供供水等）第三节随随机变变量及其分分布一、随机变变量随机变量：：随机实验验中测量到到的数量。水文上：水水位，流量量、年径流流等。二、随机变变量的概率率分布随机变量的的取值与其概率之间对应关关系。工程程数数学学（（概概率率数数理理统统计计））水文文统统计计1．分分布布函函数数不不同同小于于制制（（不不及及制制））大于于制制（（超超过过制制））两者者之之间间的的关关系系：：对于于连连续续型型随随机机变变量量g(x)————密度度函函数数f(x)————密度度函函数数F（x）的性性质质：：①非增增函函数数；；②；；③③*水水文文上上关关心心的的是是从从防防洪洪角角度度，，关关心心的的是是超超过过某某一一个个洪洪水水流流量量，，这样样主主要要是是从从保保证证安安全全的的角角度度。。补充充、、两两种种不不同同的的统统计计概概念念2．概概率率密密度度曲曲线线和和分分布布曲曲线线画画法法不不同同3、曲曲线线名名字字叫叫法法不不同同三、、随随机机变变量量的的统统计计参参数数统计计参参数数：能能说说明明随随机机变变量量的的统统计计规规律律的的某某些些数字特征称为随机变量量的统计参数数。水文计算中常常用的样本统计参数：均值、均方差差、变差系数数、偏态系数数。一、均值1．均值：算术术平均数样本系列：物理意义：①表示系列的平平均情况例如：葛洲坝坝：=4530亿m3丹江：=379亿m3②水文系列的均均值常绘制成成等值线图，，以反映水文文现象的地区变化规律律。例如我国年降降水量均值等等值线图分布布：沿海比内内陆大、山区区比平原大、、南方比北方方大。2．方差与均方方差均值能表示系系列中各变量量的平均情况况，但不能反反映系列各变变量值在均值两侧的离散程度：例如：甲105090=50乙495051=50以均值为中心心考察—称为紊均差方差：均方差（标准准差）：=32.6，=0.8>>，甲紊散散程度大、乙乙小的物理意义：：系列离散程程度大小；三、变差系数数（离差系数数、离势系数数）对于两个均值值相同的系列列，均方差应应能很好的用用来比较它的的紊散程度的的大小，但如如果两个系系列的均值不不同，无法比比较例如：甲51015=10=4.08乙99510001005=1000=4.08引入变差系数数：CV的物理意义，，表示对均值值的相对离散散程度的大小小——模拟系数不同地区的CV《水文手册》绘有与地理因因素有关的水水文变量等值值线图，我国国年降雨量的的CV值变化特点：南方小，北方方大；沿海小，内陆陆大；平原小，山区区大不同CV对水文现象的的影响（1）对径流来讲讲，CV大，说明来水水不均匀，变化剧烈，，如若在这样样的河流上修修建水库，就就需要较大的的水库调节，，所以CV对水利工程的的设计规模有有很大的影响响。（2）同一河流，，上—→下游，CV上>CV中>CV下，上游河窄、、控制流域面面积小，调节节能力差，暴暴涨暴落，中中下游、河流流面积大，调调节能力强。。四、偏态系数数（偏差系数数）——反映系列水平平的高低CV——反映系列离散散程度的大小小系列的偏度，，即系列对于于均值来说，，对称还是不不对称，大于于均值的数出出现的多些还还是小于均值值的数出现的的多些（用CS）。CS=0，对称；CS>0，正偏；CS<0，互偏正态分布函数数水文上常用的的几种理论频频率曲线（一）正态分分布Z——连续性，随机机变量Z的密度函数为为参数：——均值，σ——均方差（或标标准差）第四节水水文频率曲曲线线型正态分布曲线线性质性质：1．单峰，当时时，2．f(x)以直线对对称3．当时时，f(x)以x轴为渐近误差估计：频率格纸横坐坐标的分划（二）皮尔逊逊Ⅲ型分布P－Ⅲ型英生物学家皮皮尔逊，物理理学、生物学学及经济学上上的有些随机机变量不具正正态分布，选选了13种曲线形式，，第Ⅲ型曲线引入水水文（父～子子的力学关系系）1．P－Ⅲ型的特点密度函数α、β、a0——三个系数，若若确定，f(x)即可确定（1）f(x)单峰；；（2）近似似于铃铃形曲曲线；；（3）正偏偏CS>0（偏态系系数））；（4）一端端有限限，一一端无无限。。2．α、β、a0与、、CV（离势势系系数数））、、CS（偏态态系系数数））之之间间的的关关系系水文文上上应应用用P－Ⅲ型的的原原因因（1）只只有有三三个个参参数数，，简简单单α、β、a。；；（2）与水水文文要要素素的的分分布布相相接接近近；；（3）计计算算有有表表可可查查。。水文文上上关关键键问问题题：：1.知道道频频率率曲曲线线2.推求求指指定定频频率率P的xp值对于于一一个个具具体体的的样样本本系系列列，，、、CV、CS一定定已已知知—→α、β、a。———→xp—→(xpi，pi)——→理论论频频率率曲曲线线实-福斯斯特特和和雷雷布布高高制制成成了了取标准化化变化：：，，紊紊均系数数指定频率率的xp，则则：；；则则式中的乘乘积函数数只含一一个参数数CS了，因而而只要给给定CS就可以算算出和P的对应关关系。的的对应应表已给给出指定频率率P例：P59800mm，CV=0.5，CS=1.0求千年一一遇（P=0.1%）的年雨量量值。查P298CS→1，得=4.53=2612mm例，宜昌昌多年平平均降雨雨量1000mmCV=0.5，CS=2CV=1.0求百年一一遇（P=1%）的年设计计雨量解：由CS、P查P298得=3.02=2510mm注：令，，则Kp——称为模比比系数，，也有表表可查，，CS，p—→Kp。思路：总总体———→→无数个样样本样本（有有限的））———→→总体（无无限的））样本参数数——→总体参数数样本参数数——→总体参数数——估计值（（样本参参数）——被估计值值（总体体参数）），则称为为的无偏估估计值，，否则称称为有偏偏估计值值。第五节频频率率曲线参参数估计计随机抽样样趋进/逼近推估推估有偏无偏（））——→是无偏估估计值、CV、CS有偏估计计值对于有偏偏估计值值，需进进行修正正*注意：：用不偏估估计值算算出的参参数，仍仍然不等等于总体体的参数数，而只只是极多多个同容容量样本本的这种种不偏估估值的平平均值才才正好等等于总体体的相应应参数。。用样本参参数——总体参数数，存在在误差，，称抽样样误差，，误差是由由总体中中随机抽取取的样本。。的均方误误CV的均方误误CS的均方误误抽样误差差的大小小，随样样本容量量（项数数n）、CV、CS的大小而而变，样样本容量量越大，，对总体体的代表表性越好好，其抽抽样误差差越小。。（四）抽抽样误差差代替注意：1.、CV值均方误误相对较较小例如：n=25年，CV=0.1～1.0之间、CV均方误均均在20%之内2.CS值均方误误差较大大例如，当当n=25年，85～252%之间当n=100年，42～126%之间第六节水文频率率计算适适线法一、经验验频率曲曲线由水文样样本资料料，由大大—→小排列（（超过制制概率））如x1，x2，…，xnp1，p2，…，pn(x1,p1)……(xi,pi)1．经验频频率公式式P——的经验频频率m——变量xi按从大—→小排列的的序号n——观测资料料的总项项数数学期望望公式（（均值））公式另外，切切哥达也也夫（中中线）公公式海森公式式：把总体分分成n+1组，并选选取各组组的下限限值作为为组值，，组内的的全部变变数都大大于等于于组值，，符合超超过值频频率的定定义，样样本与总总体的项项数至少少相差一一组。①当m=n时，p=100%，即样本的的末项就就是总体体的最小小值，不不合理。。②总体无无法得到到，再长长也是个个样本。。注：1．xi由大→小排列，，x≥xi，排列序号号表示大大小次序序，同时时表明x≥xi的累积次次数。2．用数学学期望公公式计算算x≥xi的经验频频率：3．点绘（（xi，Pi），绘出经验验频率曲曲线4．推求设设计值：：P→xp注意：优点：经经验频率率曲线计计算工作作量小，，绘制简简单，查查用方便便。缺点：1.由于资料料有限，，难以满满足设计计要求；；2.外延任意意性大。。为避免外外延的任任意性，，借助数数学方程程表示的的频率曲曲线，称称为理论频率曲曲线，3.无法地区综合合。经验频率曲线线绘制步骤：1.选样本系列x1，x2，…，xn2．点绘绘经经验验频频率率点点（（xi，pi），，由大大———→小排排列列，，计计算算经经验验频频率率，，，，点点绘绘在在频频率率格格纸纸上上。。频率率格格纸纸：：纵纵标标：：变变量量、、均均匀匀分分格格；；横横标标：：频频率率，，中中间间密密、、两两端端稀稀；正态态分分布布曲曲线线是是一一条条直直线线。。思路路：：适适线线法法———→配线线法法以样样本本系系列列———→经验验频频率率点点（（xi，pi）为基基础础———→理论论频频曲曲线线———→估计计总总体体的的统统计计参参数数———→确定定总总体体的的统统计计规规律律———→确定定设设计计值值第六六节节水文文频频率率计计算算适适线线法法一、、现现行行水水文文频频率率计计算算方方法法———适线线法法选配配拟合合好好P二、、目目估估适适线线法法假定定CS，根据据水水文文计计算算的的经经验验年径径流流CS=（2～3）CV暴雨雨洪洪水水CS=（2.5～4）CV4．选定定线线型型我我国国P－Ⅲ型5．计计算算xp结合合例例题题计计P63，例4-2讲，，点点绘绘（（xp，p），，连成成曲曲线线（（目目估估））3．计计算算样样本本统统计计参参数数、、CV、CS计算算（当当n>100时计计算算，，一一般般假假定定））①.审查查资资料料（（样样本本））由由大大———→小排排列列②．．计计算算经经验验频频率率③．．绘绘点点连连线线④．．计计算算、、CV⑤．假定CS年径流CS=（2～3）CV；暴雨洪水水CS=（2.5～4）CV⑥．由P、CS查P－Ⅲ线表表，，计算，，点点绘（xp，p），画理论频频率曲线线。⑦．若若经验频频率点与与理论频频率曲线线拟合较较好即为为所求，，其相应应参数即为选用用理论频频率曲线线参数（（总体））。⑧．若配合合不好，，调整参参数，一一般CS→CV——→6．配线步骤：必要时如，，，↑，频率曲线线位置抬抬高，且且变陡。。注意：①由tc接近P=100%处出现负负值，由由于水文文现象不不可能是是负值，，故适线线时应使使CS≥2CV；②由样本算算出的统统计参数数、、CV值为理论论频率曲曲线的动动估参数数。1．CV、CS固定，改改变频频率曲线线的高低低位置3．、、CV固定CS变大，使使频率曲曲线上端端变陡，，中间曲曲率变大大，下端端趋于水水平，CS2>CS1。（五）、、CV、CS对频率曲曲线的影影响2．、、CS固定CV变大，使使频率曲曲线顺时时针旋转转，CV2>CV1。1．离差平平方和最最小准则则（OLS）；2．离差绝对对值和最最小准则则（ABS）；3．相对离差差平方和和最小准准则。1.若难以头头尾都配配合好，，可有所所侧重；；2．暴雨洪洪水可重重点考虑虑中、上上部；3．研究年年径流时时，可重重点考虑虑下部和和中部。。注意：三、优化化适线法法频率分析析：分析析一个随随机变量量的变化化规律；；相关分析析：两个个或两个个以上随随机变量量之间的的关系。。第七节相关分析析1．相关分分析的任任务（内内容）（1）判断两两变量或或两个以以上变量量相关的的密切程程度；（2）确定相相关关系系的数学学形式（（相应方方程或回回归方程程式）；；（3）插补延延长倚变变量；（4）误差分分析。一、问题题的提出出完全相关关：函数数关系，，零相关：：没有关关系统计相关关（相关关关系，，近似关关系）：：介于完完全相关关与零相相关之间间，某种变化化关系或或某种明明显的变变化趋势势。2．研究相相关的目目的插补延长3．相关分分类①根据密切切程度直线相关关曲线相关关简相关关（一一个自自变量量，一一个倚倚变量量）复相关关（多多个自自变量量）正相关关负相关关②以自变变量的的多寡寡分③以相关关线型型分④以两变变量的的变化化步调调分二、简简单直直线相相关（（简相相关））x、y同期（（同步步）观观测资资料，，点绘绘在图图上，，根据据相关关点的的分布布趋势势，绘绘出相相关线线，使使相关关点均均匀分分布在在相关关线的的两旁旁。（一））相关关图解解法优点：：简单单，避避免大大量数数字计计算缺点：：定线线因人人而异异，外外延误误差大大（二））相关关分析析法三、相相关计计算法法（简简直线线相关关）（（一元元线性性回归归方程程式））水文分分析计计算中中，通通常以以应用用简相相关中中的直直线相相关为为最多多。相关计算需需解决的问问题：（1）确定x、y是否存在相相关关系（2）确定数学学表达式（（回归方程程式）（3）误差分析析（4）相关系数数分析1．回归方程程第一步：确确定线型—简直线x1，x2，…，xny1，y2，…，ynxi，yi——表示实测值值第二步：确确定参数a、by—倚变量；x,y—表示相关线线上的值；；x—自变量；a、b—待定参数。。相关线不可可能通过各各个相关点点，则每个个实测点（（xi，yi）与相关线上上的点（x,y）都有一个纵纵向离差。。第三步：确确定回归方方程所有相关点点纵离差的的平方方和为根据最小二二乘法原理理，要使点点群与直线线配合最佳佳，使其最最小。最小对其求一阶阶偏导数，，并令其等等于零。这里以a、b为自变量，，整理后得得到即两边同除除-2，整理r——相应系数数；σx、σy——y、x系列的标标准差；；CVx、CVy——两系列的的变差系系数。解（1）、（2）方程组组，其系系数行列列式（克莱姆姆法则，，有唯一一解）代入到方方程中中两回归线在均均值点（））处相相交，说明两回归线线都通过均值值点得到或（3）称y倚x的回归方程。。（回归直线的的斜率）——称y倚x的回归系数另外，x倚y的回归方程（4）将（3）、（4）式联立求解解，得到回归线仅是观观测点据的最最佳配合线，，通常观测点点据并不完全全落在回归线线上，而是以以回归线为中中心向两方均均匀分布，因因此观测值与与回归值之