拉格朗日中值定理的几种特殊证法

届学士学位毕业论文关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法学号：姓名：班级：指导教师：专业：系别：完成时间：年月学生诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的论文《关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法》是我个人在导师王建珍指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。签名：日期：指导教师声明书本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。指导教师签名：时间：拉格朗日中值定理在高等代数和数学分析的一些理论推导中起着重要作用，本论文为了更准确的理解拉格朗日中值定理，介绍了其几种特殊的证明方法.首先本文从分析和几何的角度构造辅助函数对拉格朗日中值定理进行了证明，其中在分析法构造辅助函数中应用了推理法、原函数法、行列式法及弦倾角法，在几何法构造辅助函数中应用了作差构造法、面积构造法和旋转坐标轴法;其次，应用了区间套定理证明法和巴拿赫不动点定理证明法对拉格朗日中值定理进行了证明;最后，本文为能将拉格朗日中值定理表述更为深刻，还将其应用到求极限,证明函数性态等具体问题中.关键词：拉格朗日中值定理;区间套定理;巴拿赫不动点定理SeveralSpecialProofsontheLagrange’sMeanValueTheorem08404141ZHAOXia-yanMathematicsandAppliedMathematicsTutorWANGJian-zhenAbstractLagrange’smeanvaluetheoremplaysanimportantroleinsometheoryeducationsinHigheralgebraandMathematicalanalysis,thisthesisintroducesseveralparticularmethodsprovingmethodsinordertocomprehendLagrange’smeanvaluetheoremprecisely.Firstofall,applyinganalysisandgeometrywithconstructingauxiliaryfunctiontoproveLagrange’smeanvaluetheorem,intheaspectofanalysis,themethodsofconstructingauxiliaryfunctionincludethereasoningmethod,originalfunctionmethod,thedeterminantmethodandchordanglemethod,Intheaspectofgeometric,themethodsofconstructingauxiliaryfunctionsincludethepoorconstructionmethod,areastructuremethodandtherotatingcoordinatetransformationmethod;secondly,alsousethetheoremofnestedintervalprovingmethodandtheBanachfixedpointtheoremtoproveit;finally,thisarticleappliesLagrange’smeanvaluetheoremtothespecificquestioninthelimit,provingthefunctionofstateandotherissues.KeyWords:Lagrange’smeanvaluetheorem;Thetheoremofnestedinterval;TheBanachfixedpointtheoremTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"引言1\o"CurrentDocument"利用分析法构造辅助函数1\o"CurrentDocument"利用几何法构造辅助函数4\o"CurrentDocument"利用区间套定理证明6\o"CurrentDocument"利用巴拿赫不动点定理证明7\o"CurrentDocument"拉格朗日中值定理的应用8\o"CurrentDocument"结语11\o"CurrentDocument"参考文献12致谢12关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法08404141赵夏燕数学与应用数学指导教师王建珍引言微分中值定理作为微分学中的重要定理，是微分学应用的理论基础，是微分学的核心理论.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，它们是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具，其中拉格朗日中值定理是核心，从这些定理的条件和结论可以看出罗尔定理是其特殊情况，柯西定理和泰勒定理是其推广.首先回顾下拉格朗日中值定理以及它的预备定理一罗尔中值定理.定理1.1(罗尔中值定理)［1］若函数f满足如下条件：(i)f在闭区间［a,b］上连续；f在开区间(a,b)内可导；f(a)=f(b);则在(a,b)内至少存在一点&，使得f'G)=0.定理1.2(拉格朗日中值定理)⑵若函数f满足如下条件：(i)f在闭区间［a,b］上连续；(i)f在开区间(a,b)内可导;则在(a,b)内至少存在一点&，使得f句=竺严.b-a课本上给出了拉格朗日中值定理的基本证法，在此基础上，下面给出了拉格朗日中值定理的几种特殊证明方法.利用分析法构造辅助函数拉格朗日中值定理中的两个条件与罗尔中值定理中的前两个条件相同，二者的区别仅仅在于区间端点处的函数值是否相等，基于这种关系，自然想到构造一个辅助函数，使它满足罗尔中值定理的条件，从而是否由罗尔中值定理的结论导出拉格朗日中值定理的结论呢？事实上解决问题的关键是构造的这个辅助函数F3)要在[a,b]的端点有相同的函数值，即F(a)=F(b),以下将对如何利用分析法构造辅助函数进行深入的分析.证明方法2.1(推理法)由拉格朗日中值定理结论f'(提=f(b)—f,可知其右端是一个常数，故b-a可设f(b)-f(a)=们则有f(b)-f(a)=k(b-a)，即f(b)-kb=f(a)-ka仔细观b-a察其特点，不难发现一个能使F(a)=F(b)的新函数：F(x)=f(x)-kx,故F(x)就是证明中所要利用的辅助函数.证明过程如下：令F(x)=f(x)-kx，其中k=f(b)-f(a),由题设可知，F(x)在[a,b]上连续,b-a在(a,b)内可导，且F(a)=F(b),即F(x)满足罗尔中值定理，故在(a,b)内至少存在一点&，使得F任)=f'(&)-k=0,即f'(&)=f(b)-f(a)证毕.b-a证明方法2.2(原函数法)这种方法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数.由拉格朗日中值定理的变形f(b)-f(a)=f(&)(b-a)得f'(&)(b-a)-[f(b)-f(a)]=0,令&=x得ff(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]=0,两边积分可得f(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]x+c=0,取c=0得f(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]x=0,若令F(x)=f(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]x,容易验证F(a)=F(b)=bf(a)-af(b),知F(x)满足罗尔中值定理的条件，所以F(x)就是所求的辅助函数，证明过程如下：令F(x)=f(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]x,xe[a,b],因为函数在闭区间[a,b]内连续，在开区间(a,b)内可导，且F(a)=F(b),所以至少存在一点&e(a,b)，使得F任)=0,又F'(提=f'(&)(b-a)-[f(b)-f(a)],所以即f'(&)，证-a毕.证明方法2.3(行列式法)af(a)1由于想得到F(a)=F(b)，故可根据行列式的性质⑶，设F(x)=bf(b)1,xf(x)1所以可以得到辅助函数并且满足F(a)=F(b)=0.证明如下：af(a)1设F(x)=bf(b)1xG[a,b],则由行列式的性质可得F(a)=F(b)=0，所xf(x)1以FG)满足罗尔中值定理，因而至少存在一点&G(a,b)，使得F(提=0,又af(a)1a-bf(a)-f(b)0F'(x)=bf(b)1=bf(b)1=f(a)-f(b)+f(x)(b-a),1f'(x)01f(x)0所以F'(&)=f(a)-f(b)+f'(&)(b-a)=0，即f(&)=f(?-f(a).b-a证明方法2.4(弦倾角法)目的是为了得到F(a)=F(b),设连接连续曲线L:{(x,f(x))Ia<x<b},两端点A和B的弦为AB(图1)，其倾倾斜角为0，则——<0<tan0sin0=f(b)-f(a)cos0b-a也即有f(b)cos0一bsin0=f(a)cos0一acos0tan0也即有所以令F(x)=f(x)cos0-xsin0,如此所得到的辅助函数F(x)就能满足要求，证明如下:

…o,,一~一设F(x)=f(…o,,一~一设F(x)=f(x)cos0-xsin0,其中曲线L:{(x,f(x))Ia<x<b},如上图所示,22&e(a,b)，使得F'(提=0，又F'(提=f'(&)cos0-sin0，所以f'(&)=f(b)-f(a)b-a证毕.利用几何法构造辅助函数利用数形结合的思想方法解决数学问题有着非常直观的效果，对于微分中值定理的证明，利用几何图形的特性观察分析，同样可以作出合适的辅助函数,下面用不同的方法来加以说明.证明方法3.1(作差法)因为曲线L与其弦房分别在x=a和x=b两点的高度对应相同(如图1)，所以不妨考虑过曲线方程和弦方程的差来构造辅助函数，于是令F(x)=f(x)-[f(?f(a)(x-a)+f(a)],b-a或F(x)=f(x)-[f(b)-f(a)(x-b)+f(b)],b-a则可得F(a)=F(b),因此所构函数F(x)满足罗尔中值定理.证明方法如下：设F(x)=f(x)-[f(b)-f(a)(x-a)+f(a)],F(x)在闭区间[a,b]上连续，b-aF(x)在开区间(a,b)内可导，且F(a)=F(b),所以F(x)满足罗尔中值定理，则在(a,b)内至少存在一点&，使F任)=0,即F'(&)=f(&)-=0,b-a整理可得b-a广(&)=f(b)-f(a整理可得b-a证明方法3.2(面积法)如图1所示，曲线L上任意一点P3,f(x))与弦A8组成AABP的面积S(x)恰好在区间[a,b]上满足罗尔中值定理的三个条件，AABP的面积af(a)1S(x)=2bf(b)1,

xf(x)1而当点P与点A或B重合时，即x=a或x=b时，S(x)=0,因此加以化解可引入af(a)1辅助函数F(x)=bf(b)1,xe[a,b],此时F(a)=F(b)=0.证明方法如下：xf(x)1af(a)1令F(x)=bf(b)1,xe[a,b],则由行列式性质容易验证F(a)=F(b)=0，xf(x)1所以F(x)满足罗尔中值定理的三个条件,所以在(a,b)内至少存在一点&，使得F0)=0，又af(a)1a一bf(a)-f(b)0F'(x)=bf(b)1=bf(b)1=f(a)-f(b)+f(x)(b-a),1f(x)01f'(x)0所以F'(&)=f(a)-f(b)+f'(&)(b-a)=0,即f0)=f(?—f(a)b一a证明方法3.3(旋转坐标轴法)如下图2所示，按弦AB的倾斜角旋转坐标系，可使新坐标系的X轴与原坐标系中的弦AB平行,则原曲线的方程在旋转变换下一定满足罗尔中值定理的条件,通过罗尔中值定理则可得出结论.证明如下：

X亍xcos0+jsin0hY=—xsin0+jcos0'X亍xcos0+jsin0hY=—xsin0+jcos0'一o根据新旧坐标之间的关系令Y(x)=—xsin0+f(x)cos0，因为函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)上可导，所以函数Y(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)上可导，又由tan0=f(b)一f0),即如=f(b)-f(。)，可得b—acos0b—a—asin0+f(a)cos0=—bsin0+f(b)cos0,即Y(a)=Y(b),从而由罗尔中值定理可得，在(a,b)内至少存在一点&，使得Y0)=0,即Y'(&)=—sin0+f低)cos0=0,故=^f.b—a利用闭区间套定理证明引理1(区间套定理)⑷如果闭区间系列｛［',bn］｝满足下列条件lim(bnnT8则存在唯一实数&g[a,b](n=1,2,)，且有lima=&=limb.nnnnnT8nT8引理2［5］如果f(x)在［a,b］上连续，那么必定存在c,dg(a,b)，使得b—ad—c=f(d)—f(c)_f(b)—fb—ad—c=使用引理1和引理2,即可证明拉格朗日中值定理，反复使用引理2则可得区间序列｛[a疽bn]｝，满足[a,b]d[a,b]d[a,b]d...

1122b-a=2-(b-a),f(气-a,,)=f(b)-f(a)bn-an由区间套定理得必有He[a,b]u(a,b)(n=1,2,…),使得lima=limb=H,nsnnsn因为f(x)在H处可导，所以由导数的定义得「f(b)-f(H)「f(a)-f(H)〃建、lim———=lim————=f(H),n—3b—Hn—3a—H从而当nT8时，有f(bn)-f(H)=f(H)-(bn-H)+。(bn-H),f(an)-f(H)=f'(H)•(an-H)+。(an-H),f(b-a)=ff(H)+。(bY)_。(a-H)

b-ab-ab-annnnnn又因为lim°(b「H)=limlMY)_b-a八b-HnT3nsrnnslim。(an-g)=lim(。(an_&)n—3b—an—3a—Hnnsa-H)=0,b-a所以从而有limf(叩-f(叩=f(H)，n—3b—afb^=g.b-a5.利用巴拿赫不动点定理证明引理3(巴拿赫不动点定理)［6］在完备的度量空间中的压缩映射必存在唯一的不动点.显然,任意闭区间在通常的欧几里得度量下是完备的，由此可证在［a,b］上凸或凹的函数f(x)的拉格朗日中值定理.对任意小的£>0,在闭区间［a+8,b-8］上构造自映射Ax=x-f'(x)+f(b)一f⑷.

b一a可以证明A是一个压缩映射［7］,事实上，对于x,xe［a+£,b-8］,不妨设xvx,1212则有|Ax2-Ax^\=|(x2-xi)-［f'(x2)-f叫)］|,假设f(x)在区间［a,b］上是凹的，那么ff(x)在区间［a+8,b-8］内单调增加，所以ff(x)-ff(x)>0,从而一定存在21一个数人e(0,1)，使得0C(x2-x1)Vff(x2)一f'(x1)，因此|Ax2-AxJ<|%-气|(11)，所以A是闭区间［a+8,b-8］上的压缩映射，由引理3得，存在唯一的一点&e(a,b)，使得Ag=&，于是f(b)-f(a)=f(&)，b-a故定理得证.6.拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理作为中值定理的核心，有着广泛的应用，在很多题型中都起到了化繁为简的作用.6.1求极限由拉格朗日中值定理指出，如果f在［a,b］连续，在(a,b)可导，则有f(b)-f(a)=f(&)(b-a)av&vb，因此对Vxe(a,b)，有f(x)-f(a)=f(&)(x-a)av&vx，公式(1)表明，求某些差式的极限，可转化为求积式型的极限，以化简极限的计算或解决某些运算,用别的方法求不出极限式子.当然也要具体情况具体分析，并不是所有差式型的极限都能适合于运用中值定理，应以简便为原则选用.问题6.1.1求limn2(<x—fx)(x>0).ns解令f(t)=xt，则对任何自然数n,f(t)在［_L,1］上满足拉格朗日中n+1n值定理的条件，而且f(t)=xtlnx是t上的严格单调函数，因而在［-L,1］上由拉n+1n格朗日中值定理，得n2(nx—n+1x)=n2[f(1)—f(」)]=n2f'(&)(1—-^-)="2x&Inx，nn+1nn+1n(n+1)—<^<—，当n—+8时,&—0,n+1n故原极限二lim—n—x&Inx=Inx.n—8n(n+1)6.2证明不等式证明不等式的方法有很多，但对于某些不等式，用初等解法不一定能解得出来，例如描述函数的增量与自变量增量关系的不等式或者中间一项可以表示成函数增量形式等的题型.这时如果考虑用拉格朗日中值定理,会比变较容易简单.问题6.2.1证明|sinx—siny|<|x-y|.证明设f(x)=sinx,显然f(x)在［x,y］上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在&e(x,y)，使得f(x)—f(y)=f'(&)(x—y),即sinx—siny=(x—y)cos&,又因为|cos&|<1,因此有|sinx—siny|<|x—y|.6.3证明等式用拉格朗日中值定理证明等式也是其应用中很重要的一项.证明的目标在于凑出形式类似于拉格朗日中值定理的式子.问题6.3.1证明当|x|<1时，有arcsinx+arccosx=兀2.证明设f(x)=arcsinx+arccosx,xgL1,1],显然f(x)gC[—1,1],并且f(x)11在(—1,1)上可微，f(x)=(arcsinx+arccosx证明设f(x)=arcsinx+arccosx,xgL1,1],显然f(x)gC[—1,1],并且f(x)=arcsin0+arccos0=兀..'2,故arcsinx+arccosx=兀..2xg[-1,1].6.4证明函数性态因为拉格朗日中值定理沟通了函数与其导数的联系，很多时候我们可以借助它的导数,研究导数的性质从而了解函数在整个定义域区间上的整体认识.例如研究函数在区间上的符号、单调性、一致连续性、凸性等，都可能用到拉格朗日中值定理的结论.通过对函数局部性质的研究把握整体性质，是数学研究中的一种重要方法.问题6.4.1设f(x)gC(a,+8),f'(x)在(a,+8)存在，并且f(a)=0，当x>a时，f(x)>0，求证当x>a时，f(x)>0.证明Vx1>a，由已知得f(x)在［a,气］上满足拉格朗日中值定理，卖g［a,七］,使f(气)一f(a)=f'(&)0：］-a),因为f任)>0,x1—a>0，所以f(x1)=f'(提牌一a)>0，所以Vx1>a，有f(气)>0,即Vxg(a,+8),有f(x)>0.6.5估值问题证明估值问题，一般情况下选用泰勒公式证明比较简便.特别是二阶及二阶以上的导函数估值时.但对于某些积分的估值,可以采用拉格朗日中值定理来证明.问题6.5.1设f〃(x)在［a,b］上连续，且f(a)=f(b)=0,试证明』a|f"(x)|dx>—-—max|f(x)|.bb一aa<x<b证明若f(x)三0,不等式显然成立.若f(x)不恒等于0,存在cg(a,b)，使max|f(x)|=f(c),在［a,c］及［c,b］上分别用拉格朗中值定理，得a<x<b精品文档作)=也f)=知,1c-a2c-b从而f(c)(b—a)(b—c)(c—a)jT广⑴版』&i|f〃⑴dx|盘&1f〃(x)dx=1尸&)-尸(&)1=bf(c)(b—a)(b—c)(c—a)6.6证明级数收敛问题6.6.1若一正项级数芝a(a>0)发散，s=a+a++a，证明级nnn12nn=1数Y史(5>0)收敛.S1+8n=1n证明作辅助函数f(x)=—，则f'(x)=-XL-，当n>2时，在［sn1，七］上用拉格朗日中值定理，可得f(U2(SQ=f仕)(S<&<S),

S—Snn-1nn于是aa111n—Vn—=—(一—)，S1+5^1+55S5S5nnn-1n由YL(上-—)收敛［8］,可得所证.5S5S5n=2n-1n7.结语本文初步探讨了拉格朗日中值定理定理的几种特殊证法，其中给出了分析法构造辅助函数、几何法构造辅助函数、区间套定理法和巴拿赫不动点定理法.几何法是利用图形的特征进行分析,从而构造出需要的辅助函数,与分析法有异曲同工之妙；区间套定理法和巴拿赫不动点定理法,它们不需要构造辅助函数，也可以证明，虽说是一种很好的证法，但是比较抽象难懂.最后对拉格朗日中值定理在求极限、证明不等式、证明等式、证明函数性态、估值问题、证明级数敛散性六方面的应用做了简单的介绍，从而使我们加深对拉格朗日中值定理的认识.参考文献华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].第三版.北京:高等教育出版社,2001.同济大学应用数学系主编.高等数学（上册）[M].第