(常微分方程)第3章线性方程课件

第3章线性方程3.1引言3.2解的存在性与唯一性3.3齐次线性方程组通解的结构3.4非齐次线性方程组通解的结构3.5边值问题和周期解3.6高阶线性方程3.7线性微分方程的一些求解方法3.8线性方程的复值解第3章线性方程3.1引言 3.1引言

在第2章中，我们介绍了解微分方程的一些初等积分法，利用这些方法，人们可以求得方程的通解表达式.然而，能用初等积分法解出的微分方程是很少的.这就迫使人们将注意力转移到直接根据方程的结构以及出现在方程中的函数的性质去探索解的各种性质，建立方程的各种理论.本章至第5章所要讲述的就是沿着这个方向建立的基本理论和基本方法. 3.1引言

在第2章中，我们介绍了解微分

本章研究一类具有特殊结构的方程，即线性方程.这类方程，虽然结构简单，但一般不能用初等积分法求得它的通解表达式.然而，人们可直接根据方程的特点，从理论上推断它的通解具有简单而清晰的结构.这一重要事实不仅是线性方程理论的基石，而且在非线性方程的研究中也有着重要的应用.本章研究一类具有特殊结构的方程，即线性方程.这类方程，虽

由于高阶微分方程式总可以化成一阶微分方程组，因此本章将首先研究一阶线性微分方程组，然后将一阶线性微分方程组的结果应用到高阶线性微分方程式上.所谓一阶线性微分方程组,是指形如(3.1)的方程组，它的右端是x1,…,xn的线性函数，这里aij、fi(i,j=1,…,n)都是区间I上的已知函数.由于高阶微分方程式总可以化成一阶微分方程组，因此本章将首

为了书写方便，引进向量和矩阵记号.记则方程组(3.1)可以简写为(3.2)其中,A(t)和f(t)分别称为系数矩阵和非齐次项.当非齐次项f(t)≡0时，式(3.2)变成(3.3)为了书写方便，引进向量和矩阵记号.记则方程组(3.1)可它称为齐次线性微分方程组.而当非齐次项，即fi(t)(i=1,…,n)不都恒等于零时，式(3.2)称为非齐次线性微分方程组.

初值条件也可简记为其中为维列向量，即向量的转置.以后凡谈到向量，如无特殊说明，都是指列向量.为了便于对写成向量和矩阵形式的微分方程组(3.2)进行讨论，我们引进一些记号和概念.它称为齐次线性微分方程组.而当非齐次项

称一矩阵（包括作为特殊矩阵的向量）函数是连续（或可微，或连续可微，等等）的，指的是它的每一个元素都是连续（或可微，或连续可微，等等）的；一矩阵函数的导数（或积分，或极限）,是指这样一个矩阵函数，它的各个元素是原矩阵的相应元素的导数（或积分，或极限）；称一矩阵函数序列是收敛（或在区间Ｉ上一致收敛）的，指的是它的每一个相应元素作成的序列是收敛（或在区间I上一致收敛）的.

如果称一矩阵（包括作为特殊矩阵的向量）函数是连续（或可微，或则记而依次称为向量x和矩阵A的模，也称为范数.从定义出发，容易推出如下几个不等式：

(1)|Ax|≤|A|·|x|.(2)若B也是n×n矩阵，则|AB|≤|A|·|B|；特别对任意自然数m，有则记而依次称为向量x和矩阵A的模，也称为范数.从定义出发，

(3)三角不等式：若y也是n维向量，则|x+y|≤|x|+|y|.

(4)若x(t)是n维向量，且在a≤t≤b上连续，则(3)三角不等式：若y也是n维向量，则|x+y|≤|x| 3.2解的存在性与唯一性

对于一个不能用初等积分法求解的微分方程，首要问题是，它是否有解？更明确地说，是否有满足给定初值条件的解？进而还要问：满足给定初值条件的解是否唯一？这些问题得不到满意的回答，就很难再谈关于这一方程的其他研究.下面的定理就线性方程组的情形对上述问题给出了完满的回答，它是线性微分方程理论的基础. 3.2解的存在性与唯一性

对于一个不能用初等积分

定理3.1设A(t)和f(t)均在区间I上连续，则对任一t0∈I和任意n维常向量ξ,方程组(3.2)恒有定义在整个区间I上且满足初值条件式(3.4)的解.此外，方程组(3.2)也只能有一个解满足初值条件式(3.4).

证明这个定理的证明分4步完成.

(1)把初值问题式(3.2)、(3.4)化成下述等价的积分方程组：(3.5)等价的意思是：如果x=φ(t)是初值问题式(3.2)、(3.4)的解，则它是积分方程组(3.5)的连续解；反之，如果x=φ（t)是积分方程组(3.5)的连续解，则它必是初值问题式(3.2)、(3.4)的解.这样一来，我们就只需证明：积分方程组(3.5)在区间I上有连续解，且只能有一个连续解.定理3.1设A(t)和f(t)均在区间I上连续，则对任(2)用逐步逼近法构造皮卡（Picard,1856-1941）序列，即用数学归纳法容易证明，φk(t)(k=1,2,…)在区间I上有定义且连续.(2)用逐步逼近法构造皮卡（Picard,1856-19(3)证明序列{φk(t)}在区间I内一致收敛（即在I的任意有限闭子区间上一致收敛），且其极限函数是积分方程组(3.5)在区间I上的连续解.

事实上，假设I1是I的一个任意给定的有限闭子区间，且t0∈I1.由序列与级数的关系知，只需证明无穷级数(3.7)在I1上一致收敛.以K表示|A(t)|和|A(t)ξ+f(t)|在I1上的一个公共上界.于是当t∈I1时,有(3)证明序列{φk(t)}在区间I内一致收敛（即在I的用数学归纳法容易证明，对任意自然数m，有用数学归纳法容易证明，对任意自然数m，有(常微分方程)第3章线性方程课件(4)证明唯一性，即证明：如果x=ψ(t)，在区间上是方程组(3.5)的连续解，且t0∈I0，则在I0上必有(3.8)(3.9)于是我们有(4)证明唯一性，即证明：如果x=ψ(t)，在区间把它代入式(3.9)右端，进而得到用数学归纳法容易证明，对任意自然数m，有将定理3.1应用于方程组(3.3)特别就有把它代入式(3.9)右端，进而得到用数学归纳法容易证明，对引理3.1方程组(3.3)的解，若在区间I的某点处为零（向量），则必在区间I上恒等于零（向量）.

证明设x=x(t)是方程组(3.3)在I上的解，它在t0∈I处为零（向量）,则x=x(t)是方程组(3.3)满足初值条件x(t0)=0的解.由于x=0也是此方程组满足同一初值条件的解，因此根据定理3.1所指出的唯一性即知，必有引理证完.引理3.1方程组(3.3)的解，若在区间I的某点处为零注3.2皮卡迭代序列提供了近似求解方程组(3.2)的初值问题的方法.注3.3设I=R1且A(t)和f(t)是以正数ω为周期的周期函数,x=φ(t)是方程组(3.2)在R1上的解，则φ(t)是以ω为周期的周期函数,当且仅当φ(0)=φ(ω).注3.2皮卡迭代序列提供了近似求解方程组(3.2)的初例3.1半径为R的球一半沉入水中，用手将其稍微向下按后放手，球即上下振动，求振动周期.

解以球原位置为坐标原点，x为球心位移.球密度

(kg/m3)，水密度ρ=1(kg/m3)，则有因x≈0(微振动)，故取近似微分方程为例3.1半径为R的球一半沉入水中，用手将其稍微向下按后 3.3齐次线性方程组的通解的结构

本节研究齐次线性方程组(3.3)的所有解所构成的集合的结构.因为任何解都能延拓到I上，所以我们只考虑那些在I上有定义的解.

齐次线性方程组的最基本的性质是它的解具有可叠加性，即下面的结论成立. 3.3齐次线性方程组的通解的结构

本节研究齐次线也是方程组(3.3)的解.但它未必是方程组(3.3)的通解.例如当φ1(t)≡0时，上式变成也是方程组(3.3)的解.但它未必是方程组(3.3)的通解.它只含有个任意常数，又如当时，上式变成它实际上也只有n-1个任意常数.因此为了使它能构成方程组(3.3)的通解，必须对解组φ1(t),…,φn(t)之间的关系作适当限制，这就引出了一组向量函数线性相关和线性无关的概念.它只含有个任意常数，又如当时，上式变成它实际上也只有n-如果有不全为零的常数α1,…,αm,使得(3.10)则称向量函数φ1(t),…,φm(t)在区间I上是线性相关的.否则，要想式(3.10)成立，除非α1=…=αm=0，便称此m个向量函数在区间I上是线性无关的.如果有不全为零的常数α1,…,αm,使得(3.10)(常微分方程)第3章线性方程课件(3.11)是方程组(3.3)的通解，确切地说，是方程组(3.3)的全部解的共同表达式，即对任意常数c1,…,cn，向量函数(3.11)都是方程组(3.3)的解；反之，方程组(3.3)的任一解，都可以写成式(3.11)的形式.(3.11)是方程组(3.3)的通解，确切地说，是方程组((常微分方程)第3章线性方程课件这表明解x(t)可以通过在式(3.11)中适当选取c1,…,cn而得到.这表明解x(t)可以通过在式(3.11)中适当选取c1,…,注3.4定理3.2表明，方程组(3.3)的解的全体构成一个n维线性空间.

方程组(3.3)的任意n个线性无关的解合起来称为它的一个基本解组.如果以它们作为列向量排成一个n阶矩阵，则此矩阵称为方程组(3.3)的一个基本解矩阵.若以Φ(t)表示方程组(3.3)的一个基本解矩阵，则可将表达式(3.11)简写为其中c=(c1,…,cn)T是任意的n维常向量.作为方程组(3.3)的基本解矩阵，Φ(t)满足:(3.12)注3.4定理3.2表明，方程组(3.3)的解的全体构成(3.13)式(3.12)之所以成立，是因为Φ(t)的每一列都是方程组(3.3)在I上的解；式(3.13)之所以成立，是因为Φ(t)的每一列都是方程组(3.3)的解，而且这n个解是线性无关的.

顺便指出，对于n个一般的n维向量函数，线性无关并不包含相应的n阶行列式不等于零，例如二维向量函数:在任意区间上线性无关，可是相应的行列式却恒等于零.(3.13)式(3.12)之所以成立，是因为Φ(t)的每一

设有n个定义在区间I上的向量函数：由它们排列而成的行列式:称为这n个向量函数的朗斯基(Wronski,1776-1853)行列式.设有n个定义在区间I上的向量函数：由它们排列而成的行列引理3.4(刘维尔公式)若φ1(t),…,φn(t)是方程组(3.3)的解，则它们的朗斯基行列式W(t)可表示为其中t0∈I可任意取定，而证明由行列式的微商公式知引理3.4(刘维尔公式)若φ1(t),…,φn(t)是可见x=W(t)是下述初值问题的解所以引理的结论成立.

这个引理加强了前面的结论式(3.13).可见x=W(t)是下述初值问题的解所以引理的结论成立.注3.5设Φ1(t)和Φ2(t)是方程组(3.3)在区间I上的两个基本解矩阵,则存在非奇异常矩阵C，使得注3.6设τ∈I.若方程组(3.3)的基本解矩阵Φ(t)满足初值条件Φ(τ)=E(n阶单位矩阵），则Φ(t)称为状态转移矩阵.显然，对任一基本解矩阵Φ(t),Ψ(t,τ)=Φ(t)Φ-1(τ)是状态转移矩阵.容易证明：(1)状态转移矩阵Ψ(t,τ)与基本解矩阵Φ(t)的选择无关；注3.5设Φ1(t)和Φ2(t)是方程组(3.3)在区(2)Ψ(t,τ)关于变量t是矩阵方程满足初值条件Y(τ)=E的唯一解；(3)对任意t,τ∈I,Ψ(t,τ)是非奇异的，并且Ψ-1(t,τ)=Ψ(τ,t)；(4)对任意t,σ,τ∈I,有Ψ(t,τ)=Ψ(t,σ)Ψ(σ,τ)；(5)方程组(3.3)的解x(t,τ,ξ)有表达式(2)Ψ(t,τ)关于变量t是矩阵方程满足初值条件Y(例3.2证明函数组在区间(-∞,+∞)上线性无关，但它们的朗斯基行列式恒为零.

证明要证明φ1(x)、φ2(x)在(-∞,+∞)上线性无关，只需证明等式α1φ1(x)+α2φ2(x)=0对一切x成立，必须取α1=α2＝０.实际上，若取α1≠0，对于x≥0,有即对所有的x，恒有W(x)=0.例3.2证明函数组在区间(-∞,+∞)上线性无关，但例3.3设在方程

y″+p(x)y′+q(x)y=0

中，p(x)在某区间I上连续且恒不为零，试证：它的任意两个线性无关的解的朗斯基行列式是区间I上的严格单调函数.

证明设y1(x)、y2(x)是已知方程的定义在区间I上的任意两个线性无关的解.根据刘维尔公式，有其中W(x0)≠0.考察例3.3设在方程

y″+p(x)y′+q(x)y(常微分方程)第3章线性方程课件例3.4求微分方程

下面给出通过建立数学模型来解决实际问题的例子.

先介绍几个基本概念.

出生（死亡）率:单位时间内每N个成员中出生（死亡）的成员数与N之比.

增长率:单位时间内每N个成员中增长的成员数与N之比，其中N是一个适当的数，例如1000.例3.4求微分方程下面给出通过建立数学模型来解决

显然以上三者有关系:增长率=出生率-死亡率（3.14）

设时刻t某物种的成员数为y，即y=y(t),则从t到t+Δt时成员数增长所以，从t到t+Δt这段时间中的平均增长率为当成员可数时，成员数是非负整数.如果对一系列时间t1,t2,…,知道相应的成员数y(t)为显然以上三者有关系:增长率=出生率-死亡率（3.14则我们把y(t)开拓为实变数t的非负实数值y的函数y=y(t)，并且使y(t)连续，有连续导数.这样一来，就得到（3.15）则我们把y(t)开拓为实变数t的非负实数值y的函数y=y(t(1)增长率是常数α(α>0).

此时根据式（3.15），物种成员数y=y(t)应满足微分方程:即（3.16）设t=0时，成员数为y(0)，则满足此初始条件的解为显然，只要y(0)>0，就有 .也就是说，物种的成员会无限地增长.(1)增长率是常数α(α>0).

此时根据式（3.1

(2)增长率依赖于主要食物供给量σ(σ>0).

设维持该物种生存的最低食物供应量为σ0.例如，某种猫靠食鼠为生.要捕食鼠首先就要有机会遇到鼠，因此维持这种猫的生存就要在它的活动范围内有一个最低的鼠的只数σ0.当σ>σ0时,增长率为正；当σ<σ0时,增长率为负；当σ=σ0时,增长率为零.

取满足以上条件的增长率的最简单的形式:于是由式（3.15）得到该物种成员数y=y(t)应满足微分方程:（3.17）(2)增长率依赖于主要食物供给量σ(σ>0).

设维其中常数α与σ0反映该物种的特性，而常数σ与环境有关.此方程满足t=0时y=y(0)的解为显然这表示无论开始时有多少成员，当σ>σ0时，物种成员将无限增长；当σ=σ0时，物种成员将维持不变；而当σ<σ0时，此物种将灭绝.由此可见，同一个物种在不同的环境里将有不同的前途.其中常数α与σ0反映该物种的特性，而常数σ与环境有关.此方程

(3)增长率与物种的成员数有关.

例如成员多，就有居住拥挤,疾病易于传染,……社会摩擦(负的社会现象)；当然也有利于集体捕食，抵御外来物种的攻击，……正的社会现象.

现在我们只考虑社会摩擦.设成员数有一个极限值η，即当成员数超过η时增长率为负的.取于是物种成员数满足极限增长方程:（3.18）方程右端出现了非线性项——cy2，它反映社会摩擦.(3)增长率与物种的成员数有关.

例如成员多，就有居

显然，y≡0,y≡η都是方程(3.18)的解.而当t=0时,y=y(0)(y(0)≠0,y(0)≠η)的解是当t→+∞时,y→η.

亦即，若开始时物种成员数为0或η，则分别保持此成员数.而开始时，不论成员数是多于η还是少于η，终将达到极限值η.显然，y≡0,y≡η都是方程(3.18)的解.而当t=0 3.4非齐次线性方程组通解的结构

引理3.5非齐次线性方程组(3.2)的解与相应的齐次线性方程组(3.3)的解之和仍是(3.2)的解.(3.2)的两个解之差是相应的(3.3)的解.

利用这一关系和相应的(3.3)的通解就可得到(3.2)的通解. 3.4非齐次线性方程组通解的结构

引理3.5定理3.3设ψ(t)是方程组(3.2)的一个解，Φ(t)是相应的方程组(3.3)的一个基本解矩阵，则含n维任意常向量c的表达式(3.19)是方程组(3.2)全部解的共同表达式.

证明首先，由引理3.5知对任意n维常向量c，式(3.19)是方程组(3.2)的解.其次，若x(t)是方程组(3.2)的任意给定的解，则由引理3.5知x(t)-ψ(t)是相应的方程组(3.3)的解.再由定理3.2知存在n维常向量c0，使得这表明解x(t)可通过在式(3.19)中适当选取c而得到.定理证完.定理3.3设ψ(t)是方程组(3.2)的一个解，Φ(t

根据定理3.3，假如已知相应的方程组(3.3)的一个基本解矩阵，则求方程组(3.2)的通解的问题就归结为求它的任意一个特解.为求方程组(3.2)的特解，我们可采用常数变易法.利用这种方法，实际上不仅只得到方程组(3.2)的一个特解，而且同时可得到它的通解.根据定理3.3，假如已知相应的方程组(3.3)的一个基本定理3.4（常数变易公式）设Φ(t)是与方程组(3.2)相应的方程组(3.3)的一个基本解矩阵，则方程组(3.2)的全部解的共同表达式可以写成(3.20)其中c是任意的n维常向量，t0∈I可任意取定.

证明我们知道方程组(3.3)的通解可表示为其中c=(c1,…,cn)T为任意的n维常向量.现在将常向量c换成向量函数c(t)，考虑形如(3.21)定理3.4（常数变易公式）设Φ(t)是与方程组(3.2的向量函数，而设法在这种形式的函数中去求方程组(3.2)的解，其中c(t)是待定的可微向量函数.将式(3.20)代入方程组(3.2)，得到因为Φ(t)是方程组(3.3)的基本解矩阵，故上式可简化为这是一个关于 的线性代数方程组.由于detΦ(t)≠0，故可解出的向量函数，而设法在这种形式的函数中去求方程组(3.2)的解任取t0∈I，积分上式得到(3.22)其中c是任意的n维常向量.取c=0，并将代入式(3.21)，可得到方程组(3.2)的一个特解再由定理3.3便得到所要证明的结论.实际上，将式(3.22)代入式(3.21)就可直接得到定理的结论.任取t0∈I，积分上式得到(3.22)其中c是任意的n维注3.7利用状态转移矩阵Φ(t)，初值问题式(3.2)和(3.4)的解可表示为(3.23)

例3.5验证微分方程组(3.24)的通解为(3.25)注3.7利用状态转移矩阵Φ(t)，初值问题式(3.2)证明事实上，不难验证(3.26)是齐次线性微分方程组(3.24)在区间-∞<x<∞上的两个解，而且它们的朗斯基行列式W(x)在x=0处的值为所以方程组(3.26)是一个基本解组，从而式(3.25)是通解.证明事实上，不难验证(3.26)是齐次线性微分方程例3.6求解初值问题：解事实上，从例3.5知道，相应齐次线性微分方程组有一个基解矩阵例3.6求解初值问题：解事实上，从例3.5知道容易求出利用通解公式，就得到所求初值问题的解为容易求出利用通解公式，就得到所求初值问题的解为例3.7试求微分方程组(3.27)的一个基解矩阵，并求出它的通解.其中自变量x的取值区间为x>0或x<0.

解其实，方程组(3.27)的分量形式为例3.7试求微分方程组(3.27)的一个基解矩阵，从后一式容易求出y2的通解为y2=kx，其中k为任意常数.可分别取y2=0和y2=x代入前一式得到两个相应的特解y1=ex和y1=-(x+1).这样就求得方程组(3.27)的一个解矩阵为显然，当x≠0时，det［Φ(x)］=xex≠0.因此，Φ(x)是方程组(3.27)的一个基解矩阵.所以，方程组(3.27)的通解为从后一式容易求出y2的通解为y2=kx，其中k为任意常数.可例3.8设f(x)可微且满足关系式 求f(x).

解事实上，f(x)是下列微分方程的解：解之得例3.8设f(x)可微且满足关系式 求f(x)例3.9求微分方程的通解.

解设y′=p(x)，原方程变为x2p′=2xp+p2.由此解得即例3.9求微分方程的通解.即例3.10利用变换y=u(et)求微分方程的通解.解由y=u(t),t=ex可将原方程变为解得所以例3.10利用变换y=u(et)求微分方程的通解.

下面给出通过建立数学模型来解决实际问题的例子。

以下对两个作为捕者与食物的物种进行讨论.

两个物种，一个为捕者，其成员数为y；另一个为食物，其成员数为x.下面分别对忽略社会现象和考虑社会摩擦来进行讨论.

(1)忽略社会现象.

捕者y的食物量是食的成员数x,应用3.3节式(3.17)中的结论得到捕者y满足的微分方程其中α>0,σ0>0，且皆是常数.我们把方程改写为(3.28)下面给出通过建立数学模型来解决实际问题的例子。

以下

设食x的食物是充分供给的，有一个稳定的出生率A.x的死亡率等于单位时间内食的x成员中的死亡数与x之比.而单位时间内食的x成员中的死亡数应该与x及y都是成正比的，是Bxy.这是因为两倍的猫将吃掉两倍的鼠；鼠有两倍就使猫有两倍的机会遇到鼠.于是由式（3.14）得从而得到食x满足的微分方程:(3.29)

联合方程(3.28)与(3.29)得到Volterra-Lotka的捕食方程:设食x的食物是充分供给的，有一个稳定的出生率A.x的死亡

(2)考虑社会摩擦.

由于考虑社会摩擦，因此要增加非线性项，由方程（3.30）进而得到极限增长的捕食方程：(2)考虑社会摩擦.

由于考虑社会摩擦，因此要增加非 3.5边值问题和周期解

周期边值条件：两点边值条件：其中,a、b∈I,L、N为n×n阶常矩阵.

与初值问题不同，一般来说，边值问题不一定有解，即使有，也不一定唯一.但我们有下面的基本结果. 3.5边值问题和周期解

周期边值条件：两点边定理3.5若方程组(3.3)的边值问题仅有平凡解x=0，则对任何f(t)，方程组(3.2)的边值问题恒有解.

证明先考虑周期边值条件.由定理3.4知，方程组(3.2)的解可表示成(3.34)由此知，它满足周期边值条件当且仅当向量c满足即(3.35)定理3.5若方程组(3.3)的边值问题仅有平凡解x=0对于齐次方程组(3.3)，(3.35)变成(3.36)按假设，方程组(3.3)只有平凡解满足周期边值条件，即关于c的线性代数方程组(3.36)只有零解c=0，故必有从而可由式(3.35)把c解出，代入式(3.34)便得到方程组(3.2)满足周期边值条件的解.

假如所考虑的是两点边值条件，则代替式(3.35)和式(3.36)的分别是对于齐次方程组(3.3)，(3.35)变成(3.36)和其余同理.定理证完.和其余同理.定理证完.注3.8从定理3.5的证明可知,齐次方程组(3.3)只有零解x=0满足周期边值条件（两点边值条件）的充要条件是:Φ(b)-Φ(a)［LΦ(a)+NΦ(b)］是非奇异矩阵.

下面讨论方程组(3.2)的周期解.问题是：如果A(t)和f(t)都在R1上有定义，并且是ω周期函数，即以ω为周期的周期函数，这里ω>0为某常数，那么在何种条件下，方程组(3.2)存在ω周期解？下述马塞拉(Massera,1915-2002)准则给出了回答.注3.8从定理3.5的证明可知,齐次方程组(3.3)只定理3.6若A(t)和f(t)在R1上有定义，并且是ω周期函数，则方程组(3.2)存在ω周期解的充要条件是：方程组(3.2)有一个在R1上有界的解.

证明必要性是显然的.只需证明充分性.设x=x0(t)是方程组(3.2)在R1上的有界解.由A(t)和f(t)的周期性知，对任何正整数k,x0［t+(k-1)ω］是方程组(3.2)满足初值条件x(0)=x0［(k-1)ω］的解，故由式(3.23)有其中Φ(t)是方程组(3.3)的状态转移矩阵，特别就有(3.37)定理3.6若A(t)和f(t)在R1上有定义，并且是ω其中方程组(3.2)的任何解都可由式(3.20)表示出，它是ω周期解，当且仅当注意到Φ(0)=E，上式就可写成(3.38)

假如方程组(3.2)没有ω周期解，则关于c的线性代数方程组(3.38)必无解.由线性代数的知识我们知道，必存在非零向量u，使得(3.39)(3.40)其中方程组(3.2)的任何解都可由式(3.20)表示出联合式(3.37)和式(3.39)可以证明(3.41)但由于有式(3.40),而x0(t)又是有界的，当k充分大时，式(3.41)不可能成立，这一矛盾就表明方程组(3.2)必有ω周期解.

下面由式(3.37)和式(3.39)推导式(3.41).假设当k=m时，式(3.41)成立.利用当k=m+1时的式(3.37)可得联合式(3.37)和式(3.39)可以证明(3.41)故当k=m+1时，式(3.41)也成立.利用当k=1时的式(3.37)容易验证当k=1时，式(3.41)也成立.总之，式(3.41)对任何正整数k都成立.至此，定理证明完毕.

下面给出通过建立数学模型来解决实际问题的例子。

以下对两个竞争物种的情况进行讨论.

两个物种x与y竞争共同的食物.设它们的增长方程为（3.42）故当k=m+1时，式(3.41)也成立.利用当k=1时的式(其中,x与y的增长率M与N都是非负变量x、y的函数.设它们对x、y连续，有连续一阶偏导数，且满足以下三个条件：

（1）一种物种的成员数增加时另一物种的增长率下降，所以

（2）任一物种的成员数过多，两物种都不能增长.所以存在常数K>0，使得：当x≥K或y≥K时，有M(x,y)≤0,

N(x,y)≤0其中,x与y的增长率M与N都是非负变量x、y的函数.设它们对

（3）只有一个物种时，按极限增长.所以存在常数a>0,b>0，使得

当x<a时，M(x,0)>0；当x>a时，M(x,0)<0.

当y<b时，N(0,y)>0；当y>b时，N(0,y)<0.

它们的求解方法读者可参照相关书籍.（3）只有一个物种时，按极限增长.所以存在常数a>0,b 3.6高阶线性方程

本节讨论形如(3.43)的n阶线性微分方程，其中x,a1(t),…,an(t),f(t)都是区间I上的纯量函数.当f(t)≡0时，式(3.43)变成(3.44)它称为阶齐次线性微分方程.我们要讨论它们解的结构以及关于周期解和边值问题的一些基本结果. 3.6高阶线性方程

本节讨论形如(3.43)1.通解的结构

由于引进个未知函数后，方程(3.43)化成等价方程组：(3.45)1.通解的结构

由于引进个未知函数后，方程这里说的等价指的是：如果x=φ(t)(t∈I)是方程(3.43)的解，则是(3.45)的解.反之，如果是方程组(3.45)的解，则x=φ1(t)是方程(3.43)的解.利用这种等价关系，容易把前几节的结果搬到方程(3.43)和方程(3.44)上.这里说的等价指的是：如果x=φ(t)(t∈I)是方程(3.4定理3.7设a1(t),…,an(t)和f(t)均在区间I上连续，则对任一t0∈I和任意n个常数ξ0,ξ1,…,ξn-1,方程(3.43)恒有定义在整个区间I上且满足初值条件的解.此外，方程(3.43)也只能有一个解满足此初值条件.定理3.7设a1(t),…,an(t)和f(t)均在区以下我们总认为a1(t),…,an(t)和f(t)均在区间I上连续.

引理3.6若在区间I的某点处，齐次线性方程(3.44)的解及其直到n-1阶微商均为零，则它必在区间I上恒等于零.

引理3.7(叠加原理)若x=φ1(t)和x=φ2(t)都是方程(3.44)的解，则对任意常数c1、c2,函数x=c1φ1(t)+c2φ2(t)都是方程(3.44)的解.

如果有不全为零的常数α1,…,αm,使得(3.46)则称函数φ1(t),…,φm(t)在区间I上线性相关，否则，要想式(3.46)成立，除非α1=…=αm=0，便称这m个函数在区间I上线性无关.以下我们总认为a1(t),…,an(t)和f(t)均在区引理3.8设t0∈I,φ1(t),…,φm(t)是区间I上齐次线性方程(3.44)的m个解,则解组φ1(t),…,φm(t)在I上线性相关的充要条件是向量组线性相关.引理3.8设t0∈I,φ1(t),…,φm(t)是区间定理3.8如果φ1(t),…,φn(t)是方程(3.44)在区间I上的n个线性无关的解，则含任意常数c1,…,cn的表达式是方程(3.44)的通解，确切地说，是方程(3.44)的全部解的共同表达式.定理3.8如果φ1(t),…,φn(t)是方程(3.4注3.9定理3.8表明，n阶齐次线性方程(3.44)的解的全体，构成一个n维线性空间.齐次线性方程(3.44)的任意n个线性无关的解合起来，称为它的一个基本解组.设有n个定义在区间I上且n-1次可微的函数φ1(t),…,φn(t)，由它们及其直到n-1阶微商排列而成的行列式称为这n个函数的朗斯基行列式.注3.9定理3.8表明，n阶齐次线性方程(3.44)的引理3.9(刘维尔公式)若φ1(t),…,φn(t)是方程(3.44)的解，则它们的朗斯基行列式W(t)可表示为(t∈I)其中t0∈I可任意取定.引理3.9(刘维尔公式)若φ1(t),…,φn(t)是引理3.10若x=φ(t)和x=ψ(t)分别是方程(3.43)和方程(3.44)的解，则函数x=φ(t)+ψ(t)是方程(3.43)的解；若x=φ(t)和x=ψ(t)是方程(3.43)的解，则函数x=φ(t)-ψ(t)是方程(3.44)的解.

是方程(3.43)全部解的共同表达式.引理3.10若x=φ(t)和x=ψ(t)分别是方程(3定理3.10(拉格朗日常数变易公式）设φ1(t),…,φn(t)是与方程(3.43)相应的方程(3.44)的一个基本解组.则方程(3.43)的全部解的共同表达式可以写为其中:c1,…,cn是任意常数;t0∈I可任意取定;W(t)是φ1(t),…,φn(t)的朗斯基行列式;Δ(t,s)是这样的n阶行列式：前n-1行是W(s)的前n-1行相应元素，而第n行是W(t)第一行的相应元素.定理3.10(拉格朗日常数变易公式）设φ1(t),…,例3.11设φ1(t)、φ2(t)是与二阶线性方程(3.47)相应的齐次方程的基本解组.则(3.47)的全部解的共同表达式为(3.48)例3.11设φ1(t)、φ2(t)是与二阶线性方程(例3.12求解微分方程的通解.

解令y=ux，化简原方程得解得即例3.12求解微分方程的通解.解得即例3.13解微分方程解对应齐次方程的通解为用y=Ax+Bex代入方程可待定出方程的一个特解：所以方程的通解为例3.13解微分方程解对应齐次方程的通解为用y=A

2.边值问题和周期解

因为高阶线性方程可以化成等价的一阶线性方程组，所以关于一阶线性方程组的边值问题和周期解的结论都可以通过这种等价关系转移到高阶线性方程.下面我们将针对二阶线性方程(3.49)进一步讨论它的边值问题和周期解以及其他相关的问题，这里a1(t)、a2(t)、f(t)都是区间I上的连续函数.相应的齐次方程为(3.50)我们只考虑边值条件其中,a、b∈I,a<b.2.边值问题和周期解

因为高阶线性方程可以化成等价的定理3.11若a2(t)≤0，则齐次方程的边值问题式(3.50)和(3.51)只有平凡解x=0，而非齐次方程的边值问题式(3.49)和(3.51)则对任何f(t)恒有解.

证明假如边值问题式(3.50)和(3.51)有解x(t)≡0，则必有x′(a)≠0；否则，就有x(a)=0,x′(a)=0.根据初值问题解的唯一性推出x(t)≡0.为确定计，设x′(a)>0.于是，由于x(b)=0，必存在ξ∈(a,b］，使得(3.52)定理3.11若a2(t)≤0，则齐次方程的边值问题式(而由x(a)=x(ξ)=0进而可知，存在c∈(a,ξ)，使得x′(c)=0.将式(3.50)的两端同乘以从a到c积分，注意到x′(c)=0,即有但由x′(a)>0,a2(t)≤0和式(3.52)可知，上式左端为负数.这一矛盾表明：齐次方程的边值问题式(3.50)和(3.51)不可能有非平凡解存在.而由x(a)=x(ξ)=0进而可知，存在c∈(a,ξ)，使得

为证明定理的第二部分，注意方程(3.49)与方程组(3.53)等价，而边值条件式(3.51)可写成(3.54)既然边值问题式(3.50)和(3.51)只有平凡解，易见齐次方程组(3.53)也只有平凡解满足边值条件式(3.54)，故由定理3.5知，边值问题式(3.53)和(3.54)对任何f(t)恒有解,从而边值问题式(3.49)和(3.51)对任何f(t)恒有解.定理证完.为证明定理的第二部分，注意方程(3.49)与方程组(3(3.55)(3.55)(常微分方程)第3章线性方程课件(常微分方程)第3章线性方程课件为证第二部分，首先注意：求方程(3.49)的周期解的问题等价于求方程组(3.53)满足边值条件(3.56)的解，这是因为，若x(t)是方程(3.49)的ω周期解，则x(t)、y(t)=x′(t)是边值问题式(3.53)和(3.56)的解；反之，若x(t)、y(t)是边值问题式(3.53)和(3.56)的解，则x(t)、y(t)可延拓成R1上的ω周期函数（仍记为x(t)、y(t)），其中的x(t)便是方程(3.49)的周期解.由此可见，方程(3.49)有ω周期解，当且仅当边值问题式(3.53)和(3.56)有解.由于齐次方程(3.50)只有恒为零的ω周期解，因此与式(3.53)相应的齐次方程组就只有平凡解满足边值条件式(3.56).故由定理3.5可知，边值问题式(3.53)和(3.56)恒有解，从而方程(3.49)恒有ω周期解，定理证完.为证第二部分，首先注意：求方程(3.49)的周期解的问

下面讨论二阶线性方程解的零点.为此我们首先通过变换x=vu将方程(3.50)简化，这里u=u(t)是新的未知函数，v=v(t)待定.将其代入方程(3.50)得到我们希望2v′+a1(t)v=0，即只需取这样一来，方程(3.50)就化成下面的形式：(3.57)下面讨论二阶线性方程解的零点.为此我们首先通过变换x=v由于上述的v=v(t)恒为正，因此在讨论解的零点时，可以代替方程(3.50)而考虑形如式(3.57)的方程.我们将通过与另一方程(3.58)的解进行比较来考察方程(3.57)的解的零点的分布.总假设函数P(t)、Q(t)在区间I上连续.由于上述的v=v(t)恒为正，因此在讨论解的零点时，可以代替(常微分方程)第3章线性方程课件由式(3.57)和式(3.58),我们有从t1到ξ积分上式，得到(3.59)由式(3.57)和式(3.58),我们有从t1到ξ积分上式(常微分方程)第3章线性方程课件(常微分方程)第3章线性方程课件(常微分方程)第3章线性方程课件则对任何连续的2π周期函数f(t)恒存在2π周期解.

证明只需证明第一部分，因为第二部分实际上在定理3.12中已经证明过.假设方程(3.57)有2π周期解x(t).将x(t)与方程(3.60)的任何解进行比较，根据定理3.13，首先可断言x(t)有零点，记为t0.因为x(t)，必有x′(t0)≠0.不妨设x′(t0)>0.则对任何连续的2π周期函数f(t)恒存在2π周期解.(3.6然而由x(t)的2π周期性，应有然而由x(t)的2π周期性，应有(常微分方程)第3章线性方程课件 3.7线性微分方程的一些求解方法

1.适当的变换

最自然的一种想法是，通过自变量或未知函数的适当的变换，将方程化简为可以求解或易于求解的形式.下面举例说明如何灵活地作变换以达到这样的目的.

假设给了下面的方程:(3.61)如果方程的阶数n=1，则其通解可以毫无困难地求得.一般说来，方程的阶越高，求解就越困难.自然会想到：通过适当的变换，比如通过形如(3.62) 3.7线性微分方程的一些求解方法

1.适当的变换

的变换，将方程的阶降低，这里φ(t)是待定的函数.将式(3.62)代入式(3.61),得到(3.63)其中(3.64)的变换，将方程的阶降低，这里φ(t)是待定的函数.将式(3.其中

综上所述，假如已经求得方程(3.61)对应的齐次方程的一个非平凡解，则通过变换方程(3.62)可将解方程(3.61)的问题归结为解低一阶的方程(3.64).这种方法就称为降阶法.其中综上所述，假如已经求得方程(3.61)对应的齐次方程

以二阶线性方程(3.65)为例，假如已知对应的齐次方程的一个非平凡解φ(t)，则经过变换方程(3.62)后，得到(3.66)即（在使φ(t)≠0的任何区间上）以二阶线性方程(3.65)为例，假如已知对应的齐次方是一个一阶线性方程，容易求出它的通解为再积分一次就得到原方程的通解.是一个一阶线性方程，容易求出它的通解为再积分一次就得到原方例3.14解方程解容易看出，它有特解x=t.于是作变换x=ty将方程化成解之得例3.14解方程解容易看出，它有特解x=t.于

以上所述降阶法是选取φ(t)为原方程的齐次方程的解，使得经变换式(3.62)后的方程中新的未知函数项y(t)的系数bn(t)为零，这样就达到了降阶的目的.我们也可以选取φ(t)，使得经变换式(3.62)后的方程中其他某项的系数为零，以期将方程化简为便于求解的形式.当原方程的齐次方程的非平凡特解不易求得时，可以采取这种方法.以二阶方程(3.65)为例，假如φ(t)不是它对应的齐次方程的解，则经变换式(3.62)后的方程以上所述降阶法是选取φ(t)为原方程的齐次方程的解，使得中y的系数就不是零.这时我们可选取φ(t)，使得的系数为零，即(3.67)中y的系数就不是零.这时我们可选取φ(t)，使得的系数为例3.15解方程解不容易找到它的非平凡解，故无法用降阶法.试选取则方程简化成式(3.67)的形状，其中的 恰好是常数1，而常系数线性方程的通解很容易求出（见第4章）.例3.15解方程解不容易找到它的非平凡解，故无例3.16已知一曲线的曲率恒为(R为常数)，试求此曲线的方程.

解由题意知：令y′=u，则y″=u′代入得

下面再考虑一种线性方程:例3.16已知一曲线的曲率恒为(R为常数)，试求此(3.68)这样的方程直接求解是很困难的，但是经过自变量的变换(3.69)(3.68)这样的方程直接求解是很困难的，但是经过自变量(3.70)(3.70)例3.17解方程解由于我们限于求t>0时方程的解，因此，作自变量的变换于是利用公式(3.70)得到即它的通解很容易求出（见第4章）.例3.17解方程解由于我们限于求t>0时方程的2.幂级数解法

幂级数解法适用于广泛的一类方程.下面以二阶线性方程:(3.71)为例来介绍这种方法.假设a(t)和b(t)都在t=t0附近是解析的，即在t=t0附近可展成t-t0的幂级数：(3.72)可以证明：对任意的x0、x0′，方程(3.71)都在t=t0附近有满足初值条件:(3.73)2.幂级数解法

幂级数解法适用于广泛的一类方程.下面的解析解，即存在函数x=x(t)，它满足初值条件式(3.73)，并且在t=t0附近可展成幂级数：(3.74)

证明的方法是：设想初值问题式(3.71)和(3.73)的解x(t)在t=t0附近可展成式(3.74).将a(t)、b(t)和x(t)的展式代入方程(3.71)的左端，形式地逐项取微商，经整理，便得到一个幂级数.然后让它每一项的系数都等于零，便得到一系列联系着ck(k=0,1,…)和ak、bk(k=0,1,…)的代数关系式.利用这些关系式和初值条件式(3.73)，我们可依次将ck(k=0,1,…)通过x0、x0′和ak、bk(k=0,1,…)加以确定.确定了系数ck(k=0,1,…)，也就确定了幂级数式(3.74).可以证明：这样确定出的幂级数式(3.74)在t=t0附近是收敛的.的解析解，即存在函数x=x(t)，它满足初值条件式(3.73这一点一经证明，我们就可以断定：由这一幂级数式(3.74)表示的解析函数x=x(t)在t=t0附近一定是初值问题式(3.71)和(3.73)的解.这是因为，幂级数在其收敛域内可以逐项取微商任意多次，由系数ck(k=0,1,…)的确定方式可知，将x=x(t)的表达式（连同a(t)、b(t)的表达式(3.72))代入方程(3.71)的左端后必恒等于零.对于满足初值问题式(3.73)，根据系数c0、c1的取法也是明显的.在这里，我们不准备对一般的方程(3.71)来证明按上述方式确定的幂级数式(3.74)在t=t0附近的收敛性，因为在后面，我们将对更一般的方程给出这一论断的证明.这一点一经证明，我们就可以断定：由这一幂级数式(3.74)表例3.18在t=0附近求解勒让德(Legendre,1752-1833)方程:(3.75)其中α是常数.解显然在t=0附近，方程的系数都是解析的.将代入(3.75),得例3.18在t=0附近求解勒让德(Legendre,1把左端的同幂项合在一起，并令各项的系数为零，得到下列关系式:由此得把左端的同幂项合在一起，并令各项的系数为零，得到下列关系式:于是当m=1,2,…时于是当m=1,2,…时取c0=1,c1=0和c0=0，c1=1,分别得到(3.76)利用达朗贝尔(D′Alembert,1717-1783)判别法容易证明，这两个幂级数的收敛半径为1.因此，由它们定义的两个函数在|t|<1上都是方程(3.75)的解.由c0、c1的取法知，x1(0)=1,x1′(0)=0,x2(0)=0，x2′(0)=1,所以x1(t)与x2（t)线性无关，因而方程(3.75)的通解为取c0=1,c1=0和c0=0，c1=1,分别得到(3.7

假如a(t)、b(t)在t=t0的邻域内不是解析的，比如其中p(t)、q(t)都是t=t0的某邻域内的解析函数，则我们可试求方程(3.71)的如下形状的级数解:其中,α和ck(k=0,1,…)都是待定常数，c0≠0.假如a(t)、b(t)在t=t0的邻域内不是解析的，比如例3.19在t=0附近解贝塞尔(Bessel,1784-1846)方程:(3.77)其中为非负实数.

解令(3.78)把它代入方程(3.77),得例3.19在t=0附近解贝塞尔(Bessel,1784合并同幂项，并令各项系数为零，就给出因为c0≠0，所以由第一个方程(称为指标方程)可求出α的两个值：α=n,α＝-n.

先考虑α=n的情形.这时有合并同幂项，并令各项系数为零，就给出因为c0≠0，所以于是当m=1,2,…时，c2m-1=0，且代入式(3.78)，得于是当m=1,2,…时，c2m-1=0，且代入式(3.78利用达朗贝尔判别法容易验证，它在整个t轴上有定义.利用Γ函数的性质:并取常数，进一步可得到它称为n阶贝塞尔函数.利用达朗贝尔判别法容易验证，它在整个t轴上有定义.利用Γ函数

对于α=-n的情形，如果2n不等于任何整数，或2n等于某个奇数，我们可以类似地求得与x1(t)线性无关的另一解：称为-n阶贝塞尔函数.当2n等于某个非零偶数时，不可能从上述递推公式得出与α=-n对应的级数解.因此在这种情形，以及在n=0的情形中，需要另想办法.例如应用前述降阶法可得出方程(3.77)的通解：对于α=-n的情形，如果2n不等于任何整数，或2n等于某例3.20试用幂级数方法解方程:并求出幂级数解的收敛半径及函数.例3.20试用幂级数方法解方程:并求出幂级数解的收敛故故由知f(x)在(-∞,+∞)上收敛，和函数为sinx.故故由知f(x)在(-∞,+∞)上收敛，和函数为sinx 3.8线性方程的复值解

为了定义并研究复值解，我们先引进有关实变量复值函数的一些简单概念.如果对任何t∈I，都有一确定的复值u(t)+iv(t)与之对应，这里u(t)、v(t)都是实数，就说在区间I上给出了一个实变量的复值函数，记为z=u(t)+iv(t)，或简记为z=φ(t).

我们说当t→t0时，函数φ(t)=u(t)+iv(t)的极限为A=α+iβ，记为 3.8线性方程的复值解

为了定义并研究复值解，当t→t0时，它的实部u(t)和虚部v(t)分别以α和β为极限.函数φ(t)在t=t0处连续(或可微)，是指它的实部u(t)和虚部v(t)都在t=t0处连续(或可微).φ(t)在t=t0处的微商定义为在这样的定义下，可直接验证，熟知的关于两个函数之和、积、商的微商公式，对于实变量的复值函数仍然成立.

函数φ(t)在(t1,t2)上可积，是指它的实部u(t)和虚部v(t)都在(t1,t2)上可积；φ(t)在(t1,t2)上的积分定义为当t→t0时，它的实部u(t)和虚部v(t)分别以α和β为极

以后我们用的最多的实变量复值初等函数是指数函数，即行如eα+iβ的函数，这里α和β是实数.我们按照下述方式来定义这种函数.

大家知道，对实数τ，有实际上，右端的幂级数可以作为eτ的定义.现以纯虚数iβ替代上式中的τ，并将实部和虚部分开，即以后我们用的最多的实变量复值初等函数是指数函数，即行如e其实部和虚部恰好是cosβ和sinβ的展开式.因此我们定义

由于对任何实数τ1、τ2，有因此我们定义

在这样的定义下，容易验证：对任何复数λ1、λ2，有其实部和虚部恰好是cosβ和sinβ的展开式.因此我们定义同样容易验证如下的微分公式:其中λ为复常数，t为实变量.

有了以上的准备，我们就可以讨论线性方程的复值解了.尽管我们可以针对方程的系数和非齐次项都是实变量复值函数的情形来进行，但为简单计，我们仍假设方程的系数和非齐次项都是区间I的实值函数，并且是连续的.

和实值解一样，如果一个实变量的复值向量函数φ(t)恒满足线性方程组（NH)且在I上φ′(t)存在，则称φ(t)为线性方程组(NH)在区间I上的解.同样容易验证如下的微分公式:其中λ为复常数，t为实变量.由于aij(t)、f(t)都是实值函数，显而易见，一个复值向量函数φ(t)=u(t)+iv(t)是线性方程组(NH)的解的充要条件是，它的实部u(t)是线性方程组(NH)的解，而虚部v(t)则是齐次线性方程组(LH)的解.特别是，一个复值向量函数φ(t)=u(t)+iv(t)是齐次线性方程组(LH)的解的充要条件是，它的实部u(t)和虚部v(t)都是齐次线性方程组(LH)的解.

根据这一事实和前面已经得到的结果，容易看出：关于线性方程组(NH)的初值问题的存在与唯一性定理以及关于齐次线性方程组(LH)和线性方程组(NH)通解结构的定理等，对于复值解仍然成立.只不过在存在与唯一性定理中，初值ξ可取为n维复向量，在通解的表达式中，c1,c2,…,cn是复常数.由于aij(t)、f(t)都是实值函数，显而易见，一个复第3章线性方程3.1引言3.2解的存在性与唯一性3.3齐次线性方程组通解的结构3.4非齐次线性方程组通解的结构3.5边值问题和周期解3.6高阶线性方程3.7线性微分方程的一些求解方法3.8线性方程的复值解第3章线性方程3.1引言 3.1引言

在第2章中，我们介绍了解微分方程的一些初等积分法，利用这些方法，人们可以求得方程的通解表达式.然而，能用初等积分法解出的微分方程是很少的.这就迫使人们将注意力转移到直接根据方程的结构以及出现在方程中的函数的性质去探索解的各种性质，建立方程的各种理论.本章至第5章所要讲述的就是沿着这个方向建立的基本理论和基本方法. 3.1引言

在第2章中，我们介绍了解微分

本章研究一类具有特殊结构的方程，即线性方程.这类方程，虽然结构简单，但一般不能用初等积分法求得它的通解表达式.然而，人们可直接根据方程的特点，从理论上推断它的通解具有简单而清晰的结构.这一重要事实不仅是线性方程理论的基石，而且在非线性方程的研究中也有着重要的应用.本章研究一类具有特殊结构的方程，即线性方程.这类方程，虽

由于高阶微分方程式总可以化成一阶微分方程组，因此本章将首先研究一阶线性微分方程组，然后将一阶线性微分方程组的结果应用到高阶线性微分方程式上.所谓一阶线性微分方程组,是指形如(3.1)的方程组，它的右端是x1,…,xn的线性函数，这里aij、fi(i,j=1,…,n)都是区间I上的已知函数.由于高阶微分方程式总可以化成一阶微分方程组，因此本章将首

为了书写方便，引进向量和矩阵记号.记则方程组(3.1)可以简写为(3.2)其中,A(t)和f(t)分别称为系数矩阵和非齐次项.当非齐次项f(t)≡0时，式(3.2)变成(3.3)为了书写方便，引进向量和矩阵记号.记则方程组(3.1)可它称为齐次线性微分方程组.而当非齐次项，即fi(t)(i=1,…,n)不都恒等于零时，式(3.2)称为非齐次线性微分方程组.

初值条件也可简记为其中为维列向量，即向量的转置.以后凡谈到向量，如无特殊说明，都是指列向量.为了便于对写成向量和矩阵形式的微分方程组(3.2)进行讨论，我们引进一些记号和概念.它称为齐次线性微分方程组.而当非齐次项

称一矩阵（包括作为特殊矩阵的向量）函数是连续（或可微，或连续可微，等等）的，指的是它的每一个元素都是连续（或可微，或连续可微，等等）的；一矩阵函数的导数（或积分，或极限）,是指这样一个矩阵函数，它的各个元素是原矩阵的相应元素的导数（或积分，或极限）；称一矩阵函数序列是收敛（或在区间Ｉ上一致收敛）的，指的是它的每一个相应元素作成的序列是收敛（或在区间I上一致收敛）的.

如果称一矩阵（包括作为特殊矩阵的向量）函数是连续（或可微，或则记而依次称为向量x和矩阵A的模，也称为范数.从定义出发，容易推出如下几个不等式：

(1)|Ax|≤|A|·|x|.(2)若B也是n×n矩阵，则|AB|≤|A|·|B|；特别对任意自然数m，有则记而依次称为向量x和矩阵A的模，也称为范数.从定义出发，

(3)三角不等式：若y也是n维向量，则|x+y|≤|x|+|y|.

(4)若x(t)是n维向量，且在a≤t≤b上连续，则(3)三角不等式：若y也是n维向量，则|x+y|≤|x| 3.2解的存在性与唯一性

对于一个不能用初等积分法求解的微分方程，首要问题是，它是否有解？更明确地说，是否有满足给定初值条件的解？进而还要问：满足给定初值条件的解是否唯一？这些问题得不到满意的回答，就很难再谈关于这一方程的其他研究.下面的定理就线性方程组的情形对上述问题给出了完满的回答，它是线性微分方程理论的基础. 3.2解的存在性与唯一性

对于一个不能用初等积分

定理3.1设A(t)和f(t)均在区间I上连续，则对任一t0∈I和任意n维常向量ξ,方程组(3.2)恒有定义在整个区间I上且满足初值条件式(3.4)的解.此外，方程组(3.2)也只能有一个解满足初值条件式(3.4).

证明这个定理的证明分4步完成.

(1)把初值问题式(3.2)、(3.4)化成下述等价的积分方程组：(3.5)等价的意思是：如果x=φ(t)是初值问题式(3.2)、(3.4)的解，则它是积分方程组(3.5)的连续解；反之，如果x=φ（t)是积分方程组(3.5)的连续解，则它必是初值问题式(3.2)、(3.4)的解.这样一来，我们就只需证明：积分方程组(3.5)在区间I上有连续解，且只能有一个连续解.定理3.1设A(t)和f(t)均在区间I上连续，则对任(2)用逐步逼近法构造皮卡（Picard,1856-1941）序列，即用数学归纳法容易证明，φk(t)(k=1,2,…)在区间I上有定义且连续.(2)用逐步逼近法构造皮卡（Picard,1856-19(3)证明序列{φk(t)}在区间I内一致收敛（即在I的任意有限闭子区间上一致收敛），且其极限函数是积分方程组(3.5)在区间I上的连续解.

事实上，假设I1是I的一个任意给定的有限闭子区间，且t0∈I1.由序列与级数的关系知，只需证明无穷级数(3.7)在I1上一致收敛.以K表示|A(t)|和|A(t)ξ+f(t)|在I1上的一个公共上界.于是当t∈I1时,有(3)证明序列{φk(t)}在区间I内一致收敛（即在I的用数学归纳法容易证明，对任意自然数m，有用数学归纳法容易证明，对任意自然数m，有(常微分方程)第3章线性方程课件(4)证明唯一性，即证明：如果x=ψ(t)，在区间上是方程组(3.5)的连续解，且t0∈I0，则在I0上必有(3.8)(3.9)于是我们有(4)证明唯一性，即证明：如果x=ψ(t)，在区间把它代入式(3.9)右端，进而得到用数学归纳法容易证明，对任意自然数m，有将定理3.1应用于方程组(3.3)特别就有把它代入式(3.9)右端，进而得到用数学归纳法容易证明，对引理3.1方程组(3.3)的解，若在区间I的某点处为零（向量），则必在区间I上恒等于零（向量）.

证明设x=x(t)是方程组(3.3)在I上的解，它在t0∈I处为零（向量）,则x=x(t)是方程组(3.3)满足初值条件x(t0)=0的解.由于x=0也是此方程组满足同一初值条件的解，因此根据定理3.1所指出的唯一性即知，必有引理证完.引理3.1方程组(3.3)的解，若在区间I的某点处为零注3.2皮卡迭代序列提供了近似求解方程组(3.2)的初值问题的方法.注3.3设I=R1且A(t)和f(t)是以正数ω为周期的周期函数,x=φ(t)是方程组(3.2)在R1上的解，则φ(t)是以ω为周期的周期函数,当且仅当φ(0)=φ(ω).注3.2皮卡迭代序列提供了近似求解方程组(3.2)的初例3.1半径为R的球一半沉入水中，用手将其稍微向下按后放手，球即上下振动，求振