追本溯源理解等号的含义

本文格式为Word版，下载可任意编辑——追本溯源理解等号的含义蒲小丽

等号是数学领域中一个极其重要的符号，它既是表示得出运算结果的符号，也是表示等价关系的符号。好多时候，等号的这两种含义相伴相随，不需要明确区分。但在有余数的除法算式中，等号只表示得出运算结果，却不表示等价关系。在教学中可以让学生独立计算，引发认知冲突以及进行推理验证，先逆推验算结果，再说清道理，从而理解等号的含义。

小学数学;等号;等价关系;带余除法

在小学数学中，学生是在一年级的“对比〞当中第一次接触等号的。在这节课上，学生要体会到：两个量的多少关系可以分为两类，一类是相等关系，可以用等号表示，另一类是不相等的关系，可以用大于号或者小于号表示它们之间的关系。之后，学生开始在运算中使用等号，如3+4=7，这个时候大部分师生都把等号看作是得出运算结果的符号。接着，学生还会遇到下面几种类型的练习，如：（1）7=□+□;（2）把1，2，3，4这四个数分别填在□里，□+□=□+□等。经过这些练习，学生逐步认识到等号还可以连接值相等的式子，即表达等价关系。

学生在二年级下学期学习带余除法之前，遇到的等号都可以看作是在表达“等价〞关系（如3+4=7，可以看作是在表达3个和4个合起来，结果是7个，这时等号表示的是“得出〞，但同时3+4=7也可以看作是在表达3个和4个合起来，与7同样多。这时就是在表达等价关系）。可是带余除法中的“=〞只表示“得出〞，不表示“等价〞，这和学生脑海中熟悉的等号两种含义的“两位一体〞有区别，大部分师生都没有认识到这点。在今后很长的一段时间里，学生即使没有认识到带余除法中的“=〞不表示“等价关系〞，也不会有麻烦。直至到四年级上学期学习了“商不变的规律〞后，学生的困惑就出现了。

譬如，求解90÷40，有的学生用已把握的列竖式的方法计算后，得到的商是2，余数是10，也就是90÷40=2……10（以下简称为算法1），也有学生运用商不变规律，被除数和除数都除以10，得到9÷4，然后再计算得到的商是2，余数是1，也就是90÷40=2……1（以下简称为算法2）。假如教师引导学生交流探讨，会发现多数学生都知道只有算法1是正确的，由于算法2中的余数是1，和算法1中的余数不一样，所以算法2是错的，但是他们又模模糊糊地感觉到，根据商不变性质，算法2貌似也有道理，所以他们弄不明了算法2毕竟哪里出错了。

那么算法2到底错在哪儿？学生为何难以理解错误原因？教师应当如何进行有针对性的教学？下面将分别从数学分析、认知分析、教学分析、教学反思四个方面对此进行探讨。

一、数学分析

先从数学的角度看看如何理解等号的含义，如何理解带余除法。

等号有两方面的含义，一方面，它是表示得出运算结果的符号;另一方面，它也是表示等价关系的符号。作为得出运算结果的符号对比好理解，不展开探讨，这里主要探讨等号作为表示等价关系的含义。当等号表示等价关系时，它具有以下三特性质：（1）反身性。也就是自己等于自己，即a=a。（2）对称性。意思是等号两边的数或者量相互交换位置后，等式仍旧成立。即假如a=b，那么b=a。（3）传递性。也就是假如a=b，b=c，那么a=c。

再来看看什么是带余除法。对于一对整数a，b（b≠0），存在唯一确定的整数q和r满足：a=bq+r，0≤r<b，这样的运算叫作有余数的除法，也叫作带余除法。

当r=0时，在整除的状况下，a=bq。令被除数和除数都乘一致的数m（m≠0），得am=（bm）q，商仍为q;令被除数和除数都除以一致的数m（m≠0），得[am=bmq]，商仍为q不变。这是商不变的数学原理。

当r≠0时，被除数和除数都除以一致的数10，则[a10=b10q+][r10]，商仍为q，但是余数[r10]仅为原式中r的[110]。即上述等式中等号两边都除以10，得到9=4×2+1，新得到的余数1应当乘10才是90÷40真正的余数。故若要使用简便运算的方法，不能将被除数和除数都除以一致的数，把所得的新的带余除法算式的余数作为原来算式的余数。

现在，我们来看，小学阶段讲的带余除法算式a÷b=q……r中的“=〞，它并不能表示等价关系，由于带余除法中的“=〞并不满足等号表示等价关系时的三特性质。

1.不满足反身性和对称性。如9÷4=2……1，不能写成2……1=9÷4。

2.不满足传递性。如9÷4=90÷40，9÷4=2……1;但90÷40≠2……1。

也就是说，带余除法中的“=〞不表示等价关系，在这里，等号只是表示得出运算结果的符号。

二、认知分析

学生的不解和教师的困惑，还可以从认知的角度去理解和分析。学生的学习过程往往会受到他原有知识基础的影响。学生在学习带余除法之前，遇到的等号表示“得出〞和表示“等价〞并没有明显的区分。譬如算式5+3=8中，一方面，可以把8看成是5+3得出的结果，同时，5+3和8也具有等价的关系，所以在前面的学习当中，表示“得出〞和表示“等价〞关系的等号同时存在，在学生的头脑中它们是两位一体的，因此学生不会去区分这两者之间的区别。

当学生遇到带余除法中的等号，以为带余除法中的“=〞也是既表示“得出〞，又表示“等价〞，这是很正常的现象。由于在学生的学习经验中，并没有遇到过不同，所以学生也就不会去判断遇到的“=〞是不是表示“得出〞或者是不是表示“等价〞，这符合学生的认知规律。

三、教学分析

根据前面的分析可知，学生存在困惑符合他们的认知规律，但数学上等号的这两种含义又有所区别。因此，在教学中要想让学生理清这两者之间的关系，就需要关注等号两种不同含义的辨析。具体可以采用如下教学过程。

（一）独立計算，引发认知冲突

1.教师浮现问题“90÷40=〞请学生独立计算。

2.交流計算方法与结果。

在学生计算得出2……1和2……10两种不同结果时，教师追问：“你是怎么想的？〞让学生充分展示自己的方法和思考过程，再追问：“他说的有道理吗？〞引出问题，形成认知冲突，引起学生的求知欲。

（二）推理验证，逆推验算结果

1.教师提醒：顺向看，两种方法都有道理，假如想验证毕竟哪个结果正确，可以采用代入法拟推验证结果。

2.学生验算两个结果，得出40×2+10=90，结果正确，40×2+1=81，说明结果错误。

（三）说清道理，理解等号含义

1.请学生观测并思考：6÷3=8÷4可以写成8÷4=6÷3，90÷40=2……10，你会写成2……10=90÷40吗？为什么？

2.通过探讨使学生明确8÷4=6÷3，等号两边可以交换位置，表达的是“等价关系〞，而90÷40=2……10，等号表达的是2……10是计算90÷40得到的结果，是对结果的一种记录方法。

3.引导学生体会90÷40=2……10，2……10是计算90÷40得到的结果的一种表示方式。假如90÷40除数和被除数同时缩小10倍，商2不会发生变化，但余下的部分也会随着除数和被除数的变化发生变化，也就是说余数10也要缩小10倍。

4.练习应用。

四、教学反思

其实在教学中，经常会遇到一些学生的错误，有些错误具有特性特点，也有些错误具有共性特征。譬如对带余除法和带余除法中“=〞的理解问题，它不受时间和地区的限制，总会发生。城市里的学生有这样的问题，乡镇里的学生也有这样的