指数函数和对数函数的知识点及典型例题

/12（1）logb义loga-1；（2）logbn=—logb（a、b>0且均不为1）.abamma证明：（1）logb-loga-世.畋-1；ablgalgbTOC\o"1-5"\h\z（2）lgbnnlgbn（2）logb——-——logb.amlgammlgama【例4】计算：（1）51Tog0.2；（2）log3-log2+logV32.492解：（1）原式=-上-5-15;slog0?35.3（2）原式=-log3•-log2+5log2--+5-3.22234，442【例5】已知log9-a,18b-5，求log45（用a,b表示）.1836解：:log9-a,，log—-1-log2-a，1818218，log2-1-a,18又・・T8b-5,・'・log5-b,18log45log9+log5a+bTOC\o"1-5"\h\z・・log45-18-1818——•36log361+log22-a1818【例6】设3一4"6z-1>1,求证：1-1--1zx2y证明：3X-4y-6z-t>1,lgtlg4lgtlg4z-昱lg6.11lg6lg3lg2lg41，•————zXlgtlgtlgt2lgt2y四、对数函数1.对数酸的定义：龌攵y-logaX（a＞皿a01）叫做对嫡数。

（1）定义域、值域：对数函麴=logXm>0且aw1）的定义域为（0,+8）,值域为（-8,+8）.a（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于y=x的对称图形，即可获得。同样：也分”>1与。两种情况归纳，以y=log，（图1）与y=logx（图2）为例。2y-(-)x乙1(图2(图2)（3）对数函数性质列表:图象a>10<a<1x-11—y-logxa(1,0)x-1(1,0)y-logxa性质（1）定义域：（0,+8）（2）值域：R（3）过点（1,0），即当x-1时，y-0（4）在（0，8）上是增函数（4底（0,+8）上是减函数【例1】求下列函数的定义域:(1)y-logx2；(2)y-log(4—x)；(3)y-log(9—x2).aaa分析：此题主要利用对数函数y-logx的定义域(0,+8)求解。a解：(1)由x2>0得x牛0，，函数y=log%2的定义域是｛xx丰。｝；

a(2)由4-x>0得x<4,・..函数y=loga(4—x)的定义域是｛xx<4｝；(3)由9-—x2>0得-3<x<3,・•.函数》=log(9—x2)的定义域是｛x—3<x<3｝.a【例2】比较下列比较下列各组数中两个值的大小：(1)1.10.9，log0.9，log0.8；(2)log3，log3，log3．TOC\o"1-5"\h\z0.7567解：(1):1.10.9>1.10=1,log0.9<log1=0,

1.11.10=log1<log0.8<log0.7=1,0.70.70.7・1.10.9>log0.8>log0.9．

0.71.1(2)<0<log5<log6<log7,333・log3>log3>log3．567【例3】求下列函数的值域：(1)y=log(x+3)；(2)y=log(3—x2)22解：(1)令t=x+3，则y=logt,2・・・t>0,,yeR，即函数值域为R.(2)令t=3—x2,则0<t<3,・y<log3,即函数值域为(flog3].22【例4】判断函数f(x)=log晨:x2+1-x)的奇偶性。2解：:Jx2+1>x恒成立，故f(x)的定义域为(一8,+8),/(-X)=log(Jx2+l+x)2Jx2+1-X=-log/(V%2+1)2-%2=-logyjx2+l-x=-f(x),2所以，于(X)为奇函数。【例5】求函数)=210gJX2—3x+2)的单调区间。3解：令M=X2—3x+2=(x—3)2」在士+00)上递增，在(—00,3］上递减，2422又二不2一3%+2〉0,x>2ngx<1,故1/=也