高等数学二重积分的计算课件

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二重积分的计算一、利用直角坐标计算二重积分

二、利用极坐标计算二重积分

三、无界区域上的反常二重积分

1二重积分的计算一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐2

在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则一、利用直角坐标计算二重积分2在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分3（1）如果积分区域为：［X－型］

X型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.3（1）如果积分区域为：［X－型］X型区域的特点：穿过4（2）如果积分区域为：［Y－型］

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.4（2）如果积分区域为：［Y－型］Y型区域的特点：穿过区51.当D既不是X-型区域也不是Y-型区域时,将D分成几部分，使每部分是X-型区域或是Y-型区域.注意：2.当D既是X-型区域也是Y-型区域时,可以用两个公式进行计算.ⅠⅡⅢyx0yx0cdabD51.当D既不是X-型区域也不是Y-型区域时,将D分成几部分6例

计算其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭区域.解法1：先y后x

··xyx012y=xy=1x=26例计算其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭7解法2：先x后yyx012y=xx=2··y7解法2：先x后yyx012y=xx=2··y8选取积分次序,不仅要看区域的特点,而且要看被积函数的特点，凡遇如下形式积分:一定要放在后面积分.等等8选取积分次序,不仅要看区域的特点,而且要看被积函数的特点，9解例计算(1,1)9解例计算(1,1)10解积分区域如图例改变积分的次序.10解积分区域如图例改变积分的次序.11例交换积分次序：解原式=11例交换积分次序：解原式=12例交换积分次序：解积分区域:原式=12例交换积分次序：解积分区域:原式=13例

求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为及

解

求所围成的立体的体积.13例求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为14解曲面围成的立体如图.例

求由下列曲面所围成的立体体积，14解曲面围成的立体如图.例求由下列曲面所围成的立151516例解16例解17二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）小结［Y－型］［X－型］（1）化二重积分为二次积分；（2）交换积分次序；题型17二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次18练习题（3）交换积分次序18练习题（3）交换积分次序19直角坐标系与极坐标系的变换关系两坐标系下积分区域形状不变，因此有二、利用极坐标计算二重积分19直角坐标系与极坐标系的变换关系两坐标系下积分区域形状20化为极坐标二次积分的几种情形（1）区域特征如图20化为极坐标二次积分的几种情形（1）区域特征如图21（2）区域特征如图21（2）区域特征如图22（3）区域特征如图22（3）区域特征如图23极坐标系下区域的面积（4）区域特征如图23极坐标系下区域的面积（4）区域特征如图24解24解25解25解26解26解2727282829解29解30解30解31基本解法：先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解.解

先考虑圆域三、无界区域上的反常二重积分31基本解法：先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区323233练习题33练习题343435

二重积分的计算一、利用直角坐标计算二重积分

二、利用极坐标计算二重积分

三、无界区域上的反常二重积分

1二重积分的计算一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐36

在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则一、利用直角坐标计算二重积分2在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分37（1）如果积分区域为：［X－型］

X型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.3（1）如果积分区域为：［X－型］X型区域的特点：穿过38（2）如果积分区域为：［Y－型］

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.4（2）如果积分区域为：［Y－型］Y型区域的特点：穿过区391.当D既不是X-型区域也不是Y-型区域时,将D分成几部分，使每部分是X-型区域或是Y-型区域.注意：2.当D既是X-型区域也是Y-型区域时,可以用两个公式进行计算.ⅠⅡⅢyx0yx0cdabD51.当D既不是X-型区域也不是Y-型区域时,将D分成几部分40例

计算其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭区域.解法1：先y后x

··xyx012y=xy=1x=26例计算其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭41解法2：先x后yyx012y=xx=2··y7解法2：先x后yyx012y=xx=2··y42选取积分次序,不仅要看区域的特点,而且要看被积函数的特点，凡遇如下形式积分:一定要放在后面积分.等等8选取积分次序,不仅要看区域的特点,而且要看被积函数的特点，43解例计算(1,1)9解例计算(1,1)44解积分区域如图例改变积分的次序.10解积分区域如图例改变积分的次序.45例交换积分次序：解原式=11例交换积分次序：解原式=46例交换积分次序：解积分区域:原式=12例交换积分次序：解积分区域:原式=47例

求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为及

解

求所围成的立体的体积.13例求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为48解曲面围成的立体如图.例

求由下列曲面所围成的立体体积，14解曲面围成的立体如图.例求由下列曲面所围成的立491550例解16例解51二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）小结［Y－型］［X－型］（1）化二重积分为二次积分；（2）交换积分次序；题型17二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次52练习题（3）交换积分次序18练习题（3）交换积分次序53直角坐标系与极坐标系的变换关系两坐标系下积分区域形状不变，因此有二、利用极坐标计算二重积分19直角坐标系与极坐标系的变换关系两坐标系下积分区域形状54化为极坐标二次积分的几种情形（1）区域特征如图20化为极坐标二次积分的几种情形（1）区域特征如图55（2）区域特征如图21（2）区域特征如图56（3）区域特征如图22（3）区域特征如图57极坐标系下区域的面积（4）区域特征如图23极坐标系下区域的面积（4）区域特征如图58解