函数、极限与连续(高等数学)课件

（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念第一章主要内容1ppt课件（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念第一章函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质奇偶性单调性有界性周期性2ppt课件函数反函数隐函数反函数与直接基本初等函数复合函数初等函1、函数的定义3ppt课件1、函数的定义3ppt课件▲函数的两要素:定义域与对应法则.自变量因变量对应法则f辨别下列各对函数是否相同,为什么?不同,定义域不同

不同,对应关系不同

相同,定义域和对应关系都相同4ppt课件▲函数的两要素:定义域与对应法则.自变量因变量对应法则f辨▲函数的定义域在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定。

用解析式表示的函数，其定义域是自变量所能取的使解析式有意义的一切实数，通常要考虑以下几点：(6)如果函数表达式是由几个数学式子组合而成，则其定义域应取各部分定义域的交集。(1)在分式中，分母不能为零；(2)在根式中，负数不能开偶次方根；

(3)在对数式中，真数必须大于零；(5)y=arcsinx和y=arccosx中,x∈[-1,1]5ppt课件▲函数的定义域用解析式表示的函数，其定义域是自变量所能取的使例：求下列函数的定义域

［Ａ］．即所以定义域为(-∞,-4)∪(-4,1)∪(1,+∞)即解得所以定义域为[-1,1)∪(1,+∞)(2)要使函数有意义,必须有且有解:(1)要使函数有意义，必须有分母取其公共部分6ppt课件例：求下列函数的定义域［Ａ］．即所以定义域为(-∞,-4解所以定义域为(-3,+∞)(4)要使函数有意义,必须有

所以定义域为(-1,1)[B].(3)(4)(3)要使函数有意义，必须有解得练习：P9237ppt课件解所以定义域为(-3,+∞)(4)要使函数有意义,必须有所例.设,求下列函数值

解:

解:解：

1）2）3）8ppt课件例.设,求下列函数值解:解:解：1(1)函数的奇偶性:偶函数奇函数yxo2、函数的性质9ppt课件(1)函数的奇偶性:偶函数奇函数yxo2、函数的性质9pp(2)函数的单调性:

设函数f(x)的定义域为D，区间ID，如果对于区间I上任意两点及，当时，恒有：(1),则称函数在区间I上是单调增加的；或(2),则称函数在区间I上是单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。10ppt课件(2)函数的单调性:设函数f(x)的定义域为D，(3)函数的有界性:11ppt课件(3)函数的有界性:11ppt课件设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.(4)函数的周期性:oyx12ppt课件设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数13ppt课件13ppt课件说明：反函数与直接函数之间的关系3、反函数14ppt课件说明：反函数与直接函数之间的关系3、反函数14ppt课件6、基本初等函数1）幂函数2）指数函数3）对数函数4）三角函数5）反三角函数15ppt课件6、基本初等函数1）幂函数2）指数函数3）对数函数4）三角函1.幂函数16ppt课件1.幂函数16ppt课件2.指数函数17ppt课件2.指数函数17ppt课件3.对数函数18ppt课件3.对数函数18ppt课件4.三角函数正弦函数19ppt课件4.三角函数正弦函数19ppt课件余弦函数20ppt课件余弦函数20ppt课件正切函数21ppt课件正切函数21ppt课件余切函数22ppt课件余切函数22ppt课件5.反三角函数23ppt课件5.反三角函数23ppt课件24ppt课件24ppt课件25ppt课件25ppt课件幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.26ppt课件幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角7、复合函数8、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.练习：P101127ppt课件7、复合函数8、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限等价无穷小及其性质唯一性无穷小两者的关系无穷大28ppt课件左右极限两个重要求极限的常用方法无穷小极限存在的判定极限无穷1、极限29ppt课件1、极限29ppt课件30ppt课件30ppt课件左极限右极限31ppt课件左极限右极限31ppt课件函数的极限与左、右极限有如下关系：2.常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在例判断函数

在点处是否有极限.

解:因为所以说明：1.左极限与右极限中只要有一个不存在，或者都存在但不相等，则函数的极限不存在。32ppt课件函数的极限与左、右极限有如下关系：2.常用来判断分段函数在左右极限存在但不相等,证习题：P18333ppt课件左右极限存在但不相等,证习题：P18333ppt课件定理(唯一性定理)如果函数在某一变化过程中有极限，则其极限是唯一的．定理(有界性定理)若函数f(x)当x→x0时极限存在，则必存在x0的某一邻域，使得函数f(x)在该邻域内有界．函数极限的性质34ppt课件定理(唯一性定理)如果函数在某一变化过程中定理(有界性定定理(保号性)推论35ppt课件定理(保号性)推论35ppt课件无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大:在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系2、无穷小与无穷大36ppt课件无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大的变量称为无性质3在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.性质1有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论常数与无穷小的乘积是无穷小.性质2有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质37ppt课件性质3在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.性质一、无穷小量二、无穷小的性质三、极限与无穷小的关系四、无穷大量五、无穷小与无穷大的关系六、小节补充无穷大与无穷小38ppt课件一、无穷小量补充无穷大与无穷小38ppt课件定义若变量Y在某过程下以零为极限，则称变量Y在此过程下为无穷小量，简称无穷小.例1例2时的无穷小量.时的无穷小量.因为所以因为所以一、无穷小量39ppt课件定义若变量Y在某过程下以零为极限，则称变量Y在此过程下例如函数时的无穷小，但当时不是无穷小。当时，的极限不为零，所以当时，函数不是无穷小，而当时是无穷小量。应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数。因此应明确指出其变化过程。

40ppt课件例如函数(4)

有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.(3)常量与无穷小的乘积仍为无穷小.(2)有限个无穷小的乘积仍为无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

(1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小.二、无穷小的性质定理在自变量的同一变化过程中41ppt课件(4)有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.(3)常量与无穷小例3解注意这个极限不能用极限的四则运算法则求得，因为不存在.所以时的无穷小量.为有界变量,42ppt课件例3解注意这个极限不能用极限的四则运算法则求得，所以时的三、无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性43ppt课件三、无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性43ppt课件定义在自变量x的某一变化过程中,若函数值的绝对值无限增大，则称f(x)为此变化过程中的无穷大量，简称无穷大.记作四、无穷大量44ppt课件定义在自变量x的某一变化过程中,若函数值的绝对值特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.45ppt课件特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小,无穷小(不等于0)的倒数是无穷大.定理在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无穷大,则为无穷小;反之,若f(x)为无穷小且f(x)不等于0,则为无穷大.例如：五、无穷小与无穷大的关系46ppt课件简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一变化过程中，无以后，遇到类似例6的题目，可直接写出结果.例4解例5考察

当时，为无穷大量；

当时，为无穷小量；47ppt课件以后，遇到类似例6的题目，可直接写出结果.例4解例5考察六、小结1、主要内容:两个定义;定理.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.48ppt课件六、小结1、主要内容:两个定义;定理.2、几点注意:无穷小定理推论1推论23、极限的性质49ppt课件定理推论1推论23、极限的性质49ppt课件4、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.50ppt课件4、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;50p求极限方法举例例2解例1解：原式51ppt课件求极限方法举例例2解例1解：原式51ppt课件小结:52ppt课件小结:52ppt课件解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例353ppt课件解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例353ppt课件解例4(消去零因子法)54ppt课件解例4(消去零因子法)54ppt课件练习解解55ppt课件练习解解55ppt课件分母有理化，分子有理化56ppt课件分母有理化，分子有理化56ppt课件解：57ppt课件解：57ppt课件例5解(无穷小因子分出法)58ppt课件例5解(无穷小因子分出法)58ppt课件例6

，然后再求极限，得分母同时除以分子,3x解59ppt课件例6，然后再求极限，得分母同时除以分子,3x解59pp小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.60ppt课件小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以练习解61ppt课件练习解61ppt课件例7解先变形再求极限.62ppt课件例7解先变形再求极限.62ppt课件例8解63ppt课件例8解63ppt课件例9解左右极限存在且相等,64ppt课件例9解左右极限存在且相等,64ppt课件说明：1．什么情况下，需要分别求左右极限（１）求分段函数连接点处的极限

（２）被考虑的函数中，含有某些项其左右极限不相等

２.下列几个极限不存在65ppt课件说明：1．什么情况下，需要分别求左右极限（１）求分段函数连一个重要的结论则有例题练习：P19－20166ppt课件一个重要的结论则有例题练习：P19－20166p5、判定极限存在的准则(夹逼准则)67ppt课件5、判定极限存在的准则(夹逼准则)67ppt课件(1)(2)6、两个重要极限68ppt课件(1)(2)6、两个重要极限68ppt课件=0注意：(1)69ppt课件=0注意：(1)69ppt课件例1解1coslim0此题中用到xx=®例2解70ppt课件例1解1coslim0此题中用到xx=®例2解70ppt课例3解71ppt课件例3解71ppt课件练习：解答：72ppt课件练习：解答：72ppt课件(2)注意：73ppt课件(2)注意：73ppt课件例4解练习：或74ppt课件例4解练习：或74ppt课件例题75ppt课件例题75ppt课件例5解76ppt课件例5解76ppt课件定义:7、无穷小的比较77ppt课件定义:7、无穷小的比较77ppt课件定理(等价无穷小替换定理)8、等价无穷小的性质78ppt课件定理(等价无穷小替换定理)8、等价无穷小的性质78ppt课件几个重要的等价无穷小：当时，

79ppt课件几个重要的等价无穷小：当时，79ppt课件例解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意80ppt课件例解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换例解解错81ppt课件例解解错81ppt课件左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类82ppt课件左右连续在区间[a,b]连续函数初等函数间断点定义连续1、连续的定义83ppt课件1、连续的定义83ppt课件从而，则一定满足以下条件84ppt课件从而，则一定满足以下条件84ppt课件例1证由定义2知85ppt课件例1证由定义2知85ppt课件86ppt课件86ppt课件2.单侧连续定理3、连续的充要条件87ppt课件2.单侧连续定理3、连续的充要条件87ppt课件例2解右连续但不左连续,88ppt课件例2解右连续但不左连续,88ppt课件4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如通俗的说即一笔划过89ppt课件4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区5、间断点的定义90ppt课件5、间断点的定义90ppt课件1.跳跃间断点例解6、间断点的分类91ppt课件1.跳跃间断点例解6、间断点的分类91ppt课件2.可去间断点例92ppt课件2.可去间断点例92ppt课件解注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如上例中,93ppt课件解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类间断点跳跃型0yx0yx94ppt课件跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类3.第二类间断点例解95ppt课件3.第二类间断点例解95ppt课件例解96ppt课件例解96ppt课件例解函数在x=-1,x=0,x=1处没有定义所以x=-1,x=0,x=1是函数的间断点所以x=-1是函数的无穷间断点所以x=0是函数的跳跃间断点(Ⅰ)(Ⅱ)97ppt课件例解函数在x=-1,x=0,x=1处没有定所以x=1是函数的可去间断点(Ⅲ)98ppt课件所以x=1是函数的可去间断点(Ⅲ)98ppt课件解分界点为x=1,x=2（i）当x=1时所以x=1是函数的跳跃间断点练习：考察函数99ppt课件解分界点为x=1,x=2（i）当x=1时所以x=

（ii）讨论x=2而f(2)=5所以x=2是函数的连续的点因此,分段函数的分界点是可能间断点100ppt课件

（ii）讨论x=2而f(2)=5所以x=2是函数的例解101ppt课件例解101ppt课件7、闭区间的连续性8、连续性的运算性质定理102ppt课件7、闭区间的连续性8、连续性的运算性质定理102ppt课件定理9、初等函数的连续性定理103ppt课件定理9、初等函数的连续性定理103ppt课件定理基本初等函数在定义域内是连续的.定理一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.10、闭区间上连续函数的性质定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.104ppt课件定理基本初等函数在定义域内是连续的.定理一切初等函数定义:105ppt课件定义:105ppt课件几何解释:106ppt课件几何解释:106ppt课件四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．107ppt课件四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意例1证由零点定理,108ppt课件例1证由零点定理,108ppt课件例2证由零点定理,109ppt课件例2证由零点定理,109ppt课件补充：已知，求k的值解：因为所以即因此由110ppt课件补充：已知，求k的值解：因为所以即因此由110ppt课件（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念第一章主要内容111ppt课件（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念第一章函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质奇偶性单调性有界性周期性112ppt课件函数反函数隐函数反函数与直接基本初等函数复合函数初等函1、函数的定义113ppt课件1、函数的定义3ppt课件▲函数的两要素:定义域与对应法则.自变量因变量对应法则f辨别下列各对函数是否相同,为什么?不同,定义域不同

不同,对应关系不同

相同,定义域和对应关系都相同114ppt课件▲函数的两要素:定义域与对应法则.自变量因变量对应法则f辨▲函数的定义域在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定。

用解析式表示的函数，其定义域是自变量所能取的使解析式有意义的一切实数，通常要考虑以下几点：(6)如果函数表达式是由几个数学式子组合而成，则其定义域应取各部分定义域的交集。(1)在分式中，分母不能为零；(2)在根式中，负数不能开偶次方根；

(3)在对数式中，真数必须大于零；(5)y=arcsinx和y=arccosx中,x∈[-1,1]115ppt课件▲函数的定义域用解析式表示的函数，其定义域是自变量所能取的使例：求下列函数的定义域

［Ａ］．即所以定义域为(-∞,-4)∪(-4,1)∪(1,+∞)即解得所以定义域为[-1,1)∪(1,+∞)(2)要使函数有意义,必须有且有解:(1)要使函数有意义，必须有分母取其公共部分116ppt课件例：求下列函数的定义域［Ａ］．即所以定义域为(-∞,-4解所以定义域为(-3,+∞)(4)要使函数有意义,必须有

所以定义域为(-1,1)[B].(3)(4)(3)要使函数有意义，必须有解得练习：P923117ppt课件解所以定义域为(-3,+∞)(4)要使函数有意义,必须有所例.设,求下列函数值

解:

解:解：

1）2）3）118ppt课件例.设,求下列函数值解:解:解：1(1)函数的奇偶性:偶函数奇函数yxo2、函数的性质119ppt课件(1)函数的奇偶性:偶函数奇函数yxo2、函数的性质9pp(2)函数的单调性:

设函数f(x)的定义域为D，区间ID，如果对于区间I上任意两点及，当时，恒有：(1),则称函数在区间I上是单调增加的；或(2),则称函数在区间I上是单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。120ppt课件(2)函数的单调性:设函数f(x)的定义域为D，(3)函数的有界性:121ppt课件(3)函数的有界性:11ppt课件设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.(4)函数的周期性:oyx122ppt课件设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数123ppt课件13ppt课件说明：反函数与直接函数之间的关系3、反函数124ppt课件说明：反函数与直接函数之间的关系3、反函数14ppt课件6、基本初等函数1）幂函数2）指数函数3）对数函数4）三角函数5）反三角函数125ppt课件6、基本初等函数1）幂函数2）指数函数3）对数函数4）三角函1.幂函数126ppt课件1.幂函数16ppt课件2.指数函数127ppt课件2.指数函数17ppt课件3.对数函数128ppt课件3.对数函数18ppt课件4.三角函数正弦函数129ppt课件4.三角函数正弦函数19ppt课件余弦函数130ppt课件余弦函数20ppt课件正切函数131ppt课件正切函数21ppt课件余切函数132ppt课件余切函数22ppt课件5.反三角函数133ppt课件5.反三角函数23ppt课件134ppt课件24ppt课件135ppt课件25ppt课件幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.136ppt课件幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角7、复合函数8、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.练习：P1011137ppt课件7、复合函数8、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限等价无穷小及其性质唯一性无穷小两者的关系无穷大138ppt课件左右极限两个重要求极限的常用方法无穷小极限存在的判定极限无穷1、极限139ppt课件1、极限29ppt课件140ppt课件30ppt课件左极限右极限141ppt课件左极限右极限31ppt课件函数的极限与左、右极限有如下关系：2.常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在例判断函数

在点处是否有极限.

解:因为所以说明：1.左极限与右极限中只要有一个不存在，或者都存在但不相等，则函数的极限不存在。142ppt课件函数的极限与左、右极限有如下关系：2.常用来判断分段函数在左右极限存在但不相等,证习题：P183143ppt课件左右极限存在但不相等,证习题：P18333ppt课件定理(唯一性定理)如果函数在某一变化过程中有极限，则其极限是唯一的．定理(有界性定理)若函数f(x)当x→x0时极限存在，则必存在x0的某一邻域，使得函数f(x)在该邻域内有界．函数极限的性质144ppt课件定理(唯一性定理)如果函数在某一变化过程中定理(有界性定定理(保号性)推论145ppt课件定理(保号性)推论35ppt课件无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大:在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系2、无穷小与无穷大146ppt课件无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大的变量称为无性质3在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.性质1有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论常数与无穷小的乘积是无穷小.性质2有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质147ppt课件性质3在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.性质一、无穷小量二、无穷小的性质三、极限与无穷小的关系四、无穷大量五、无穷小与无穷大的关系六、小节补充无穷大与无穷小148ppt课件一、无穷小量补充无穷大与无穷小38ppt课件定义若变量Y在某过程下以零为极限，则称变量Y在此过程下为无穷小量，简称无穷小.例1例2时的无穷小量.时的无穷小量.因为所以因为所以一、无穷小量149ppt课件定义若变量Y在某过程下以零为极限，则称变量Y在此过程下例如函数时的无穷小，但当时不是无穷小。当时，的极限不为零，所以当时，函数不是无穷小，而当时是无穷小量。应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数。因此应明确指出其变化过程。

150ppt课件例如函数(4)

有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.(3)常量与无穷小的乘积仍为无穷小.(2)有限个无穷小的乘积仍为无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

(1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小.二、无穷小的性质定理在自变量的同一变化过程中151ppt课件(4)有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.(3)常量与无穷小例3解注意这个极限不能用极限的四则运算法则求得，因为不存在.所以时的无穷小量.为有界变量,152ppt课件例3解注意这个极限不能用极限的四则运算法则求得，所以时的三、无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性153ppt课件三、无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性43ppt课件定义在自变量x的某一变化过程中,若函数值的绝对值无限增大，则称f(x)为此变化过程中的无穷大量，简称无穷大.记作四、无穷大量154ppt课件定义在自变量x的某一变化过程中,若函数值的绝对值特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.155ppt课件特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小,无穷小(不等于0)的倒数是无穷大.定理在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无穷大,则为无穷小;反之,若f(x)为无穷小且f(x)不等于0,则为无穷大.例如：五、无穷小与无穷大的关系156ppt课件简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一变化过程中，无以后，遇到类似例6的题目，可直接写出结果.例4解例5考察

当时，为无穷大量；

当时，为无穷小量；157ppt课件以后，遇到类似例6的题目，可直接写出结果.例4解例5考察六、小结1、主要内容:两个定义;定理.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.158ppt课件六、小结1、主要内容:两个定义;定理.2、几点注意:无穷小定理推论1推论23、极限的性质159ppt课件定理推论1推论23、极限的性质49ppt课件4、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.160ppt课件4、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;50p求极限方法举例例2解例1解：原式161ppt课件求极限方法举例例2解例1解：原式51ppt课件小结:162ppt课件小结:52ppt课件解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例3163ppt课件解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例353ppt课件解例4(消去零因子法)164ppt课件解例4(消去零因子法)54ppt课件练习解解165ppt课件练习解解55ppt课件分母有理化，分子有理化166ppt课件分母有理化，分子有理化56ppt课件解：167ppt课件解：57ppt课件例5解(无穷小因子分出法)168ppt课件例5解(无穷小因子分出法)58ppt课件例6

，然后再求极限，得分母同时除以分子,3x解169ppt课件例6，然后再求极限，得分母同时除以分子,3x解59pp小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.170ppt课件小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以练习解171ppt课件练习解61ppt课件例7解先变形再求极限.172ppt课件例7解先变形再求极限.62ppt课件例8解173ppt课件例8解63ppt课件例9解左右极限存在且相等,174ppt课件例9解左右极限存在且相等,64ppt课件说明：1．什么情况下，需要分别求左右极限（１）求分段函数连接点处的极限

（２）被考虑的函数中，含有某些项其左右极限不相等

２.下列几个极限不存在175ppt课件说明：1．什么情况下，需要分别求左右极限（１）求分段函数连一个重要的结论则有例题练习：P19－201176ppt课件一个重要的结论则有例题练习：P19－20166p5、判定极限存在的准则(夹逼准则)177ppt课件5、判定极限存在的准则(夹逼准则)67ppt课件(1)(2)6、两个重要极限178ppt课件(1)(2)6、两个重要极限68ppt课件=0注意：(1)179ppt课件=0注意：(1)69ppt课件例1解1coslim0此题中用到xx=®例2解180ppt课件例1解1coslim0此题中用到xx=®例2解70ppt课例3解181ppt课件例3解71ppt课件练习：解答：182ppt课件练习：解答：72ppt课件(2)注意：183ppt课件(2)注意：73ppt课件例4解练习：或184ppt课件例4解练习：或74ppt课件例题185ppt课件例题75ppt课件例5解186ppt课件例5解76ppt课件定义:7、无穷小的比较187ppt课件定义:7、无穷小的比较77ppt课件定理(等价无穷小替换定理)8、等价无穷小的性质188ppt课件定理(等价无穷小替换定理)8、等价无穷小的性质78ppt课件几个重要的等价无穷小：当时，

189ppt课件几个重要的等价无穷小：当时，79ppt课件例解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意190ppt课件例解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换例解解错191ppt课件例解解错81ppt课件左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类192ppt课件左右连续在区间[a,b]连续函数初等函数间断点定义连续1、连续的定义193ppt课件1、连续的定义83ppt课件从而，则一定满足以下条件194ppt课件从而，则一定满足以下条件84ppt课件例1证由定义2知195ppt课件例1证由定义2知85ppt课件196ppt