概率复习-完整版教学设计

[本周题目]排列组合、二项式定理、概率统计复习

[本周重点]两个计数原理应用、排列组合应用问题

[本周难点]综合运用排列组合知识与概率基础求解古典概型问题。

[本周内容]

一.排列组合

1.加法原理：分类计数

2.乘法原理：分步计数

3.排列：特点是取出元素有序。

排列数计算公式：

当n=m时而全排列：

4.组合：特点是取出的元素无序，组合数计算公式：

（规定：）

5.组合数性质：

①：②

二、二项式定理

1.定理

（n∈N+）

右端称为（a+b）n的二项展开式

2.通项公式

二项展开式中第r+1项

（r=0，1，2…n）

3.二项式余数的性质

①与首末两项“等距离”的两项二项式系数相同。

②如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大。

4.二项式系数和

①

②

三．概率

1.随机事件及其概率

随机事件A发生的概率为P（A），其范围

0≤P（A）≤1

必然事件概率为1，不可能事件概率为0

2.等可能事件的概率（古典概型）

每一个等可能基本事件的概率都是，如果某事件A包含结果m个，则A的概率

3.互斥事件有一个发生的概率P（A+B）=P（A）+P（B）其中A、B为互斥事件

特例：对立事件的概率

4.独立事件同时发生的概率，若A、B为互相独立事件，则P（A·B）=P（A）×P（B）

P（A1·A2·A3……An）=P（A1）×P（A2）×P（A3）×……×P（An）

5.独立重复试验

事件A发生概率为P，则独立进行n次试验A恰好发生k次的概率为：

四、统计

1.随机变量及其分布列

2.离散型随机变量的期望和方差

①期望Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn

②方差Dξ=（X1-Eξ）2·P1+(X2-Eξ)2·P2+……+（Xn-Eξ）2·Pn

3.三种抽样方法：随机抽样、系统抽样、分层抽样

[本周例题]

例1.7个学生站在一排，分别求出符合下列要求的不同排法种数.

（1）甲站中间（2）甲不站左端且乙不站右端（3）甲乙相邻（4）甲在乙左边（5）甲乙丙相邻（6）甲乙丙两两不相邻

解：（1）甲站中间其余6人任意排列

（2）甲站左端不同排法共种，乙站右端不同排法共种，甲左且乙右不同排法共种

所求共

（3）将甲、乙视为一个整元，与其余5人计6个元素全排列共种，再排甲乙2人共种，所求

（4）将甲乙两人顺序排定，可用“降序法”所求

（5）同（3）

（6）将除了甲乙丙的四人排列共种，让甲乙丙三人插到排列成的5个空儿（含两端）有，所求

例2.四面体顶点和各棱中点共10个点，取4个不共面的点有多少种取法。

例：用排除法，任选四点共种，共面4点有以下3类

（1）4个点在四面体的某个面上共

（2）过四面体一条棱上3点及对棱中点，共计6种

（3）过四面体四条棱中点且与一组对棱平行的平面，共有3种

∴综上所求

例3.求证：

（1）

（2）

证明：（1）

（2）

例4.在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求展开式中x4的系数

解：

由题意有：

∴

∴所求x4系数为1

例5.若某选手射中10、9、8、7环的概率分别为，，，

求：（1）射中10环或8环的概率

（2）射中7环以下（不含7环）概率

解：设射中10环事件为A，8环事件为B，A、B互斥有：

P（A+B）=P（A）+P（B）=+=

答：射中10环或8环的概率为

(2)设小于7环的事件为M，则为射中7环或8环或9环或10环

∴

答：射中7环以下概率为