考研高数-概率-线代公式下载

高等数学部分公式导数公式:(log"x)'=(log"x)'=x\na(tgx)r=sec2x(ctgx)f=-esc2x(secx)r=secx-tgx(escx\=-escx-ctgx(a'Y=ax\na

(arcsinx)r=/Vl-x2,v1(arccosx)=——；-,、，1(arctgx)=- j-\+x(arcctgx)=— -l+xdx

cosdx

cos2x

dx

sin2x=[sec2xdx=tgx+C=esc2xdx=—ctgx+C基本积分表：^tgxdx=-ln|cosx|+C^ctgxdx=ln|sinx|+Cjsecxdx=ln|secx+tgx\+Cjcscxdx=In|cscx-ctgj^+Cjsecx•tgxdx=secx+C[cscx-ctgxdx=-CSCX+C'axdx=—+C\nashxdx=chx+Cchxdx=shx+CJj q=In。+^x~-a~)+Cn 5xdx-jcos“xdx=o ojVx2-\-a~dx=—dx2+〃2+—ln(x+&+〃2)+。—a~dx=-\x~—ci~ Inx+2 2y/x2-a24-C[yja2-x2dx=—^a2-x2+—arcsin—+CJ 2 2a三角函数的有理式积分：.2u 1—〃~sinx= COSX= rl+〃2 l+〃2xu=tg-,2t2du

dx= rl+〃2两个重要极限:sinx.lim两个重要极限:sinx.lim =1lim(l+)=e=2.718281828459045...XT8X双曲正弦:shx=-——-—2双曲余弦:c〃x=士2双曲正切：胡》=唐=乌二chxe+earshx=ln(x+Jx?+1)archx=±ln(x+Vx2—1). 11l+xarthx=In 21-x三角函数公式:•诱导公式：数角sincostgctg-a-sinacosa-tga-ctga90°-acosasinactgatga900+acosa-sina-ctga-tga180°-asina-cosa-tga-ctga180°+a-sina-cosatgactga270°-a-cosa-sinactgatga270°+a-cosasina-ctga-tga360°-a-sinacosa-tga-ctga360°+asinacosatgactga和差角公式：sin(«±6)=sinacos0±cosasin0cos(a±夕)=cosacos--sinasin°fg(a±mJga土册\+tga-tg/3/ 6ctga・ctg0彳'ct2(a±£)=- ———ctgfi±ctga•和差化积公式：oa+夕Ct—Psina+sinp=2sin—广~cos--^―• .△ca+力.a-psina-smp=2cos-sin-TOC\o"1-5"\h\z2 2八 c a-vB a-Bcosa+cosp=2cos -cos -2 2n c - a+4.a—Bcosa-cosp=2sin -sin -2 2,倍角公式:sin2a=2sinasin2a=2sinacosacosla=2cos2a—1=1-2sin2a=cos2a-s\n2actg2a=tgla=ctg2a-\

2ctga2tgasin3a=3sina-4sin3acos3a=4cos3cr-3coscr1—tgcc•半角公式:.asin—=±2.asin—=±2acos—=±2a1-cosa_1-cosa_sinaa1-cosa_1-cosa_sina1+cosasina1+cosaactS~=±1+cosa_1+cosa_sina1-cosasina1-cosa•正弦定理：—sin•正弦定理：—sinAsinBsinC—=2R・余弦定理：c2=a2+b?-2abeosC冗•反三角函数性质：冗•反三角函数性质：arcsinx= arccosx271aretgx=--arcctgx高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:（“V严=»”“）k=0M（nM（n）V+〃〃（"与'+〃（〃l）“S-2）y〃+…+

2;kl中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理：/⑸-/3)=/C)S-a)柯西中值定理=/短F(b)-F(a)FC)当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率:弧微分公式：ds=小1+)/2★其中了二*仪平均曲率仄=Aa△s.△。：从乂点到乂'点，切线斜率的倾角变化量；As：MM弧长。M点的曲率：K=lim△a加一。Nsda~ds直线：K=0;半径为4的圆：K=—.a定积分的近似计算：b矩形法:。(x)b矩形法:。(x)a梯形法:J/(x)B (yo+Ji+--'+K-i)nTOC\o"1-5"\h\zb-arI/ 、 ,“丁15(%+L)+y+…b i抛物线法:f/(x)«——[(y0+y„)+2(y2+y4+---+yfl,2)+4(y,+%+…+y.T)]« 3〃定积分应用相关公式：功：W=Fs水压力：F=p-A引力：/=左瞥水为引力系数r_ ]b函数的平均值：y= \f{x}dxb-aJ产⑴dt均方根:空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：d=M也|=J(X2—X］)2+(%—0)2+(Z2—Z1)2向量在轴上的投影:Prj"而=［而［cose，混而与“轴的夹角。Prju（4+务）=Pr问+Prja2ab=同•同cos8=a。+〃、久+。-4,是一个数量,Illi •*■*yy**•两向量之间的夹角:cos两向量之间的夹角:cos。=ijc=axb=axay/byijc=axb=axay/by，同=同・1卜皿夕例：线速度：v=vvxr.b:=5乂司.同b:=5乂司.同cosa,a为锐角时,向量的混合积:［万位］=(2x5)1=bxbyJcy代表平行六面体的体积。平面的方程：1、点法式：A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O,其中斤二{A,8,C}，M)(Xo，y()，Zo)2、~1般方程：Ax+By4-Cz+。=03、截距世方程:2+上+2=1abc平面外任意一点到该平面的距离：d』x+切o+Czo+0^A2+B2+C2x=xQ-^mt空间直线的方程:口•=»二九=三马力，其中8={孙小p};参数方程:y=y0+〃fmnpZ=Zq+pt二次曲面：TOC\o"1-5"\h\z2 2 21、椭球面：0+2+0=1a~bc2 22、抛物面:工+匕=z,(p,q同号)2p2c］3、双曲面：2 2 2单叶双曲面:彳+2-今=1ab-c2 2 2双叶双曲面:与-2+0=1(马鞍面)abc多元函数微分法及应用

AM4J,dz. .du.,OU.du.witt•dz=—dx4~—cly du=—dx4~—dy4~—dzdxdy dxdydz全微分的近似计算：Azkdz=£(x,y)Ax+fy(x,y)Ay多元复合函数的求导法：dzdudzdvdudxdvdxdz_dzdudzdv

dtdudtdvdtdzdudzdvdudxdvdxTOC\o"1-5"\h\zz=/[w(x,y),v(x,y)] —dx当〃=w(x,y),v=v(x,y)时，,du.du. .dv. dv.du=——dxA ay dv=—dxA dydxdy dxdy隐函数的求导公式：隐函数尸(x,y)=O, 包=_生,dxF.y隐函数F(x,y,z)=O,—= »dxF.dFdF隐函数方程组18%"'")=° dFdF隐函数方程组18%"'")=° 1弧0=叫dv[G(x,y,w,v)=0 5(w,v)dudv二1a(F,G)

Jd(u,x)二13(F,G)JS(u,y)1-J1-J-一

==

包&九¥£(x,f,3a(ea(d22V)⑦V)av-ax加一办微分法在几何上的应用：卜=*)空间曲线y=材⑴在点M(q,打"0)处的切线方程=上手=三3,八 步优)0«0)Z=G)(t)在点"处的法平面方程：ok)(x-/)+“'(％)(y-%)+»(%)(z-%)=0[7(v-71—f) F FF fF F若空间曲线方程为:二八,则切向量了={/J,J J}G(x,y,z)=0 G、G:G：GxGxGy曲面尸(x,y,Z)=0上一点M(x0,y0,z0),则:1、过此点的法向量：2、过此点的切平面方程：F/xo,yo,zo)(x-xo)+F),(xo,yo,zo)(y-yo)+FI(xo,yo,zo)(z-zo)=O3、过此点的法线方程:一口一=—匕%_=_匕4一工(Xo，yo，Zo)K.(Xo，yo，Zo)工(Xo，yo，Zo)方向导数与梯度:

函数z=/(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向/的方向导数为:更=或cosg+且'Sineoloxcy其中。为X轴到方向/的转角。函数z=/(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gra(¥(尤,y)=g1+g1oxdy它与方向导数的关系是:且=grad/(x,y＞。，其中0=cos°i+sin0.j,为/方向上的ol单位向量。/.更是gray(x,y)在/上的投影。ol多元函数的极值及其求法：设A(Xo，yo)=/)(Xo,%)=0，令：((*0，%)=4,fv(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C40〉0时,F＜0＜心＞。也及坪[A＞0,(%,%)为极小值贝叫AC-炉＜0时， 无极值AC-B2=0Ht 不确定重积分及其应用:rcos6/sin0)rdrd0\\f(x,y)dxdy=Jj/(rcos6/sin0)rdrd0曲面z=/(x,y)的面积A=曲面z=/(x,y)的面积A=平面薄片的重心：”等y)d(ypJJp(x,y)dbD-M}y= Mjjyp(x,y)J(TDD，p(x,y)ydcr.，p(x,y)ydcr.(x1+y2+a2YFz=—%j］。(内呼D(x2+y2+a2)2平面薄片的转动惯量：对于X轴/〈=Jjyax.yMb, 对于y轴/,=jjx20(x,y)dcrD D平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(。〉0)的引力：F={Fx,Fy,F:},其中:jj夕(x,y)xd, F=fD(x2+y2+a2y柱面坐标和球面坐标:

x=rcos0柱面坐标:<y=rsin。， y,z)dxdydz= z)rdrd0dz,r_- C C、z=z其中：尸(r,6,z)=/(rcos^,rsin^,z){x=rsin^cos^y=rsin°sin。，dv=rd(p-rs\n(pdOdr=r2s\n(pdrd(pclOz=rcos(pInnr”，6)重心:元k》如加匕 才.好加“y=\\\{x2+z重心:元k》如加匕 才.好加“y=\\\{x2+z2)pdv,其中M=x=jjj/x/vQ1,=jjj(x2+y2)/x/vc转动惯量：/,=Jj](y2+z2)〃v,Q曲线积分:第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：设/'Ey）在l上连续，乙的参数方程为:，X设/'Ey）在l上连续，乙的参数方程为:，,(asrwp),则:

y”(r)X=tX=ty=*)j/(x,y)ds= i//(t)]yl(p'~(0+i//'2(t)dt(a<B)特殊情况:■L a第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为尸=叫则：TOC\o"1-5"\h\zjP(X,y)dx+Q(x,y)dy=J{P[(p(t),i//(<t)](p'(t)+ }dtL a两类曲线积分之间的关系:JPdx+Qdy=J(Pcosa+QcosP)ds,其中a和夕分别为L LL上积分起止点处切向量的方向角。格林公式:J1(°。-)dxdy=,Pdx+Qdy格林公式:j-—)dxdy=jPdx+Qdy当尸=-y,Q=x,即:，■一f=2时，得到。的面积：A=^dxdy=^<^xdy-ydx・平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且丝=丝。注意奇点，如(0,0),应oxdy减去对此奇点的积分，注意方向相反！•二元函数的全微分求积：在义=2时，「公+。办'才是二元函数〃(占}0的全微分，其中：oxoy(x.y)w(x,y)=Jp(x,y)dx+Q(x,y)dy9通常设/=y0=0o(•Wo)曲面积分：对面积的曲面积分:JJ/(x,y,z)ds= y,z(x,y)]Ji+z；(x,y)+z；(x,y)dxdy£%,对坐标的曲面积分:J，P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：J，R(x,y,z)dxdy=±y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号；工 分Jjp(x,y,z)dydz=土JJP[x(y,z),y,z\dydz,取曲面的前侧时取正号；X DyzJJ。(尤,y,z)dzdx=± y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正号。£ %两类曲面积分之间的关系:JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=jj(Pcosa+Qcos/3+Rcosy)ds工 工高斯公式:梦*崇詈)dv=(^Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=如Pcosa+Qcosp+Rcosy)ds高斯公式的物理意义——通量与散度：散度：divo="+①+”，即：单位体积内所产生的流体质量，若div"O,则为消失…dxdydz通量：JJ，•五ds=J，A“ds=Jj(Pcosa+Qcos/3+Rcosy)ds,因此，高斯公式又可写成:JJJdivX,=妤4nds斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:ti/SRdQ.,,.dP6R.,,.dQ( -)dydz+( )dzdx+(―-{Jdydz dzdx dxdP--)dxdy=6jPdx4-Qdy4-RdzdydzdzdxdxdycosaCOS0cos/上式左端又可写成:JJVddd=ffddadxSydzJJzdx为及PQRPQR空间曲线积分与路径无关的条件保=舒詈嗫ijk旋度：rotA=d_d_dxdydzPQR向量场,沿有向闭曲线「的环流量+Qdy+Rdz=jA-tdsr r常数项级数：等比数歹1」：1+4+/+・..+4〃7=上应i-q等差数列：l+2+3d \-n=2调和级数：1+' 是发散的23n级数审敛法:1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法)：时,级数收敛设：p=limW7，贝”/7>1时，级数发散n-»aoV[0=1时，不确定2,比值审敛法：|p<l时,级数收敛设：贝时，级数发散[0=1时，不确定3、定义法：s“=“1+%+…+“》,；limS"存在,则收敛；否则发散。〃TQO父错级数〃1—〃2+〃3—“4+…(或—〃]+〃2—〃3+…>。)的中敛法 莱布尼兹定理：Un>Wn4_.如果交错级数满足]益〃I。，那么级数收敛且其和$加,其余项乙的绝对值匕归%。、"->oon绝对收敛与条件收敛：⑴〃]+〃2+…+〃〃+…，其中〃.为任意实数;(2)同+叫+同+…+叫+…如果(2)收敛，则⑴肯定收敛，且称为绝对收敛级数;如果(2)发散，而⑴收敛，则称⑴为条件收敛级数。调和级数:z，发散，而gd收敛;级数:收敛；n。级数P<1时发散p〉l时收敛器级数:23 „ /|x|<l时，收敛于二一1+X+X*+X+---+JC+•••( 1-x\忖21时，发散对于级数(3)即+《丈+。2/+…+a"x"+…，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全/卜|</?时收敛数轴上都收敛，则必存在R,使(|尤|>/?时发散，其中R称为收敛半径。\k|=R时不定P0时，R=—求收敛半径的方法：设lim&H=p,其中。“，是(3)的系数，贝“0=0时，/?=+oo\p=+00时，/?=0函数展开成幕级数：TOC\o"1-5"\h\z函数展开成泰勒级数：f(x)=f(xo)(x-xo)+^^(x-xo)2+---+fM^o\x-xoy+---2! ni余项：&=£23(x—x0)0+iJ(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limR“=0(n+l)! 〃->8%=弼•即为麦克劳林公式：/U)=/(0)+/(0)*+汇区/+-+汇他犬+一2! nl一些函数展开成事级数:(l+x)m=l+mx+- 2tn(m-(l+x)m=l+mx+- 2tn(m-1)••-(ah-n4-1)n x+…-I x+■••2!nl3 5, XXsinx=x + +3!5!r2n-l

(-1)W~，———+・・・

(21)!(-oo<x<4-oo)欧拉公式:e,x=cosx+zsinx或<^ix,^-ixe+ecosx= 2ix-ix.e-esinx= 2三角级数:f⑴=Ao+V sin(〃&+>〃)=包+Z(a〃cosnx+/?nsinnx)n=l 2 «=|其中，即二。',an=Ansin^H,bn=Ancos(pn,M=x<>正交性:1,§足了,85工与112兀8524・・5皿〃%,8§〃尤・・任意两个不同项的乘积在［-乃,乃］上的积分=0。傅立叶级数:a«/(x)=—4-V(〃〃cosnx+bnsinnx\周期=212n=\an=—1/(x)cosnxdx (n=0,1,2-••)其中-jt其中bn=—^f(x)sinnxdx(n=1,2,3,,)F+…=二"(相加)642+・・・=土(相减)+…=二"(相加)642+・・・=土(相减)12111 11+r+r+・・・=—3252 8111声+不+L”=24正弦级数：an=0,bn=—j/(x)sinnxt/r冗0余弦级数：bn=0,an=—^f(x)cosnxdx710n=1,2,3…n=0,1,2…/（x）=Z",sin〃x是奇函数/(x)=^+Z〃〃cos内是偶函数周期为2/的周期函数的傅立叶级数:〃x)=++facos竿+b“sin竿)，周期=2/2n=|I/4“=；J7(X)COS竿dx(n=0,1,2--)其中1T '1t2=,J/(x)sin竿dx、I-/ I(〃=1,2,3,,)微分方程的相关概念：一阶微分方程：y'=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy=/(x)d尤的形式，解法：Jg(〉)dy=J/(x)dx得：G(y)=F(x)+C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成包=/(x,y)=°(x,y),即写成上的函数，解法：dx x设〃=2,贝lj^=a+x在，“+生=0(”),.•.虫=——分离变量，积分后将工代替”,

xaxdxdx x(p(u)-u x即得齐次方程通解。一阶线性微分方程:1、一阶线性微分方程:生+P(x)y=Q(x)dx/当。(x)=0吐为齐次方程，y=Ce^PMdx、当。(x)HO时，为非齐次方程，y=(j0(x)e,")，x+C)e」""必2、贝努力方程:包+P(x)y=Q(x)y",(〃wOJ)dx全微分方程：如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=O中左端是某函数的全微分方程，即：du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,其中:半=P(x,y),半=Q(x,y)dx dy：.u(x,y)=C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：dx2+dx2+P(哈—X),/(X)三0时为齐次/(x)#0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:(*)y"+py'+gy=O，其中p,g为常数；求解步骤：1、写出特征方程:⑷/+pr+q=O,其中/，「的系数及常数项恰好是(*)式中的系数;2,求出(△)式的两个根八,「23、根据八外的不同情况，按下表写出(*)式的通解：八，弓的形式(*)式的通解两个不相等实根(p2-4q>0)y=qe"+c?冷两个相等实根(p2-4q=0)y=（G+c2x）er'x一对共枕复根（p2-4q<0）r\=a+if3,r2=a-iJ3a”,即业纥或2 2y=*（Gcosfix+c2sinpx）二阶常系数非齐次线性微分方程概率论部分第一节基本概念1、概念网络图古典概型儿何概型［基本事件3随机试验Ef样本空间。|随机事件A>TP（A>五大公式，加法6+C减法B-C条件概率8/C和乘法公式BC全概公式独立性

2、重要公式和结论（1）排列组合公式加P；=—— 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。（m一〃）！=——~-从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mXn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由mXn种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非市复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用①来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用。表示。一个事件就是由。中的部分点（基本事件。）组成的集合。通常用大写字母A,B,G…表示事件，它们是。的子集。。为必然事件，0为不可能事件。不可能事件（0）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（。）的概率为1,而概率为1的事件也不定是必然事件。（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件8的组成部分，（4发生必有事件6姓）：Au8如果同时有AuB,B^A,则称事件4与事件8等价，或称/等于8：A=B。A.8中至少有一个发生的事件：A\JB,或者4+民属于力而不属于6的部分所构成的事件，称为［与6的差，记为A-8,也可表示为力T6或者A9，它表示｛发生而6不发生的事件。

48同时发生：4n8,或者46。aCb=0,则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。Q-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为它表示A不发生的事件。互斥未必对立。②运算：结合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)n(BUC)(AUB)DC=(AC)U(BC)P|A(=|jAi __ __德摩根率：I<='A\JB=AC\B,An8=AUB(7)概率的公理化定义设。为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数p(A),若满足下列三个条件：1°O〈P(A)W1,2°P(Q)=13°对于两两互不相容的事件A,A2,…有、 8pO卜—P(4)3=i /i=i常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为事件A的概率。(8)古典概型1°Q= …6}，2°P(?)=P(O2)"P(0")=Ln设任一事件A,它是山外,&2…Q”组成的，则有/W={(0i)U(32)U--U(q”)}=P(0i)+P(g)+…+P⑷.)mA所包含的基本事件数-" 基本事件总数(9)几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A,P(A)=m。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。L(Q)(10)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)=0时，P(A+B)=P(A)+P(B)(11)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BuA时,P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Q时，P(B)=1-P(B)(12)条件概率定义设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称442为事件A发生条件下，事

件B发生的条件概率，记为P(8/A)="竺2。P(A)条件概率是概率的一批，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(Q/B)=1=>P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(A8)=P(A)P(8/A)更一般地,对事件A”Az,…A"，若P(A也…AQ>0,则有P(AlA2...An)=P(4)P(A21A)P(A31A1A2)……P(An\A1A2...An-1)0(14)独立性①两个事件的独立性设事件A、B满足尸(AB)=P(A)P(B),则称事件A、8是相互独立的。若事件A、8相互独立，且尸(A)>°,则有3)=逊=逊@=「⑻P(A) P(A)若事件A、B相互独立，则可得到入与8、A与万、,与否也都相互独立。必然事件Q和不可能事件0与任何事件都相互独立。0与任何事件都互斥。②多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概公式设事件Bi,比,…,以满足1°Bi,比,…,以两两互不相容,>0(i=1,2,•••,«),nAuU82° i=l,则仃P(A)=P(Bi)P(A1Bi)+P(B2)P(A182)+…+P(Bn)P(A1Bn)(16)贝叶斯公式设事件B,Bi,...»及A满足1°Bi,Bi, B”两两互不相容，PM〉。,i=i,2,…，"，n2。 V,P(A)>0,则尸(叫)=^^^,E2,ifP(%)P(A@)j=i此公式即为贝叶斯公式。P(Bi),(i=l,2,...»n),通常叫先验概率。P(Bi/A),(<=1,2,…，〃)，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

（17）伯努利概型我们作了〃次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；〃次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为〃重伯努利试验。用P表示每次试验A发生的概率，则.发生的概率为1一〃二夕，用尸"（口表示〃重伯努利试验中A出现乂°"&&〃）次的概率，P《k）=C：P、"T,第二节重点考核点事件的运算、概率的定义（古典概型和几何概型）、条件概率和乘法公式、全概和贝叶斯公式、独立性和伯努利概型第二章随机变量及其分布第一节基本概念1、概念网络图基本事件0 随机事件对/P⑷随机变量X（o）jf1a<X4bjf1尸⑶-尸（a）j

0-1分布二项分布离散型，泊松分布超儿何分布分布函数：Q(x)=P(XWx)f八大分布，.几何分布,f函数分布［均匀分布'连续理!指数分布［正态分布2、重要公式和结论(1)离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的可能取值为XKk=l,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=X。的概率为P(X=xk)=Pk»k=l,2,…，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：X ।X1,X2,……P(X=Xk) 〃2,…，〃人,・・•。显然分布律应满足下列条件：00yp*=1(］)p&NO,k=1,2,…,⑵&=i o(2)连续型随机变量的分布密度设尸(X)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数/(X),对任意实数X,有尸(X)=ff(x)dx则称X为连续型随机变量。/(X)称为x的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1。/U)>Oo£f(x)dx=1(3)离散与连续型随机变量的关系P(X=x)^P(x<X<x+dx)^f(x)dx积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X=Xk)=pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

(4)分布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x)=P(X<x)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a<X<b)=F(b)-F(a)可以得到X落入区间(a,回的概率。分布函数尸(x)表示随机变量落入区间(-8,x]内的概率。分布函数具有如下性质：1° 0<F(x)<1,-oo<x<+oo；2° F(x)是单调不减的函数，即xi<X2时，有F(x\)<F(X2)；3°F(-oo)=limF(x)=0,F(+oo)=limF(x)=1；A—>-ao XT+oo4°F(x+O)=F(x),即尸(x)是右连续的；5°P{X=x)=F(x)-F(x-0)o对于离散型随机变量，/(x)=£幺；对于连续型随机变量，/(x)=[f[x}dx。⑸八大分布0-1分布P(X=l)=p,P(X=O)=q二项分布在〃重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X,则X可能取值为0,1,2,。P(X=k)=P“(k)=C：pkqi , 其 中q=l-p,0<p<\,k=0,1,2,…,〃,则称随机变量X服从参数为〃，p的二项分布。记为X~B(〃,p)当〃=1时，P(X=k)=pkq'~k,k=0.1,这就是(0T)分布，所以(0T)分布是二项分布的特例。

泊松分布设随机变量X的分布律为才P(X=k)=—e^,2>0,k=0,1,2…，则称随机变量X服从参数为；1的泊松分布，记为X~万(㈤或者P(C)。泊松分布为二项分布的极限分布(np=入，n-04.超几何分布Cku•C"-^k=0,1,2…,/P(X=k)=整一Nf ，，，C: /=min(M,n)随机变量X服从参数为n,N,M的超儿何分布，记为H(n,N,M)。几何分布P(X=k)=qk］p,k=1,2,3,,•,»其中p20，q=l-p(>随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量X的值只落在［a,b］内，其密度函数/(X)在［a,b］上为常数一!一，即h-a［1 aWx〈b历卜其他,则称随机变量X在［a,b］上服从均匀分布，记为X~U(a,b)o分布函数为0, x<a,x-aJb-a' aWxWbF(x)=ff(x)dx=J-00y1 XAbO当aWxKxzWb时，X落在区间(西，X2)内的概率为尸区<X<x2)=~ ob-a

指数分布'x>0/(x)=1Lo, x<0,其中％>0,则称随机变量X服从参数为4的指数分布。X的分布函数为fl-e弋 x>0,F(x)=jIu, x<0=记住积分公式：+«o^xne~xdx=n\0

正态分布设随机变量X的密度函数为f(x)=^^e2b2, -00<X<+00,而b其中〃、cr>0为常数，则称随机变量X服从参数为〃、cr的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为X/(x)具有如下性质：1° /(X)的图形是关于x=〃对称的；2°当x=〃时，/(〃)=/_.为最大值：弋2兀(7若则X的分布函数为(一〃)2F(x)=-^—[e2Mdi42g」工oo参数〃=0、b=l时的正态分布称为标准正态分布，记为X~N(0,D,其密度函数记为1工(p(x)=-j=e272兀,-oo<x<-Foo,分布函数为174①(x)=- \e2dto后士①(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。①(-x)=1-①(x)且中(0)=—。2如果X~N(〃q2),则ZN'n(0,1)。(TP($<X<x2)=①一(6)分位数下分位数：P(X«4)=a：上分位数：P(X>〃a)=。。已知X的分X・布列为Xl,X2,…，Xn,…(7)函数分布离散型P（X=Xi]y=g（x）fYPbP2,…,P〃,…Kj分布列(必=g(xj互不相等)如下：g(Xl),g(X2),…，g(X"),…P(y=y.)若有某些8(pi,pz,…，p〃，…Xi)相等，则应将对应的p,相加作为g(x,)的概率。

连续型先利用X的概率密度fx(x)写出Y的分布函数F1(y)=P(g(X)Wy),再利用变上下限积分的求导公式求出第二节重点考核点常见分布、函数分布第三章二维随机变量及其分布第一节基本概念1、概念网络图常见二维分布均匀分布]常见二维分布均匀分布]

正态分布：离散型分布律连续型分布密度联合分布边缘分布

条件分布离散型分布律连续型分布密度联合分布边缘分布

条件分布

独立性Z=X+Y函数分布，Z=max,min(X],X2,…X“)>

/分布

三大统计分布<r分布►

尸分布

2、重要公式和结论(1)联合分布离散型如果二维随机向量g(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称自为离散型随机量。设看=(X,Y)的所有可能取值为(为，力)(，"=1,2,…)，且事件{&=(%,力)}的概率为Pu.,称P{(x,丫)=a,,为)}=p/,j=1,2,…)为小=(X,Y)的分布律或称为X和丫的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：Xyiyi…yj…X1PnP12・・・Pu・・・X?P22•・・P2J…Xi•・・Pii…这里口/具有下面两个，(1)pB。(i,j=l,2(2)ZZPij=LiJ性质：连续型对于二维随机向量g=(x,y),如果存在非负函数f(x,y)(-<»<x<+oo,-oo<y<+oo),使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={(X,Y)|a<X<b,c<y<d}有P{(X,Y)eD]=^f(x,y)dxdy,D则称《为连续型随机向量；并称£&,丫)为自=(X,Y)的分布密度或称为X和丫的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质：f(x,y)20;「「f(x,y)dxdy=1.J-xJ-x

(2)二维随机变量的本质g(x=x,y=y)=g(x=xny=y)(3)联合分布函数设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X<x,r<y}称为二维随机向量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件((691,692)|-00<%(«!)<X,-00</(692)<y}的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：0<F(x,y)<1;F(x,y)分别对x和y是非减的，即当xz>xi时，有F(x2,y)MF(xi,y);当yz>yi时,有F(x,yj》F(x,y);F(x,y)分别对x和y是右连续的，即F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0);F(-oo,-oo)=F(-oo,y)=F(x,-oo)=0,F(+oo,+oo)=1.(5)对于X]<x2fyt<y2>y2)-f(^2>月)一产(再，y2)+f(xl,弘)20.(4)离散型与连续型的关系P(X=x,y=y)«P(x<X<x4-dx,y<K<y+dy)«f(x9y)dxdy(5)边缘分布离散型X的边缘分布为=P(X=x,)=ZPiN，j=1,2,…);JY的边缘分布为P.j=夕(丫=yj)=ZPu('"=12…)。连续型X的边缘分布密度为fx(x)=rf(x,y)dy；•F-qoY的边缘分布密度为fy(y)=rf(x,y)dx.J-00

(6)条件分布离散型在已知的条件下，丫取值的条件分布为p(y=yIX=X')』；Pi.在已知人力的条件下，X取值的条件分布为P(X=xi\Y=yj)=^-,P”连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为/(山)=斗兴；fY(y)在已知X=x的条件下，丫的条件分布密度为fxM(7)独立性一般型F(X,Y)=Fx(x)Fv(y)离散型Pij=PM有零不独立连续型f(x,y)=fx(x)fv(y)直接判断，充要条件：①可分离变量②正概率密度区间为矩形二维正态分布1 (x-内丫2mAMXy_出)/ y1 2(l-p2)Ibj 5% k0-2Jf(x,y)= , 六 l J,2^(7,0,2yji-p~p=0随机变量的函数若X|,X2,…冗,X.“，…Xn相互独立,h,g为连续函数，则：h(Xi,X2,-X.)和g(X.h,-X„)相互独立。特例：若X与丫独立，贝lj：h(X)和g(Y)独立。例如:若X与丫独立，则：3X+1和5Y-2独立。(9)二维正态分布设随机向量(X,Y)的分布密度函数为]卜一必丫2.(.一必Xy-〃2)1(y-4丫// 、 1 2(1-P2)ItT|J 5。 1外)J(X.y)= L J,2^ct,ct2Ji—p2其中〃 >0，5>0,lpkl是5个参数，贝IJ称(X,Y)服从二维正态分布，记为(X,Y)~N(由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即X~N( ~N(〃2.b；).但是若X〜N(〃|,cr：),y〜N(〃2.b；),(X,Y)未必是二维正态分布。(10)函数分布Z=X+Y根据定义计算：Fz(z)=P(Z<z)=P(X+Y<z)4-00对于连续型，fz(z)=^f(x,z-x)dx-<J0两个独立的正态分布的和仍为正态分布(从+"2，b；+b；)。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。〃=ZG〃,，。=Zc：。；i iZ=max,min(Xhx2,-xn)若X(x函数学丸”(尸min(Px2---xz,相互独立，其分布函数分别为),F(%)•,•F(x),则Z=max,min(X],X2,…XJ的分布•*2 •*»J:x)=FXi(x)»FX2(x)…玛(X)x)=l-[l-FXi(x)]•[1-工2(x)]…口一工“(x)]

设n个随机变量X1,X布，可以证明它们的平的分布密度为2,…方和W1,X”相互独立，且服从标准正态分=fx：i=\2 2w>>nz2分布/（"）=<我们称随机变量W服从其中所谓自由度是指独分布中的一个重要参数X'分布满足日则z=fy,i=l2叱）3, m<0.自由度为n的力2分布，记为W〜/2（〃）,立正态随机变量的个数，它是随机变量O了加性：设匕-/（〃,），〜/（〃1+〃2+…+〃*）.设X,丫是两个相互独立的随机变量，且X〜N（O,1）,"/（〃），可以证明函数T一Xt分布「J的概率密度为T〃’我们称随机变量T服从自由度为ka（〃）=一心（〃）F7nn+1尸(—00<t<4-00).t分布，记为T〜t(n)。F分布设X〜Nsjy〜#2(%),且X与Y独立，可以证明X/"尸的概率密度函数为Y/n2"Iyz1n\1+—yn2*+〃22,y>00,y<0我们称随机变量F服从第一个自由度为n„第二个自由度为m的F分布，记为F〜f(m,n2).L 、 1Fj(«P«2)=- ；尸b(〃2，"1)第二节重点考核点二维随机变量联合分布函数、随机变量的独立性、简单函数的分布第四章随机变量的数字特征第一节基本概念1、概念网络图一维随机变量f二维随机变量f期望方差

矩

切比雪夫不等式

,期望、

方差

协方差，

相关系数・协方差矩阵，2、重要公式和结论（1）——维随机变量的数字特征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量，其分布律为P（X= Pk，k= ，E（X）=&=1（要求绝对收敛）设X是连续型随机变量，其概率密度为了（X）,E（X）=£xf{x）dx（要求绝对收敛）函数的期望y=g(x)以丫)=tggM&=ly=g(x)E(y)=「g(x)/(x)tZx方差o(x)=E[X-£(X)]2,标准差b(x)=J0(x),D(X)=Zk-E(X)]2p.kD(X)=f[x-£(X)F/(x)dx矩①对于正整数上，称随机变量X的k次嘉的数学期望为X的上阶原点矩，记为V*,即乙=E（X"）=Zx；p，，k=1,2,o②对于正整数k,称随机变量X与E（X）差的k次第的数学期望为X的左阶中心矩，记为〃…即①对于正整数k,称随机变量X的人次嘉的数学期望为X的左阶原点矩，记为V.,即"巾"）=/xkf（x）dx,k=1,2,…。②对于正整数k,称随机变量X与E[x}差的k次幕的数学期望为X的左阶中心矩，记为

=£（X-£（%））*=Z（£「MX））,P,ik=1,2,…。即4=E（X-E（X））k=「（X-E（x））*f（x）ak=1,2,，,•o切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E（x）=〃，方差O（X）=<t2,则对于任意正数£,有下列切比雪夫不等式2P（|x>£）«万切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率P（|x-“？£）的一种估计，它在理论上有重要意义。望性\JZ(2期的质（1）E（C）=C; （2）E（CX）=CE（X）⑶Mx+y）=E（x）+E（y）, |=^c,e（x,.）\i=\ ）f=l（4）E（xy）=E（x）E（y）,充分条件：x和y独立；充要条件：x和丫不相关。

（3）方差的性质(1)(2)(3)(4)(5)D（C）=O；£（C）=CD（aX）=a2D（X）；E（aX）=aE（X）D（aX+h）=a2D（XyE（aX+b）=aE（X）+bD（X）=E（X2）-E2（X）o（x±y）=o（x）+o（y）,充分条件：x和y独立；充要条件：X和丫不相关。o（x±y）=o（x）+o（y）±2e［（x-E（x）Xr-£（/））］.无条件成立。TijE（X+r）=E（X）+E（r）,无条件成立。)见布期和差(4常分的望方期望方差分布b（i，p）Pp(l-p)二项分布8（〃,p）np〃p(l-p)泊松分布产口）2A几何分布G（p）1P1一PP2超几何分布nM~N~也。一丝Y4]NlN大N-U均匀分布a+b20_力12指数分布e（4）II11r正态分布可（〃,二）cr2/分布nIn，分布0n-2

（5）二维随机变量的数字特征期望E（X）=^XjPi./=1位）=力/p.j>1E（X）=「犷x（MxE（y）=「或（yby函数的期望E[G（X,y）]=ZZgQq'Mij瓦g（x*）]=G*cc产00 / 、/ \G[x.y）f[x,y）dxdyJ-00J-00方XD（X）=Zk-E（X）]%iD（y）=Xk-Em]”jo（x）=匚"E（X）"x（x。「［y-E（y）"（y协协方差对于随机变量x与y,称它们的二阶混合中心矩〃|।为x与y的协方差或相关矩，记为bxy或COV（X,y）,即0'=所=£收一凤*）"一现丫））］。与记号相对应，x与丫的方差o（x）与。（丫）也可分别记为aXXljaYY°

相关系数寸于随机变量x与丫，如果o（x）＞o,D（r）＞o,则称aXYJd（x）Jd（y）x与y的相关系数，记作Pxy（有时可简记为p）o回41,当回=1时，称x与y完全相关：P（X=aY+b）=\士全相关［正相关，当夕=时（。＞0）兀上 ［负相关，当夕=一1时（。＜0）1U34?=UIFJ»林八月7小和天。以下五个命题是等价的：①。XY=0；②cov(x,y)=o；③E(xy)=E(x)E(y)；④o(x+y)=£>(x)+o(y)；⑤o(x-y)=o(x)+£)(y)。协方差矩阵(。XX^XYI、Oyx。丫丫)混合矩对于随机变量x与y,如果有E（x"y'）存在，则称之为x与y的k+l阶混合原点矩，记为V”；左+1阶混合中心矩记为：^=£［（x-£（x）y（r-£（r）y］（6）协方差的性质cov(X,Y)=cov(Y,X)；cov(tzX,bY)=abcov(X,K)；cov(x,+x2,r)=cov(x,,r)+cov(x2,y)；(iv)cov(x,r)=£(xr)-E(x)E(r).

(7)独立和不相关(1)若随机变量x与丫相互独立，则=0；反之不真.(»)若(x,y)〜NR,%。：。；,。)，则x与y相互独立的充要条件是x和y不相关。第五章大数定律和中心极限定理第一节基本概念1、概念网络图‘切比雪夫大数定律'

大数定律-伯努利大数定律,

辛钦大数定律中心极限定理->中心极限定理->列维―林德伯格定理

棣莫弗-拉普拉斯定理:二项定理泊松定理2、重要公式和结论设随机变量x„X常数C所界：D(2,…相互独立，均具有有限方差，且被同一X)<C(i=l,2,…)，则对于任意的正数e,有(1)大数定律切比雪limP1 1j=1.夫大数定律特殊情形：若X则上式成为limP-VX,-u…U〃白,Xz,…具有相同的数学期望E(X。=u,<£■)=1.

伯努利大数定律设口是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数e,有hmP“TOO--P<£：1=1.〃)1日多利天致无伴说明，刍可验件数n侬大灯，争•件A及生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即limPn->oo1Ftt0-这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设X”Xz,…，x„,•(X„)=u,则对于彳limP X：-u•是相互独立同分布的随机变量序列，且E£意的正数e有<e[=1.(2)中心极限定理XTN(//, )n列维一林德伯格定理设随机变量X>,X2,…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：E(Xk)=n，D(Xk)=a2#0(A=l,2,…)，则随机变量Zx.-〃〃Y_*=1 y[ncr的分布函数月(x)对任意的实数X,有fX&_〃4 1_dlimFn(x)=limP<—~尸 <x>=-fe2dt.此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗一拉普拉斯定理设随机变任意实数=limP、n—>oo量X”为具有参?X,有^-np<x“p(l-p)及n,p(O<p<l)的二项分布，则对于(3)二项定理若当N->oo时, >p(〃«不变)，则N。瑜入t p)i (Nt8).Cn超几何分布的极限分布为二项分布。若当〃f8时,"P—>4>0,则(4)泊松定理厂k〜kzi 〜、n-k 、人Gp(1—P) —e (〃.oo).k\其中k=0,1,2,,n,…。二项分布的极限分布为泊松分布。第二节重点考核点中心极限定理第六章数理统计的基本概念第一节基本概念1、概念网络图,总体、

个体数理统计的基本概念样本 f正态总体下的四大分布样本函数统计量2、重要公式和结论(1)数理统计的基本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个(或多个)指标的全体称为总体(或母体)。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量(或随机向量)。个体总体中的每一个单元称为样品(或个体)。

样本我们把从总体中抽取的部分样品2，尤2,…,X”称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，王，尤2,£表示n个随机变量(样本)；在具体的一次抽取之后，再，々,…,x”表示n个具体的数值(样本值)。我们称之为样本的两重性。样本函数和统计量设再，X2,…，X〃为总体的一个样本，称(P=(P(xl,x2,^-,xn)为样本函数，其中夕为一个连续函数。如果夕中不包含任何未知参数，则称e(X],x2,---,xn)为一个统计量。常见统计量及其性质样本均值 X=—VXz..〃/=1样本方差s=之区X).n-1,=1样本标准差 S=J±£(X,样本k阶原点矩M4=—=样本k阶中心矩(a-4/=2,3,….〃,=|E(X)=fi,D(X)=—,nE(S2)=a2,£(S*2)=^—1-ct2,ni« 一其中S*2=—£(Xj—X)2,为二阶中心矩。几i=l

(2)正态总体下的四大分布正态分布设修，》2,…,X”为来自正态总体N(〃,CT))的一个样本，则样本函数/N~n(oda/y/nt分布设为，》2,…,为来自正态总体N(〃,cr2)的一个样本，则样本函数加于X-n .t——j=~t(n-1),竹其中t(nT)表示自由度为n-1的t分布。/分布设X1,/,…,X”为来自正态总体N(〃,cr2)的■—个样本，则样本函数阿(〃-1)52 2W— 2~力51)，其中％2(〃一1)表示自由度为n-1的分布。F分布设无］,々,…,》“为来自正态总体N(〃,b：)的一个样本，而必，力，…，以为来自正态总体N(〃,cr；)的一个样本，则样本函数尸名(^~尸(〃「1，〃「1)，其中S；=；2但7)2， (一)2；〃1-1,=1 〃2~11=1产(％—1,〃2—1)表示第一自由度为〃1-1，第二自由度为〃2-1的F分布。(3)正态总体下分布的性质歹与$2独立。例6.1：从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4,

5.4）内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大?第二节重点考核点统计量的分布第七章参数估计第一节基本概念1、概念网络图点估计，从样本推断总体‘矩估计点估计，从样本推断总体‘矩估计'

、极大似然估计.［无偏性、估计量的评选标准有效性，［一致性J区间估计｛单正态总体的区间估计｝

2、重要公式和结论设总体X的分布中包含有未知数优,％,则其分布函数可以表成⑴点矩估计F（x;d,％它的k阶原点矩乙=E（X*）（A=1,2,…,⑼中也包含了未知参数优,…,6“，即匕=匕（仇,必，…，仇”）。又设事,今,…，匕为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为〃,=1这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有Jx,.,n,=i估计匕（g,，…，仇"）=—ZX；,〃/=1*AA A 1 ,匕“⑹，％，…4）=-力琛・1 〃,=,由上面的m个方程中，解出的m个未知参数（百…即为参数（2，％,…，。“）的矩估计量。若）为。的矩估计，g（x）为连续函数，则g（。）为g（6）的矩估计。

极大似然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为，仇，…,盘），其中4,仇，…,斗,为未知参数。又设工1,工2,…,X”为总体的一个样本，称L（仇…,/）=自/（七;仇，仇，…,孙,）1=1为样本的似然函数，简记为心.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为P{X=x}=p（x;4，仇，…4），则称nL（X],x2,…,X"；d，仇,…,孙,）=口/?（再；用，丸，…4）为样本的似然函数。若似然函数l（Xi，Xz,…,x,；q,仇，…,q“）在处取到最大值，则称立,》,…,幻分别为优,兄,0,„的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。2 =0,i=l,2,•••,，”四犷，若）为。的极大似然估计，g（x）为单调函数，则g（J）为g（e）的极大似然估计。⑵估计量的评选标准无偏性设3= …,X,）为求知参数。的估计量。若E（1）=6,则称3为。的无偏估计量。E（X）=E（X）,E（S2）=D（X）有效性A A A A设61=6|（X],X，2，…,X"）和01=。2（2，工，2，…,X"）是未知参数。的两个无偏估计量。若。（4）＜。血），则称6比12有效。

一致性设会是。的一串估计量，如果对于任意的正数£,都有\imP(\en-O\>£)=0,〃一>8则称3为e的一致估计量(或相合估计量)。若力为。的无偏估计，且。(。)70(〃78),则］为e的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。(3)区间估计置信区间和置信度设总体X含有一个待估的未知参数6。如果我们从样本再，x,2,…，尤”出发，找出两个统计量仇=4(X］,X，2,工”)与%=。2(尤1，%，2「一，匕)的<。2)，使得区间［，，%］以的概率包含这个待估参数。，即p{ex<e<e2］=\-a,那么称区间［4，％］为。的置信区间，l-a为该区间的置信度(或置信水平)。单正态总体的期望和方差的区间估计设巧,用2，…,为总体X~N(〃,cr2)的一个样本，在置信度为l-a下，我们来确定〃和的置信区间［4，2］。具体步骤如下：(i)选择样本函数；(ii)由置信度1-a,查表找分位数；(iii)导出置信区间［优，名］。已知方差，估计均值(i)选择样本函数〃="7~N(0,l).cr0/yin(ii)查表找分位数/ — 、P-2<-X-^<2=\-a.、 cr2/y/n ,(iii)导出置信区间■一见窄j+之窄］_ yin VMJ

未知方差，估计均值((iP(i)选择样本函数x-/J ,八t= S/4ni)查表找分位数< -_ >———<A.=1—<z.、 S/yjn )iii)导出置信区间--)S S[X-A-,X4"A~yjn yjnJ方差的区间估计(CD(i）选择样本函数一（7ii）查表找分位数心”J匚iii）导出置信区间-1).=l-a.1、行列式.”行列式共有“2个元素，展开后有加项，可分解为2"行列式；.代数余子式的性质：①、Ag和％的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0;③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为|A|;.代数余子式和余子式的关系：/=（-1产&- &=（-1产％・.设"行列式£）：将o上、下翻转或左右翻转，所得行列式为则2=（-1）=。；n（n-l）将D顺时针或逆时针旋转90,，所得行列式为D,,则D2=（-1）-D；将。主对角线翻转后（转置），所得行列式为。,，则4=0:将。主副角线翻转后，所得行列式为“，则〃,=。：.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；It(Jt-l)②、副对角行列式：副对角元素的乘积x(-l)T；③、上、下三角行列式(|、卜||):主对角元素的乘积；“(”一|)④、|，|和|/|：副对角元素的乘积x(-l)F~.AnAC CA\OA⑤、拉普拉斯展开式： ==同忸卜=r=(-i)™"W⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值：.对于”阶行列式⑷，恒有：|2E-A|=/l"+,其中S*为上阶主子式;k=l.证明同=0的方法：①、|a|=-|a|；②、反证法；③、构造齐次方程组Ax=0,证明其有非零解；④、利用秩，证明r(A)<”;⑤、证明0是其特征值；2、矩阵.A是”阶可逆矩阵：=>|A|*0(是非奇异矩阵)；or(4)="(是满秩矩阵)oA的行(列)向量组线性无关；。齐次方程组Ax=0有非零解；=>VAeZ?",Ar=Z>总有唯一解：=>A与E等价：oA可表示成若干个初等矩阵的乘枳；oA的特征值全不为0；o是正定矩阵；OA的行(列)向量组是肥的一组基：oA是K"中某两组基的过渡矩阵；.对于”阶矩阵A：AA^A'A=\A\E无条件恒成立；.(4')*=(£尸 (A,/=(Ar)-' (4了=(川)・(AB)t=BtAt (AB)'=B'A' (AB)-'=B'A'.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；.关于分块矩阵的重要结论，其中均4、8可逆：TOC\o"1-5"\h\z‘A '若4= 4 ,则：i、⑶=⑷阕…⑷；V 、n、a'= &1...、 心②、诊〉图图；（主对角分块）③、＞=/*）（副对角分块）卜cY'Ja'-a'cb-Y{oB）[oB'Ja（AOX'（A'O\ 八吐、⑤、I-J=1 ।,,；（拉普拉斯）（C8） 1-8'CA—B'）3、矩阵的初等变换与线性方程组.一个,"X”矩阵A,总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：尸=偿S；1。°L„等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵4、B,若r(A)=r(8)o4B：.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得：②、每行首个非0元素必须为1：③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；.初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)①、若(A,E)'(E,X),则4可逆，且X=4i;②、对懈(A.3)做初等行变化，当A变为E时，B就变成/T%，即(A.B)~(E,AB)；③、求解线形方程组：对于“个未知数”个方程Ax=b,如果(4力)‘(E,x),则A可逆,且x=A~'b；.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，山其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

'4 、②、A=&. ,左乘矩阵A,4乘A的各行元素；右乘，4乘A的各列元素；j1yr1、］③、时调两行或两列，符号E(i,j),且取,_/尸=E(i,j),例如：1 =1 ;<b<L④、倍乘某行或某列，符号E(i(A)),且E(i(A))T=E(心))，例如：k门、(A#0);⑤、倍加某行或某列，符号E(y(*)),且E(i/(k))~'=E(i/(-k)),如：吓'(\ -k、= 1(AwO);、JIL.矩阵秩的基本性质：①、04r(AmGVming"):②、r(Ar)=r(A)；③、若AB,则r(4)=r(B)；④、若尸、。可逆，则r(A)=r(尸A)=r(AQ)=r(尸AQ)；(可逆矩阵不影响矩阵的秩)⑤、maxr(A),r(B))r(A,B)<r(A)+r(B)；(X)⑥、r(A+B)<r(A)+r(B);(X)⑦、r(AB)<nua(r(A),r(B))；(X)⑧、如果4是/nx"矩阵，B是”xs矩阵，且A8=0,则：(X)I、8的列向量全部是齐次方程组4X=0解(转置运算后的结论)：II、r(A)+r(B)<n⑨、若A、8均为"阶方阵，则r(AB)Nr(A)+r(B)-”；.三种特殊矩阵的方辕：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)x行矩阵(向量)的形式，再采用结合律；'lac、②、型如01b的矩阵：利用二项展开式；、。0"二 项 展 开 式：(a+b『=C：a"+C\an'b'+--+Cy,mbm+