高考数学(文数)一轮复习习题 专题训练 定点、定值、证明问题 (含解析)

升级增分训练定点、定值、证明问题1．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，短轴端点到焦点的距离为2．(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB．求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值．解：(1)由题意知，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，eq\r(b2＋c2)＝2，又a2＝b2＋c2，所以a＝2，c＝eq\r(3)，b＝1，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1．(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±eq\f(2\r(5),5)，此时，原点O到直线AB的距离为eq\f(2\r(5),5)．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝kx＋m，))得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0．则Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)＞0，x1＋x2＝－eq\f(8km,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(4m2－4,1＋4k2)，则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝eq\f(m2－4k2,1＋4k2)，由OA⊥OB，得kOA·kOB＝－1，即eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝－1，所以x1x2＋y1y2＝eq\f(5m2－4－4k2,1＋4k2)＝0，即m2＝eq\f(4,5)(1＋k2)，满足Δ＞0．所以原点O到直线AB的距离为eq\f(|m|,\r(1＋k2))＝eq\f(2\r(5),5)．综上，原点O到直线AB的距离为定值eq\f(2\r(5),5)．2．(2017·湖南省东部六校联考)设椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PF1F2的周长是4＋2eq\r(3)．(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足eq\o(AB,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))∥eq\o(OC,\s\up7(→))，连接AC交DE于点P，求证：PD＝PE．解：(1)由e＝eq\f(\r(3),2)，知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以c＝eq\f(\r(3),2)a，因为△PF1F2的周长是4＋2eq\r(3)，所以2a＋2c＝4＋2eq\r(3)，所以a＝2，c＝eq\r(3)，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C1的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1．(2)证明：由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，设D(x0，y0)，所以E(x0,0)，因为eq\o(AB,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，所以可设C(2，y1)，所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝(x0＋2，y0)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(2，y1)，由eq\o(AD,\s\up7(→))∥eq\o(OC,\s\up7(→))可得(x0＋2)y1＝2y0，即y1＝eq\f(2y0,x0＋2)．所以直线AC的方程为：eq\f(y,\f(2y0,x0＋2))＝eq\f(x＋2,4)．整理得y＝eq\f(y0,2x0＋2)(x＋2)．又点P在直线DE上，将x＝x0代入直线AC的方程可得y＝eq\f(y0,2)，即点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(y0,2)))，所以P为DE的中点，所以PD＝PE．3．椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(1,2)，其左焦点到点P(2，1)的距离为eq\r(10)．(1)求椭圆C的标准方程．(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)因为左焦点(－c,0)到点P(2,1)的距离为eq\r(10)，所以eq\r(2＋c2＋1)＝eq\r(10)，解得c＝1．又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，所以b2＝a2－c2＝3．所以所求椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去y，得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m化简，得3＋4k2－m2＞0．所以x1＋x2＝eq\f(－8mk,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(4m2－3,3＋4k2)．y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝eq\f(3m2－4k2,3＋4k2)．因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2,0)，则kAD·kBD＝－1，所以eq\f(y1,x1－2)·eq\f(y2,x2－2)＝－1，所以y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，所以eq\f(3m2－4k2,3＋4k2)＋eq\f(4m2－3,3＋4k2)＋eq\f(16mk,3＋4k2)＋4＝0．化为7m2＋16mk＋4k解得m1＝－2k，m2＝－eq\f(2k,7)，满足3＋4k2－m2＞0．当m＝－2k时，l：y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；当m＝－eq\f(2k,7)时，l：y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,7)))，直线过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,7)，0))．综上可知，直线l过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,7)，0))．4．(2016·南昌一模)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x＋y＋2eq\r(2)－1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2＝k3k4．①求k1k2的值；②求|OB|2＋|OC|2的值．解：(1)设椭圆C的右焦点为F2(c,0)，则c2＝a2－b2(c＞0)．由题意可得，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x－c)2＋y2＝a2，∴圆心到直线x＋y＋2eq\r(2)－1＝0的距离d＝eq\f(|c＋2\r(2)－1|,\r(2))＝a．(*)∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，∴b＝eq\r(3)c，a＝2c，把a＝2c代入(*)式得c＝1，b＝eq\r(3)，a＝2，故所求椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．(2)①设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(－x1，－y1)，于是k1k2＝eq\f(y2＋y1,x2＋x1)·eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1))＝eq\f(\f(3,4)4－x\o\al(2,2)－\f(3,4)4－x\o\al(2,1),x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1))＝－eq\f(3,4)．②由①及题意知，k3k4＝k1k2＝－eq\f(3,4)，故y1y2＝－eq\f(3,4)x1x2．∴eq\f(9,16)xeq\o\al(2,1)xeq\o\al(2,2)＝yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＝eq\f(3,4)(4－xeq\o\al(2,1))·eq\f(3,4)(4－xeq\o\al(2,2))，即xeq\o\al(2,1)xeq\o\al(2,2)＝16－4(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))＋xeq\o\al(2,1)xeq\o\al(2,2)，∴xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝4．又2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),4)＋\f(y\o\al(2,1),3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2