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第三节极限存在准则两个重要极限极限存在准则夹逼准则单调有界数列必有极限柯西极限存在准则推出推出重要极限:重要极限:应

用1一、极限存在准则及重要极限1.极限存在准则①夹逼准则（夹逼定理）准则1：如果数列若2②准则2

单调有界数列必有极限。......…..A.M收敛的数列一定有界，但有界的数列不一定收敛。如果数列不仅有界，而且单调，那么该数列的极限一定存在，即该数列一定收敛。32.两个重要极限变形4例题1.用夹逼准则（夹逼定理）证明或求极限例1：解：56例2

用夹逼准则证明：oABCDx证：789例3

设求可以作为已知极限的极限解：则有设而由夹逼定理分析：设102.用极限存在准则2，证明并求函数的极限

例4

设（1）证明：数列单调减少且有下界；（2）求证明：（1）显然由于数列有下界；又因为单调减少。数列（2）由（1）知，数列的极限必然存在，设则即解得（舍去）。11例5

设证明数列有极限，并求证明：用数学归纳法证明数列单调递减。因为设当时，由于得到时，由此可知单调递减。即都有所以有极限。不妨设则解得（舍去）显然有

即有下界。12解例6：解：例7：3.两个重要极限的应用例8：解：可作为公式13例9：解：由于令由复合函数求极限的法则：如可作为公式14令则例10：解：另解：15例11解：令则且当时，另解：16例12解：17二、无穷小的比较无穷小高阶无穷小同阶无穷小低阶无穷小等价无穷小等价无穷小的充要条件等价无穷小的替换特例18两个无穷小比的极限不同，反映了不同无穷小趋于零的“快慢”程度基本理论

191.定义：20证：定理1：证：3.等价无穷小的替换定理2.等价无穷小的充要条件21例题

1.确定无穷小的阶例1

当时，下列函数分别为的几阶无穷小？解：所以的2阶无穷小。是所以的同阶无穷小。是22所以的2阶无穷小。是所以的2阶无穷小。是确定无穷小的阶这类问题的一般方法是：（1）通过求极限的方法来确定无穷小的阶；（2）利用无穷小的替换。23例2

当时，是等价无穷小，则k=？。（2005年研究生入学试题,数学二）解24例3：解：2.利用无穷小的替换定理求极限例4：解：25解：例5：（2005年研究生入学试题,数学三）注：熟练运用经常用到的等价无穷小的替换当时，26例6：解：例7：解：27?注

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