数学所讲座第54讲课件

数学所讲座,2016年9月7日从太阳系的稳定性问题谈起

尚在久中科院数学与系统科学研究院数学研究所数学所讲座,2016年9月7日从太阳系的稳定性问题谈起报告摘要

本报告围绕基于牛顿运动方程的太阳系的稳定性问题（简称“稳定性问题”），简要介绍天体力学和动力系统的若干交叉发展历史片段，特别侧重于介绍在解决“稳定性问题”的过程中发展起来的某些动力系统基本概念、基本方法和基本结果，从中窥探一个好的科学问题如何持久地推动数学基础理论发展，一个有生命力的数学基础理论如何深刻地影响着科学的发展。

本报告在某种程度上是程崇庆2012年数学所讲座“哈密尔顿系统的运动复杂性”的部分细节性补充。

报告摘要

牛顿（IsaacNewton，1643-1727）

PhilosophiæNaturalisPrincipiaMathematica(1687)

自然哲学的数学原理牛顿运动方程（第二定律+万有引力定律）：问题：给定N质点系的初始位置和初始速度，确定该质点系在任一时刻的位置和速度，使之满足牛顿运动方程。

牛顿（IsaacNewN质点系统的状态空间（6N维）：TM,其中

M=E×E×…×EΔ,Δ是碰撞流形10个首次积分：质心做匀速直线运动：6个首次积分；动量矩守恒：3个首次积分；能量守恒：一个首次积分N=2（Kepler二体问题）,6N-10=2(方程可解！）；N=3（三体问题），6N-10=8（方程不可解！）N=3,第三体质量为零，被称为“限制性三体问题”,在一些特殊情形可求得一些重要的解析解（但求不出全部解！）。

N质点系统的状态空间（6N维）：TM,其中太阳系：是以太阳为中心，和所有受到太阳引力约束的天体集合。八大行星：水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星；173颗已知的卫星；5颗已经辨认出来的矮行星；数以亿计的太阳系小天体（包括人造卫星、航天飞行器等）。太阳系：是以太阳为中心，和所有受到太阳引力约束的天体集合。牛顿运动方程的数学推导（牛顿）伽利略时空

{

}伽利略变换：(1)保持时间间隔不变;(2)保持同一时刻两事件间距离不变匀速直线运动时空参照系原点平移坐标系的旋转一般的伽利略变换是上述三个基本变换的复合N质点系统的伽利略变换：每个质点做相同的上述伽利略变换相对性原理：在惯性参照系中运动方程在伽利略变换下不变牛顿运动方程的一般形式：一个封闭的力学系统，物体之间的作用力只依赖各个物体之间的距离及其相对速度；惯性系下加速度不变。万有引力定律（牛顿，1687）:由Kepler三定律+力的叠加性质导出。牛顿运动方程的数学推导（牛顿）伽利略时空Kepler问题：N=2牛顿根据Kepler三定律推导出天体间作用力与距离的平方成反比"ThedirectKeplerproblem"("leproblemedirect"):givenacurve(e.g.anellipse)andthecenterofattraction(e.g.thefocus),whatisthelawofthisattractionifKepler'ssecondlawholds?Proposition(Newton):ifabodymovesonanellipseandthecenterofforceisatoneofthefoci,thentheforceisinverselyproportionaltothesquareofthedistancefromthecentertothebody.Kepler问题：N=2牛顿运动方程求解

（J.Hermann,J.Bernoulli,Euler,etc)Kepler问题求解（N=2)：“TheinverseKeplerproblem”：牛顿验证了Kepler

三定律；J.Hermann,JohannBernoulli（1710）：

给出了Kepler问题的精确解；特别，J.Bernoulli的解法成为标准解法（利用了守恒律）牛顿运动方程求解

（J.Hermann,J.Berno

1571-1630，德国天文学家，丹麦天文台台长

Kepler问题

（轨线方程）

Trajectory(inpolarcoordinates)f=真近点角

，=半长轴e=离心率开普勒轨道根数：天体状态坐标：

1571-1630，德国天文学家，丹麦天文台台长

数学所讲座第54讲课件N-体问题N-体问题：(无解析解！---Poincaré）在Poincaré以前，牛顿运动方程的求解一直是微分方程的主要研究课题，鲜有实质性进展。但是此问题刺激了常微分方程、变分学、拓扑学、动力系统和数学其它分支的发展，涌现了大批著名数学家。本报告涉及到的还有：Laplace,Lagrange,Poisson,Liouville,Hamilton,Poincaré,Kolmogorov和Arnold，Moser等，他们在数学和力学界都享有盛誉。N-体问题N-体问题：(无解析解！---

拉普拉斯（Pierre-SimonLaplace）：法国的牛顿

1749-1827

法国数学家、天体力学的主要奠基人MécaniqueCéleste(CelestialMechanics)5卷(1799–1825）牛顿虽然发明了微积分，但是并没有用来求解他建立的运动方程，他研究天体力学问题还是运用繁琐的几何推理方法；经麦克劳林、伯努利兄弟、泰勒和欧拉等对微积分的发展，特别是伯努利兄弟和欧拉对微分方程的研究，开始了求解牛顿运动方程的漫长征程。关于太阳系稳定性问题，第一个提出并取得实质性进展的是拉普拉斯。“太阳系的稳定性问题”：在牛顿万有引力作用下，在遥远的未来，太阳系是否还保持现在的运动状态？是否有行星会发生碰撞或者逃逸到太阳系以外？“证明”（1773）---经行星椭圆轨道离心率的一次幂级数逼近，平均系统各行星主半轴无长期变化。哲学：牛顿-拉普拉斯决定论。即目前的状态决定过去和未来（常微分方程初值问题解的存在唯一性。但是无所不在的分叉和混沌现象颠覆了Laplace的决定论信条）。拉普拉斯（Pierre-SimLaplace摄动法---

求解数学物理方程的主要方法发展了摄动法，开创了天体力学研究新局面（19世纪中叶Adams和LeVerrier据此精确计算发现了海王星---太阳系最外层一颗行星）；解释木星轨道为什么在不断地收缩，而同时土星轨道又在不断地膨胀。用数学方法证明行星的轨道大小只有周期性变化，为偏心率和倾角的3次幂。发现木星三卫星和土星四卫星的公度关系（频率的有理相关性）；给出保守力的势函数表示，提出拉普拉斯调和方程（1784-85）；摄动法：把方程未知量分成慢变量（如半长轴、离心率、倾角等）和快变量（如角变量等），平均系统是对天体绕行一周做平均得到的系统。

，Laplace摄动法---

求解数学物理方程的主要方法发展平均方法平均系统

（A）其中，

Laplace证明：系统（A）的给定初值的解

得第一个分量关于的幂级数展开的一次幂中无下列形式的项：

平均方法平均系统

拉格朗日（Lagrange,1736-1813)

生于意大利，先后供职于都灵、柏林普鲁士科学院，定居巴黎《分析力学》----“力学成为分析学的一个分支”Lagrange对稳定性问题的贡献（1774-76）：把Laplace的结果推广到关于椭圆轨道离心率的所有阶逼近，对轨道平面相互间倾角的所有阶逼近以及对行星质量与太阳质量之比的一阶逼近（仍然针对平均系统！）。Lagrange的更大贡献是建立了Lagrange力学，发展了变分学。Lagrange函数：作用量变分：Euler_Lagrange方程：拉格朗日（Lagrange,1736-18Lagrange力学和变分原理针对带约束的力学系统，发展了牛顿力学，建立了拉格朗日力学---牛顿力学的一种新的表述；特别引入作用量(Lagrange函数）、广义坐标和广义动量，使得Lagrange表述下的运动方程（Euler-Lagrange方程）具有形式不变性---这是一个非常重要的性质，使得力学问题有了统一系统的数学处理方法，更具有普适性，而且为之后更重要的Hamilton力学提供了条件；除了经典力学，场论和统计物理也都采用Lagrange和Hamilton表述，成为更具普适性的数学框架。由此也推动数学分析成为一个独立的分支。Lagrange变分原理：作用量（Lagrange函数的路径积分）取极小

普遍适用的原理（任何一种物理或力学平衡态都可认为是某种泛函取极值的态，如天体的周期运动以及各天体间稳定的位置关系都可解释为某种量取极值的状态，这个观点仍有极大的应用和发展前景）。Lagrange力学和变分原理

泊松（SimoenDaniesPoisson，1781-1840）

法国数学家、物理学家、力学家《力学教程》（2卷）---发展了拉格朗日和拉普拉斯的思想，成为名著受到Laplace和Lagrange赏识，擅长应用数学方法研究各类力学和物理问题，并由此得到数学上的发现；他对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献；在天体力学方面，他研究了关于月球和行星的理论以及太阳系稳定性的某些问题，计算出由球体和椭球体引起的万有引力；稳定性问题：推广了Lagrange的结果，证明了行星的长轴关于质量比的二阶扰动不含长期项（1809）；Poisson稳定性：质点系统的构型反复地回到初始位置附近，则系统被称为Poisson稳定----引出后来的著名的Poincare回复定理（动力系统的基本定理之一）。泊松（SimoenDanies刘维尔(JosephLiouville，1809-1882)

法国数学家

创办《纯粹与应用数学杂志》(Journaldematématiquespuresetappli－quées)，并亲自主持了前39卷的编辑出版工作，被后人称为《刘维尔杂志》(Liouville’sJournal)。著名的伽罗瓦群论的文章是Liuville在伽罗瓦死后亲自编辑发表的。椭圆函数、微分方程、数论等方面贡献卓著；引进作用-角变量，提出Liouville可积性（Kepler问题是可积的）稳定性问题：Poisson之后近70年无进展，Liouville于1878年显著简化了Poisson很长的证明，引入了新的方法。年轻的Spiru

Haretu(罗马尼亚，1851-1912)证明：行星轨道长轴关于与太阳质量比的三阶幂级数展开项中出现长期项，从而明确得出与Laplace，Lagrange和Poisson相反的结论。证明中利用了牛顿运动方程的Hamilton表述和对称约化的思想，将计算推进到三阶逼近。这个证明也表明定量方法已经走向了死胡同，稳定性问题其离解决路途遥远。Bruns(1887):除了幂级数展开法外，没有其他定量方法能解决稳定性问题。刘维尔(JosephLiouville，1809-1882哈密尔顿(WilliamRowanHamilton，1805-1865)

爱尔兰数学家、力学家和天文学家研究几何光学时提出并发展了Hamilton典则方程，后应用于经典力学发展出Hamilton力学---牛顿力学的新的表述，更具普适性。哈密尔顿(WilliamRowanHamilton，1哈密尔顿力学相空间上的辛结构：非退化反对称微分2-形式哈密尔顿系统在相空间上的演化是单参数辛变换群，即保持辛结构不变的变换；Hamilton函数在辛变换下不变,自治系统能量守恒；基于哈密尔顿方程，经Jacobi以及Lindstedt等人的发展，经典力学中基于Laplace扰动展开的幂级数解法已经发展的非常成熟。在作用-角变量下，哈密尔顿函数

其中是可积哈密尔顿函数（如Kepler二体问题），是小参数；哈密尔顿力学相空间上的辛结构：非退化反对称微分2Hamilton-Jacobi方程：求满足：幂级数解（Lindstedt)：若幂级数解存在且收敛，则在新的作用-角坐标下，运动方程为：解：在旧坐标下，问题：上述幂级数一般是发散的！（庞加莱，1890）（现在已知，求解H-J方程是一个极其困难的问题，一般来说，没有光滑解。H-J方程在动力系统、最优传输、控制论和流体力学等方面有重要应用。）Hamilton-Jacobi方程：求满足：庞加莱(JulesHenriPoincaré,1854-1912)

法国数学家研究涉及数论、代数学、几何学、函数论和微分方程等许多领域，特别他开创了动力系统和组合拓扑学。他被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人。他和Hilbert是对二十世纪的数学影响最大的两个人。阿达玛认为庞加莱“整个地改变了数学科学的状况，在一切方向上打开了新的道路。”

庞加莱关于稳定性问题的工作起源于1885年瑞典国王奥斯卡二世所设的一项有奖问题(ActaMathematica,Vol.7,1885)：

一个只受牛顿引力作用的质点系统，假设没有任何两个质点发生碰撞，则各个质点的坐标作为时间的函数可表示为一个一致收敛的幂级数的和，其中幂级数的每一项由已知函数给出。这个问题由当时欧洲的数学权威Weierstrass受命给出（评奖委员会还有Hermite

和Mittag-Leffler).具上世纪70年代公布的Weistrass与Kowalevskaya的通信显示，Dirichlet曾于1858年声称证明了这个问题，但是由于其很快去世，手稿遗失。但Weierstrass深信Dirichlet是对的，把此问题设奖目的是想找到Dirichlet的证明。庞加莱(JulesHenriPoincaré,1854-

狄利克雷（Dirichlet，PeterGustavLejeune，1805～1859）

德国数学家，高斯的继任者，解析数论创始人1888年，庞加莱提交了关于这个问题的论文“关于三体问题的动态方程”(Surleproblemedestroiscorpsetlesequationsdeladynamique,ActaMath1890,270页），但并不是证明这样的级数一致收敛，相反，他证明了这样的级数一般发散，想求得“N体问题”的通解是不可能的！发散的原因是幂级数的每一项的系数都包含所谓的“小分母”（分母是一个固定频率映射和可任意取值的整数向量的内积----因此这个内积随着级数项数的增大可任意小！而且在一个稠密但零测度集合上取值为零！）。这个结果对Weierstrass是个打击。但是评奖委员会还是决定把奖颁给Poincare，因为他的工作深化了人们对“N体问题”的理解,深刻揭示了其动力学的复杂性。庞加莱之后在“N体问题”方面的工作，更开创了微分方程定性理论和动力系统新领域。动力系统的许多概念和问题来自Poincare(LesMethodsNouvellesdelaMecaniqueCeleste---天体力学新方法三卷）。经Birkhoff,Kolmogorov,Smale,Arnold,Moser等人的工作，动力系统逐步摆脱天体力学的局限，成为一门独立的学科，特别几何、拓扑和分析等强有力的方法的应用，使得动力系统获得了巨大发展，也产生了重要的应用。狄利克雷（Dirichlet，PeterGustavWeierstrass的坚定信念和Kolmogorov的深刻洞察据公开的信件显示，Weierstrass仔细审核了庞加莱的论文后，认为也不排除存在收敛的幂级数解。Weierstrass的这个信念被苏联数学家A.N.

Kolgmorov（1954）和V.I.Arnold(1963)证实了，即确实能够验证：从相空间的大多数初值出发的轨道其解是由关于时间一致收敛的幂级数表达的，更好的是，这些解是拟周期的，因此是稳定的。Poincare的结果已经表明：一般来说，可积系统经扰动后不再是可积的，因此Lindstedt的方法试图把近可积哈密尔顿系统在典则坐标变换下变成可积系统是行不通的。Kolmogorov的思想：类似于函数求根，对微分方程在其解附近运用牛顿迭代，但是因为“小分母”问题，迭代的收敛性证明是主要难点，但利用牛顿迭代的二次收敛性以及系统的解析性质（解析函数Fourier展开的系数指数衰减），正好能够补偿丢番图频率向量带来的包含小分母的系数的幂次增长，从而得以保证迭代过程收敛，而且由于丢番图向量在频率向量空间是全测集，这个过程在一个大测度集合上收敛，Kolmogorov最初给的条件是可积系统的频率映射非退化，保证给定丢番图频率的不变环面的存在性。1998年H.Ruessmann把非退化条件大大减弱，只要频率映射的像不落在过原点的超平面就行，不过此时不变环面虽然存在，但是不能保证是指定频率的不变环面（频率飘移）。KAM定理间接证明了Lindstedt级数在相空间的大部分收敛)。Weierstrass的坚定信念和Kolmogorov的深刻

柯尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov,1903-1987）

前苏联数学家

实分析、泛函分析、概率论、动力系统、流体力学Kolmogorov定理：一般情形的近可积哈密顿系统的拟周期解在相空间中占据一个正测度的无处稠密的集，其测度随着扰动趋于零趋于一个全测集。（发表在ICM54会议文集上（闭幕演讲,仅4页，包含了证明思路）近可积系统：完全可积系统+小扰动一般情形：可积系统非退化（或者等能非退化）（不能直接应用于太阳系！）拟周期解的频率的个数=自由度数,在最大维数的环面上遍历（极小不变环面）！不变环面的频率是丢番图向量（所有丢番图向量构成全测集）。详细证明被其学生V.Arnold（1963）对解析哈密尔顿系统和德国的J.Moser（1962）对333次可微的二维扭转映射给出。定理被后来的数学界冠名为KAM

定理，被认为是二十世纪经典力学和动力系统的突破性成果。应用于”N体问题”-----Arnold的一系列工作（克服Kepler退化!）柯尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov,V.I.Arnold(1937-2010),俄罗斯数学家（天体力学，辛几何，动力系统,代数几何）

J.Moser(1928-1999)，德国数学家（微分方程，动力系统，辛几何）“小分母问题”的相关工作：C.L.Siegel(1896-1981),德国数学家（数论，复分析，天体力学）

——解析函数的线性化问题（首先克服了小分母困难，1942）

-----SiegeldiskJ.C.Yoccoz(1984,1985,1995),法国数学家，Fields奖（1994）

------V.I.Arnold(1959):M.Herman(1976):Aubry-Mathertheory

（应用于解决Arnold扩散：Mather+程崇庆）；KAM理论在退化、无穷维、低维环面等情形的丰富和完善；

J.Mather(1942-)Painleve猜想(1897)：有限时间内产生非碰撞奇点夏志宏（Ann.Math.1992)：构造了一个五体问题的例；Hamilton系统周期解理论，天体力学中心构形（变分法）辛几何哈密尔顿系统的计算（辛算法，Ruth,冯康1980s）V.I.Arnold(1937-2010),俄罗斯数关于KAM定理的注记揭示了近可积哈密尔顿系统的动力学复杂性（拓扑不稳定）

KAM定理表明，n个自由度的非退化且完全可积的哈密尔顿系统，在系统的结构扰动下，大多数初值出发的运动都是拟周期运动，其极小不变集是n维环面。这些环面的并是相空间的一个大测度的Cantor集，余集是相空间的稠密的开集，但测度随着扰动的减小而趋于零。当n=2时，紧的能量面是3维，每个二维不变环面把能量面分割成不连通的两部分（内部和外部），因而能量面被不可数多的二维不变环面分割开来，而且这些不变换面在能量面上占据了一个大测度的集合，因此保证了运动稳定性。当n=3时，能量面是5维，三维不变环面不能把5维能量面分割成不连通的部分，Arnold猜测，不变环面以外的初值出发的相轨道可能具有运动不稳定性，1964年他举例说明这种现象存在，但扩散速度与系统扰动相比指数级慢，被称为Arnold慢扩散。1977年，Nekhoroshev证明：如果扩散存在，一般情况下扩散速度确实指数级慢（对解析哈密尔顿系统）。但扩散是否存在？这一直是哈密尔顿系统领域一个颇受关注的问题，一些学者从Arnold的几何方法角度，另一些学者从Mather变分方法（1991）的角度进行研究，取得一些进展，较大的进展是由程崇庆等最近取得的（三个自由度近可积哈密尔顿系统的扩散轨道的存在性）。

关于KAM定理的注记揭示了近可积哈密尔顿系统在近乎随机选取初值的意义下的运动稳定性

不变环内一定有周期解,即相空间中的闭曲线（闭轨道）。但是只有稳定的轨道才应该是有意义的。在Poincare之前，Hill（1978）研究月球的运动（平面限制三体问题），找到了月球方程的两个周期解，落在能量面（非紧）Hill

的方程是（2个自由度的Hamilton系统）

Hill的理论极大地吸引了Poincare的注意，深刻地影响了Poincare，按照G.D.Birkhoff的说法，“Hill关于月球理论的研究掀开了理论动力学的重要篇章”。Poincare证明了哈密尔顿系统在椭圆平衡点周围存在无穷多周期解，构成一张过此平衡点的二维曲面，但所有这些周期轨道是否稳定无法证明。直到1979年，M.Kummer才运用KAM定理证明了Hill的两个周期轨道的稳定性，时间过去了整整一个世纪。应用KAM定理证明限制性三体问题甚至三提问体周期轨的稳定性已经有了不少工作，直到最近还有人证明三体问题中著名的8字形周期轨是稳定的（8字形周期轨的论文见A.ChencinerandR.Montgomery，Aremarableperiodicsolutionofthethree-bodyprobleminthecaseofeaualmasses,Ann.Math(2)152:2,881-901(2000)).揭示了近可积哈密尔顿系统在近乎随机选取初值的意义下的运动稳定Lindstedt’s方法Lindstedt’s方法KAM方法KAM方法动力系统

稳定性问题的研究揭示了牛顿运动方程和更一般的哈密尔顿系统表现出极其丰富和复杂的动力学行为，有着丰富而深刻的数学内容。Poincare的开创性工作，经Birkhoff等大批杰出数学家的大力发展，动力系统发展演变成为一个重要的研究领域和活跃的数学分支。下面仅就与哈密尔顿系统和稳定性问题密切相关的几个基本方面做简单介绍。（1）圆周保向微分同胚（2）平面环域扭转映射（3）解析函数的线性化动力系统不变环面、Poincare映射不变环面、Poincare映射（1）圆周的保向（微分）同胚:旋转数（Poincare):定理1.1（Poincare)

保向同胚存在旋转数，且旋转数不依赖圆周上点的选取。旋转数是有理数当且仅当同胚的某个有限次迭代映射有不动点。旋转数是一个拓扑不变量。定理1.2（Denjoy,1932)圆周的保向同胚属于,且旋转数是无理数，则它拓扑等价于标准旋转定理由Poincare1885年猜测（对三角多项式函数）。Denjoy还举反例说明不成立。（1）圆周的保向（微分）同胚:稳定性（解析同胚解析共轭于旋转映射）定理1.3（Arnold1960,Ruessmann1970,Yoccoz1989)设A是的单位圆周映射，其旋转数是无理数，其连分数表示为.设

如果,则存在，使得如果则存在解析同胚，使得：.而且丢番图条件是最优的。到环面的推广（Arnold1961,Moser1962,1990)光滑共轭。

最优结果？稳定性（解析同胚解析共轭于旋转映射）刚性定理1.4（Herman,Yoccoz)若是解析保向微分同胚，旋转数满足某种丢番图条件，则解析共轭于标准的圆周旋转。所给的丢番图条件是最优的（Yoccoz）.定理1.5

（Herman1976,Khanin&Teplinski2009)是保向微分同胚，旋转数满足丢番图条件，0≤<≤1,-<1.则（1+-)-次光滑共轭于标准旋转。定理1.6（Khanin&Khmelev2003)若两个圆周保向同胚具有相等的二次无理旋转数，都存在唯一的非光滑点，且在此点左、右导数都为正数，而且比值相等，在其余点都是（2+）次光滑的，且则存在>0，使得此二同胚（1+）次光滑共轭。证明方法：重整化技术、交叉比刚性（2）环域的保面扭转映射定理2.1（Moser1962,Herman1983)环域上（3+）次可微的标准保面扭转映射的（3+）次扰动（扰动后的映射还是保面积映射），存在同伦于边界的闭曲线，而且闭曲线所占据环面的测度随着扰动的消失趋于环面的测度。定理2.2（Poincare-Birkhoff)环域上保面扭转微分同胚至少存在两个不动点。定理2.3

（Mather,1982)设A是环域到自身保持边界旋转的单调扭转同胚，其在边界的旋转数为α<β,对任一γ：α<γ<β,存在实轴上一个弱保序映射f(t)使得f(t+1)=f(t)+1A(f(t),g(t))=(f(t+γ),g(t+γ))其中g(t)也是一个弱保序的单位圆周的提升映射，由f和A唯一确定，与f有相同的连续点和间断点。若t是f的连续点，则t+γ，t-γ

也是；若γ=p/q,则存在(x,y)使得Aq(x,y)=(x+p,y);若γ是无理数，则f在任何区间上不为常数。

曲线x=f(t),y=g(t),-∞<t<+∞是一条环形不变曲线（可能间断），其闭包可能是Cantor集。（2）环域的保面扭转映射（3）解析函数的线性化定理3.1(Siegel1942)复平面原点领域的一个解析函数，若其在零点的导数在单位圆上，且满足丢番图条件，则在原点邻域解析等价于线性部分。定理3.2

(Yoccoz1984)上述结果对Bruno条件也成立，且反之亦然。若不满足Bruno条件，则二次函数不可线性化（此时在原点的任何邻域存在周期点）。定理3.2(Marco1993)给出原点邻域全纯函数不可线性化且没有周期点的充要条件（强Bruno条件）。早年Poincare的结果：函数在原点的导数不在单位圆上，总可以线性化。（3）解析函数的线性化太阳系稳定吗？

KAM理论并没有解决太阳系的稳定性问题，哈密尔顿系统的稳定性仍然是一个公开问题。即便大多数初始状态出发的天体确实在做拟周期运动，但是目前的天体是否是从这样的初始状态出发也无法验证；另一方面，太阳系在宇宙中不是孤立的，各天体间也不只受万有引力作用，特别是量子效应和引力的相对论效应作用，在宇宙时间尺度内也许会发生显著的变化，这个问题仍然是一个有意义的问题，不过已经远超出经典力学的研究范围。J.Laskar等的计算表明：水星的共振有可能导致水星、金星、火星与地球发生碰撞（3.34Gyr内,Nature2009)（由于频率共振水星离心率突然增大，导致椭圆轨道越来越扁）。太阳系稳定吗？Asimpleexample:Harmonicoscillator

HamiltonianfunctionEquationsofmotion:Phaseorbits:Theonlyequilibrium(p,q)=(0,0)(elliptic);Circlesofanyradiuscenteredattheorigin;Asimpleexample:HarmonicoscExplicitEuler:orbitsexpandoutward(wrong!)ExplicitEuler:orbitsexpandImplicitEuler:orbitscontractinward(wrong!)ImplicitEuler:orbitscontracImplicitEuler:“longtime”orbits(totallywrong!)ImplicitEuler:“longtime”oMidpointrule:almostcirclesfor“longtime”(right)Midpointrule:almostcirclesMidpointrule:almostcirclesfor“verylongtime”

(right)Midpointrule:almostcirclesAnonlinearsystem:PendulumHamiltonianfunction:Equationsofmotion:Phaseorbits:Equilibria,elliptic(hyperbolic)foreven(odd)k;Closedcurvesfor;SeparatrixforAnonlinearsystem:PendulumHaExplicitEuler:orbitsexpandoutward(wrong!)ExplicitEuler:orbitsexpandImplicitEuler:orbitscontractinward(wrong!)ImplicitEuler:orbitscontracMidpointrule:closedcurvesfor“verylongtime”(right)Midpointrule:closedcurvesfMidpointrule:saddleseparatrixfor“verylongtime”(right)

(symplectic,area-preservingmap)Midpointrule:saddleseparatrEulermidpointrule

是辛算法，在一个自由度的情形，保持相平面面积不变。这个性质可以推广到高维相空间上的哈密尔顿系统，构造一般的保持相空间辛结构的算法（冯康等）。Eulermidpointrule是辛算法，在一个自由谢谢大家！数学所讲座第54讲课件Midpointrule:closedcurvesfor“verylongtime”(right)Midpointrule:closedcurvesf数学所讲座,2016年9月7日从太阳系的稳定性问题谈起

尚在久中科院数学与系统科学研究院数学研究所数学所讲座,2016年9月7日从太阳系的稳定性问题谈起报告摘要

本报告围绕基于牛顿运动方程的太阳系的稳定性问题（简称“稳定性问题”），简要介绍天体力学和动力系统的若干交叉发展历史片段，特别侧重于介绍在解决“稳定性问题”的过程中发展起来的某些动力系统基本概念、基本方法和基本结果，从中窥探一个好的科学问题如何持久地推动数学基础理论发展，一个有生命力的数学基础理论如何深刻地影响着科学的发展。

本报告在某种程度上是程崇庆2012年数学所讲座“哈密尔顿系统的运动复杂性”的部分细节性补充。

报告摘要

牛顿（IsaacNewton，1643-1727）

PhilosophiæNaturalisPrincipiaMathematica(1687)

自然哲学的数学原理牛顿运动方程（第二定律+万有引力定律）：问题：给定N质点系的初始位置和初始速度，确定该质点系在任一时刻的位置和速度，使之满足牛顿运动方程。

牛顿（IsaacNewN质点系统的状态空间（6N维）：TM,其中

M=E×E×…×EΔ,Δ是碰撞流形10个首次积分：质心做匀速直线运动：6个首次积分；动量矩守恒：3个首次积分；能量守恒：一个首次积分N=2（Kepler二体问题）,6N-10=2(方程可解！）；N=3（三体问题），6N-10=8（方程不可解！）N=3,第三体质量为零，被称为“限制性三体问题”,在一些特殊情形可求得一些重要的解析解（但求不出全部解！）。

N质点系统的状态空间（6N维）：TM,其中太阳系：是以太阳为中心，和所有受到太阳引力约束的天体集合。八大行星：水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星；173颗已知的卫星；5颗已经辨认出来的矮行星；数以亿计的太阳系小天体（包括人造卫星、航天飞行器等）。太阳系：是以太阳为中心，和所有受到太阳引力约束的天体集合。牛顿运动方程的数学推导（牛顿）伽利略时空

{

}伽利略变换：(1)保持时间间隔不变;(2)保持同一时刻两事件间距离不变匀速直线运动时空参照系原点平移坐标系的旋转一般的伽利略变换是上述三个基本变换的复合N质点系统的伽利略变换：每个质点做相同的上述伽利略变换相对性原理：在惯性参照系中运动方程在伽利略变换下不变牛顿运动方程的一般形式：一个封闭的力学系统，物体之间的作用力只依赖各个物体之间的距离及其相对速度；惯性系下加速度不变。万有引力定律（牛顿，1687）:由Kepler三定律+力的叠加性质导出。牛顿运动方程的数学推导（牛顿）伽利略时空Kepler问题：N=2牛顿根据Kepler三定律推导出天体间作用力与距离的平方成反比"ThedirectKeplerproblem"("leproblemedirect"):givenacurve(e.g.anellipse)andthecenterofattraction(e.g.thefocus),whatisthelawofthisattractionifKepler'ssecondlawholds?Proposition(Newton):ifabodymovesonanellipseandthecenterofforceisatoneofthefoci,thentheforceisinverselyproportionaltothesquareofthedistancefromthecentertothebody.Kepler问题：N=2牛顿运动方程求解

（J.Hermann,J.Bernoulli,Euler,etc)Kepler问题求解（N=2)：“TheinverseKeplerproblem”：牛顿验证了Kepler

三定律；J.Hermann,JohannBernoulli（1710）：

给出了Kepler问题的精确解；特别，J.Bernoulli的解法成为标准解法（利用了守恒律）牛顿运动方程求解

（J.Hermann,J.Berno

1571-1630，德国天文学家，丹麦天文台台长

Kepler问题

（轨线方程）

Trajectory(inpolarcoordinates)f=真近点角

，=半长轴e=离心率开普勒轨道根数：天体状态坐标：

1571-1630，德国天文学家，丹麦天文台台长

数学所讲座第54讲课件N-体问题N-体问题：(无解析解！---Poincaré）在Poincaré以前，牛顿运动方程的求解一直是微分方程的主要研究课题，鲜有实质性进展。但是此问题刺激了常微分方程、变分学、拓扑学、动力系统和数学其它分支的发展，涌现了大批著名数学家。本报告涉及到的还有：Laplace,Lagrange,Poisson,Liouville,Hamilton,Poincaré,Kolmogorov和Arnold，Moser等，他们在数学和力学界都享有盛誉。N-体问题N-体问题：(无解析解！---

拉普拉斯（Pierre-SimonLaplace）：法国的牛顿

1749-1827

法国数学家、天体力学的主要奠基人MécaniqueCéleste(CelestialMechanics)5卷(1799–1825）牛顿虽然发明了微积分，但是并没有用来求解他建立的运动方程，他研究天体力学问题还是运用繁琐的几何推理方法；经麦克劳林、伯努利兄弟、泰勒和欧拉等对微积分的发展，特别是伯努利兄弟和欧拉对微分方程的研究，开始了求解牛顿运动方程的漫长征程。关于太阳系稳定性问题，第一个提出并取得实质性进展的是拉普拉斯。“太阳系的稳定性问题”：在牛顿万有引力作用下，在遥远的未来，太阳系是否还保持现在的运动状态？是否有行星会发生碰撞或者逃逸到太阳系以外？“证明”（1773）---经行星椭圆轨道离心率的一次幂级数逼近，平均系统各行星主半轴无长期变化。哲学：牛顿-拉普拉斯决定论。即目前的状态决定过去和未来（常微分方程初值问题解的存在唯一性。但是无所不在的分叉和混沌现象颠覆了Laplace的决定论信条）。拉普拉斯（Pierre-SimLaplace摄动法---

求解数学物理方程的主要方法发展了摄动法，开创了天体力学研究新局面（19世纪中叶Adams和LeVerrier据此精确计算发现了海王星---太阳系最外层一颗行星）；解释木星轨道为什么在不断地收缩，而同时土星轨道又在不断地膨胀。用数学方法证明行星的轨道大小只有周期性变化，为偏心率和倾角的3次幂。发现木星三卫星和土星四卫星的公度关系（频率的有理相关性）；给出保守力的势函数表示，提出拉普拉斯调和方程（1784-85）；摄动法：把方程未知量分成慢变量（如半长轴、离心率、倾角等）和快变量（如角变量等），平均系统是对天体绕行一周做平均得到的系统。

，Laplace摄动法---

求解数学物理方程的主要方法发展平均方法平均系统

（A）其中，

Laplace证明：系统（A）的给定初值的解

得第一个分量关于的幂级数展开的一次幂中无下列形式的项：

平均方法平均系统

拉格朗日（Lagrange,1736-1813)

生于意大利，先后供职于都灵、柏林普鲁士科学院，定居巴黎《分析力学》----“力学成为分析学的一个分支”Lagrange对稳定性问题的贡献（1774-76）：把Laplace的结果推广到关于椭圆轨道离心率的所有阶逼近，对轨道平面相互间倾角的所有阶逼近以及对行星质量与太阳质量之比的一阶逼近（仍然针对平均系统！）。Lagrange的更大贡献是建立了Lagrange力学，发展了变分学。Lagrange函数：作用量变分：Euler_Lagrange方程：拉格朗日（Lagrange,1736-18Lagrange力学和变分原理针对带约束的力学系统，发展了牛顿力学，建立了拉格朗日力学---牛顿力学的一种新的表述；特别引入作用量(Lagrange函数）、广义坐标和广义动量，使得Lagrange表述下的运动方程（Euler-Lagrange方程）具有形式不变性---这是一个非常重要的性质，使得力学问题有了统一系统的数学处理方法，更具有普适性，而且为之后更重要的Hamilton力学提供了条件；除了经典力学，场论和统计物理也都采用Lagrange和Hamilton表述，成为更具普适性的数学框架。由此也推动数学分析成为一个独立的分支。Lagrange变分原理：作用量（Lagrange函数的路径积分）取极小

普遍适用的原理（任何一种物理或力学平衡态都可认为是某种泛函取极值的态，如天体的周期运动以及各天体间稳定的位置关系都可解释为某种量取极值的状态，这个观点仍有极大的应用和发展前景）。Lagrange力学和变分原理

泊松（SimoenDaniesPoisson，1781-1840）

法国数学家、物理学家、力学家《力学教程》（2卷）---发展了拉格朗日和拉普拉斯的思想，成为名著受到Laplace和Lagrange赏识，擅长应用数学方法研究各类力学和物理问题，并由此得到数学上的发现；他对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献；在天体力学方面，他研究了关于月球和行星的理论以及太阳系稳定性的某些问题，计算出由球体和椭球体引起的万有引力；稳定性问题：推广了Lagrange的结果，证明了行星的长轴关于质量比的二阶扰动不含长期项（1809）；Poisson稳定性：质点系统的构型反复地回到初始位置附近，则系统被称为Poisson稳定----引出后来的著名的Poincare回复定理（动力系统的基本定理之一）。泊松（SimoenDanies刘维尔(JosephLiouville，1809-1882)

法国数学家

创办《纯粹与应用数学杂志》(Journaldematématiquespuresetappli－quées)，并亲自主持了前39卷的编辑出版工作，被后人称为《刘维尔杂志》(Liouville’sJournal)。著名的伽罗瓦群论的文章是Liuville在伽罗瓦死后亲自编辑发表的。椭圆函数、微分方程、数论等方面贡献卓著；引进作用-角变量，提出Liouville可积性（Kepler问题是可积的）稳定性问题：Poisson之后近70年无进展，Liouville于1878年显著简化了Poisson很长的证明，引入了新的方法。年轻的Spiru

Haretu(罗马尼亚，1851-1912)证明：行星轨道长轴关于与太阳质量比的三阶幂级数展开项中出现长期项，从而明确得出与Laplace，Lagrange和Poisson相反的结论。证明中利用了牛顿运动方程的Hamilton表述和对称约化的思想，将计算推进到三阶逼近。这个证明也表明定量方法已经走向了死胡同，稳定性问题其离解决路途遥远。Bruns(1887):除了幂级数展开法外，没有其他定量方法能解决稳定性问题。刘维尔(JosephLiouville，1809-1882哈密尔顿(WilliamRowanHamilton，1805-1865)

爱尔兰数学家、力学家和天文学家研究几何光学时提出并发展了Hamilton典则方程，后应用于经典力学发展出Hamilton力学---牛顿力学的新的表述，更具普适性。哈密尔顿(WilliamRowanHamilton，1哈密尔顿力学相空间上的辛结构：非退化反对称微分2-形式哈密尔顿系统在相空间上的演化是单参数辛变换群，即保持辛结构不变的变换；Hamilton函数在辛变换下不变,自治系统能量守恒；基于哈密尔顿方程，经Jacobi以及Lindstedt等人的发展，经典力学中基于Laplace扰动展开的幂级数解法已经发展的非常成熟。在作用-角变量下，哈密尔顿函数

其中是可积哈密尔顿函数（如Kepler二体问题），是小参数；哈密尔顿力学相空间上的辛结构：非退化反对称微分2Hamilton-Jacobi方程：求满足：幂级数解（Lindstedt)：若幂级数解存在且收敛，则在新的作用-角坐标下，运动方程为：解：在旧坐标下，问题：上述幂级数一般是发散的！（庞加莱，1890）（现在已知，求解H-J方程是一个极其困难的问题，一般来说，没有光滑解。H-J方程在动力系统、最优传输、控制论和流体力学等方面有重要应用。）Hamilton-Jacobi方程：求满足：庞加莱(JulesHenriPoincaré,1854-1912)

法国数学家研究涉及数论、代数学、几何学、函数论和微分方程等许多领域，特别他开创了动力系统和组合拓扑学。他被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人。他和Hilbert是对二十世纪的数学影响最大的两个人。阿达玛认为庞加莱“整个地改变了数学科学的状况，在一切方向上打开了新的道路。”

庞加莱关于稳定性问题的工作起源于1885年瑞典国王奥斯卡二世所设的一项有奖问题(ActaMathematica,Vol.7,1885)：

一个只受牛顿引力作用的质点系统，假设没有任何两个质点发生碰撞，则各个质点的坐标作为时间的函数可表示为一个一致收敛的幂级数的和，其中幂级数的每一项由已知函数给出。这个问题由当时欧洲的数学权威Weierstrass受命给出（评奖委员会还有Hermite

和Mittag-Leffler).具上世纪70年代公布的Weistrass与Kowalevskaya的通信显示，Dirichlet曾于1858年声称证明了这个问题，但是由于其很快去世，手稿遗失。但Weierstrass深信Dirichlet是对的，把此问题设奖目的是想找到Dirichlet的证明。庞加莱(JulesHenriPoincaré,1854-

狄利克雷（Dirichlet，PeterGustavLejeune，1805～1859）

德国数学家，高斯的继任者，解析数论创始人1888年，庞加莱提交了关于这个问题的论文“关于三体问题的动态方程”(Surleproblemedestroiscorpsetlesequationsdeladynamique,ActaMath1890,270页），但并不是证明这样的级数一致收敛，相反，他证明了这样的级数一般发散，想求得“N体问题”的通解是不可能的！发散的原因是幂级数的每一项的系数都包含所谓的“小分母”（分母是一个固定频率映射和可任意取值的整数向量的内积----因此这个内积随着级数项数的增大可任意小！而且在一个稠密但零测度集合上取值为零！）。这个结果对Weierstrass是个打击。但是评奖委员会还是决定把奖颁给Poincare，因为他的工作深化了人们对“N体问题”的理解,深刻揭示了其动力学的复杂性。庞加莱之后在“N体问题”方面的工作，更开创了微分方程定性理论和动力系统新领域。动力系统的许多概念和问题来自Poincare(LesMethodsNouvellesdelaMecaniqueCeleste---天体力学新方法三卷）。经Birkhoff,Kolmogorov,Smale,Arnold,Moser等人的工作，动力系统逐步摆脱天体力学的局限，成为一门独立的学科，特别几何、拓扑和分析等强有力的方法的应用，使得动力系统获得了巨大发展，也产生了重要的应用。狄利克雷（Dirichlet，PeterGustavWeierstrass的坚定信念和Kolmogorov的深刻洞察据公开的信件显示，Weierstrass仔细审核了庞加莱的论文后，认为也不排除存在收敛的幂级数解。Weierstrass的这个信念被苏联数学家A.N.

Kolgmorov（1954）和V.I.Arnold(1963)证实了，即确实能够验证：从相空间的大多数初值出发的轨道其解是由关于时间一致收敛的幂级数表达的，更好的是，这些解是拟周期的，因此是稳定的。Poincare的结果已经表明：一般来说，可积系统经扰动后不再是可积的，因此Lindstedt的方法试图把近可积哈密尔顿系统在典则坐标变换下变成可积系统是行不通的。Kolmogorov的思想：类似于函数求根，对微分方程在其解附近运用牛顿迭代，但是因为“小分母”问题，迭代的收敛性证明是主要难点，但利用牛顿迭代的二次收敛性以及系统的解析性质（解析函数Fourier展开的系数指数衰减），正好能够补偿丢番图频率向量带来的包含小分母的系数的幂次增长，从而得以保证迭代过程收敛，而且由于丢番图向量在频率向量空间是全测集，这个过程在一个大测度集合上收敛，Kolmogorov最初给的条件是可积系统的频率映射非退化，保证给定丢番图频率的不变环面的存在性。1998年H.Ruessmann把非退化条件大大减弱，只要频率映射的像不落在过原点的超平面就行，不过此时不变环面虽然存在，但是不能保证是指定频率的不变环面（频率飘移）。KAM定理间接证明了Lindstedt级数在相空间的大部分收敛)。Weierstrass的坚定信念和Kolmogorov的深刻

柯尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov,1903-1987）

前苏联数学家

实分析、泛函分析、概率论、动力系统、流体力学Kolmogorov定理：一般情形的近可积哈密顿系统的拟周期解在相空间中占据一个正测度的无处稠密的集，其测度随着扰动趋于零趋于一个全测集。（发表在ICM54会议文集上（闭幕演讲,仅4页，包含了证明思路）近可积系统：完全可积系统+小扰动一般情形：可积系统非退化（或者等能非退化）（不能直接应用于太阳系！）拟周期解的频率的个数=自由度数,在最大维数的环面上遍历（极小不变环面）！不变环面的频率是丢番图向量（所有丢番图向量构成全测集）。详细证明被其学生V.Arnold（1963）对解析哈密尔顿系统和德国的J.Moser（1962）对333次可微的二维扭转映射给出。定理被后来的数学界冠名为KAM

定理，被认为是二十世纪经典力学和动力系统的突破性成果。应用于”N体问题”-----Arnold的一系列工作（克服Kepler退化!）柯尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov,V.I.Arnold(1937-2010),俄罗斯数学家（天体力学，辛几何，动力系统,代数几何）

J.Moser(1928-1999)，德国数学家（微分方程，动力系统，辛几何）“小分母问题”的相关工作：C.L.Siegel(1896-1981),德国数学家（数论，复分析，天体力学）

——解析函数的线性化问题（首先克服了小分母困难，1942）

-----SiegeldiskJ.C.Yoccoz(1984,1985,1995),法国数学家，Fields奖（1994）

------V.I.Arnold(1959):M.Herman(1976):Aubry-Mathertheory

（应用于解决Arnold扩散：Mather+程崇庆）；KAM理论在退化、无穷维、低维环面等情形的丰富和完善；

J.Mather(1942-)Painleve猜想(1897)：有限时间内产生非碰撞奇点夏志宏（Ann.Math.1992)：构造了一个五体问题的例；Hamilton系统周期解理论，天体力学中心构形（变分法）辛几何哈密尔顿系统的计算（辛算法，Ruth,冯康1980s）V.I.Arnold(1937-2010),俄罗斯数关于KAM定理的注记揭示了近可积哈密尔顿系统的动力学复杂性（拓扑不稳定）

KAM定理表明，n个自由度的非退化且完全可积的哈密尔顿系统，在系统的结构扰动下，大多数初值出发的运动都是拟周期运动，其极小不变集是n维环面。这些环面的并是相空间的一个大测度的Cantor集，余集是相空间的稠密的开集，但测度随着扰动的减小而趋于零。当n=2时，紧的能量面是3维，每个二维不变环面把能量面分割成不连通的两部分（内部和外部），因而能量面被不可数多的二维不变环面分割开来，而且这些不变换面在能量面上占据了一个大测度的集合，因此保证了运动稳定性。当n=3时，能量面是5维，三维不变环面不能把5维能量面分割成不连通的部分，Arnold猜测，不变环面以外的初值出发的相轨道可能具有运动不稳定性，1964年他举例说明这种现象存在，但扩散速度与系统扰动相比指数级慢，被称为Arnold慢扩散。1977年，Nekhoroshev证明：如果扩散存在，一般情况下扩散速度确实指数级慢（对解析哈密尔顿系统）。但扩散是否存在？这一直是哈密尔顿系统领域一个颇受关注的问题，一些学者从Arnold的几何方法角度，另一些学者从Mather变分方法（1991）的角度进行研究，取得一些进展，较大的进展是由程崇庆等最近取得的（三个自由度近可积哈密尔顿系统的扩散轨道的存在性）。

关于KAM定理的注记揭示了近可积哈密尔顿系统在近乎随机选取初值的意义下的运动稳定性

不变环内一定有周期解,即相空间中的闭曲线（闭轨道）。但是只有稳定的轨道才应该是有意义的。在Poincare之前，Hill（1978）研究月球的运动（平面限制三体问题），找到了月球方程的两个周期解，落在能量面（非紧）Hill

的方程是（2个自由度的Hamilton系统）

Hill的理论极大地吸引了Poincare的注意，深刻地影响了Poincare，按照G.D.Birkhoff的说法，“Hill关于月球理论的研究掀开了理论动力学的重要篇章”。Poincare证明了哈密尔顿系统在椭圆平衡点周围存在无穷多周期解，构成一张过此平衡点的二维曲面，但所有这些周期轨道是否稳定无法证明。直到1979年，M.Kummer才运用KAM定理证明了Hill的两个周期轨道的稳定性，时间过去了整整一个世纪。应用KAM定理证明限制性三体问题甚至三提问体周期轨的稳定性已经有了不少工作，直到最近还有人证明三体问题中著名的8字形周期轨是稳定的（8字形周期轨的论文见A.ChencinerandR.Montgomery，Aremarableperiodicsolutionofthethree-bodyprobleminthecaseofeaualmasses,Ann.Math(2)152:2,881-901(2000)).揭示了近可积哈密尔顿系统在近乎随机选取初值的意义下的运动稳定Lindstedt’s方法Lindstedt’s方法KAM