高等代数课件(北大版)第六章线性空间§67

§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和小结与习题第六章线性空间11/24/2022数学与计算科学学院§2线性空间的定义§3维数·基与坐标§4基1§6.7子空间的直和一、直和的定义二、直和的判定三、多个子空间的直和11/24/2022数学与计算科学学院§6.7子空间的直和一、直和的定义二、直和的判定三、多个2引入有两种情形：由维数公式设为线性空间V的两个子空间，此时

即，必含非零向量.

11/24/2022数学与计算科学学院引入有两种情形：由维数公式设为线性空间V的两个子空间，3情形2）是子空间的和的一种特殊情况直和此时

不含非零向量，即

11/24/2022数学与计算科学学院情形2）是子空间的和的一种特殊情况直和此时不含非4一、直和的定义设为线性空间V的两个子空间，若和是唯一的，和就称为直和，记作注:若有则①分解式唯一的，意即中每个向量的分解式11/24/2022数学与计算科学学院一、直和的定义设为线性空间V的两个子空间，若和是唯一的5②分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立.例如，R3的子空间这里，在和中，向量的分解式不唯一，如所以和不是直和.11/24/2022数学与计算科学学院②分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立.例如，R6而在和中，向量

(2,2,2)

的分解式是唯一的，事实上，对故是直和.都只有唯一分解式：11/24/2022数学与计算科学学院而在和中，向量(2,2,2)的分解式是唯一的，事实7二、直和的判定分解式唯一，即若1、(定理8)和是直和的充要条件是零向量则必有证：必要性.是直和,的分解式唯一.而0有分解式11/24/2022数学与计算科学学院二、直和的判定分解式唯一，即若1、(定理8)和是直和8充分性.故是直和.设，它有两个分解式有其中于是由零向量分解成唯一，且即的分解式唯一.11/24/2022数学与计算科学学院充分性.故是直和.设，它有两个分解式92、和是直和则有即是直和.“”任取证：“”若于是零向量可表成由于是直和，零向量分解式唯一，故11/24/2022数学与计算科学学院2、和是直和则有即是直和.“”任取证：10证：由维数公式3、和是直和有，是直和.（由2、得之）11/24/2022数学与计算科学学院证：由维数公式3、和是直和有，是直和.（由2、得之）11总之，设为线性空间V的子空间，则下面四个条件等价:2）零向量分解式唯一1）是直和

3）4）4、(定理10)设U是线性空间V的一个子空间，称这样的W为U的一个余子空间.则必存在一个子空间W，使11/24/2022数学与计算科学学院总之，设为线性空间V的子空间，则下面四个条件等价:2）12证：取U的一组基把它扩充为V的一组基则余子空间一般不是唯一的(除非U是平凡子空间).注意：如，在R3中，设则但11/24/2022数学与计算科学学院证：取U的一组基把它扩充为V的一组基则余子空间一般不是唯135、设分别是线性子空间的一组基，则是直和线性无关.证：由题设，若线性无关，则它是的一组基.从而有11/24/2022数学与计算科学学院5、设分别是线性子空间的一组基，则是直14反之,若直和，则从而的秩为r＋s.所以线性无关.是直和.11/24/2022数学与计算科学学院反之,若直和，则从而的秩为r151、定义中每个向量的分解式三、推广多个子空间的直和都是线性空间V的子空间，若和是唯一的，则和就称为直和，记作11/24/2022数学与计算科学学院1、定义中每个向量的分解式三、推广多个子空间的直和16四个条件等价:2）零向量分解式唯一，即3）4）2、判定设都是线性空间V的子空间，则下面1）是直和

11/24/2022数学与计算科学学院四个条件等价:2）零向量分解式唯一，即3）4）2、判定设17例1、每一个n

维线性空间都可以表示成

n

个一维子空间的直和.证：设是

n

维线性空间V的一组基,则

而

故得证.11/24/2022数学与计算科学学院例1、每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直18例2、已知，设2）当时，证：1）任取有是的子空间.证明：1）是的子空间.11/24/2022数学与计算科学学院例2、已知，设2）当时，证：1）任取有是19又对有从而有

故是的子空间.下证是的子空间.11/24/2022数学与计算科学学院又对有从而有故是的子空间.下证是的子空间20又2）先证任取其中再证又是的子空间，11/24/2022数学与计算科学学院又2）先证任取其中再证又是的子空间，11/2321任取从而所以11/24/2022数学与计算科学学院任取从而所以11/23/2022数学与计算科学学院22练习1设V1、V2分别是齐次线性方程组①与②的证：解齐次线性方程组①，得其一个基础解系①②解空间：证明:11/24/2022数学与计算科学学院练习1设V1、V2分别是齐次线性方程组①与②的证23再解齐次线性方程组②.由即得②的一个基础解系考虑向量组11/24/2022数学与计算科学学院再解齐次线性方程组②.由即得②的一个基础解系考虑向量组24由于

线性无关，即它为Pn的一组基.又11/24/2022数学与计算科学学院由于线性无关，即它为Pn的一组基.又11/23/2022252、和是直和证:则练习：11/24/2022数学与计算科学学院2、和是直和证:则练习：11/23/2022数26则零向量还有一个分解式（*）在(*)式中，设最后一个不为0的向量是则(*)式变为这时，所以，是直和.11/24/2022数学与计算科学学院则零向量还有一个分解式（*）在(*)式中，设最后一个不为0的27§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和小结与习题第六章线性空间11/24/2022数学与计算科学学院§2线性空间的定义§3维数·基与坐标§4基28§6.7子空间的直和一、直和的定义二、直和的判定三、多个子空间的直和11/24/2022数学与计算科学学院§6.7子空间的直和一、直和的定义二、直和的判定三、多个29引入有两种情形：由维数公式设为线性空间V的两个子空间，此时

即，必含非零向量.

11/24/2022数学与计算科学学院引入有两种情形：由维数公式设为线性空间V的两个子空间，30情形2）是子空间的和的一种特殊情况直和此时

不含非零向量，即

11/24/2022数学与计算科学学院情形2）是子空间的和的一种特殊情况直和此时不含非31一、直和的定义设为线性空间V的两个子空间，若和是唯一的，和就称为直和，记作注:若有则①分解式唯一的，意即中每个向量的分解式11/24/2022数学与计算科学学院一、直和的定义设为线性空间V的两个子空间，若和是唯一的32②分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立.例如，R3的子空间这里，在和中，向量的分解式不唯一，如所以和不是直和.11/24/2022数学与计算科学学院②分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立.例如，R33而在和中，向量

(2,2,2)

的分解式是唯一的，事实上，对故是直和.都只有唯一分解式：11/24/2022数学与计算科学学院而在和中，向量(2,2,2)的分解式是唯一的，事实34二、直和的判定分解式唯一，即若1、(定理8)和是直和的充要条件是零向量则必有证：必要性.是直和,的分解式唯一.而0有分解式11/24/2022数学与计算科学学院二、直和的判定分解式唯一，即若1、(定理8)和是直和35充分性.故是直和.设，它有两个分解式有其中于是由零向量分解成唯一，且即的分解式唯一.11/24/2022数学与计算科学学院充分性.故是直和.设，它有两个分解式362、和是直和则有即是直和.“”任取证：“”若于是零向量可表成由于是直和，零向量分解式唯一，故11/24/2022数学与计算科学学院2、和是直和则有即是直和.“”任取证：37证：由维数公式3、和是直和有，是直和.（由2、得之）11/24/2022数学与计算科学学院证：由维数公式3、和是直和有，是直和.（由2、得之）38总之，设为线性空间V的子空间，则下面四个条件等价:2）零向量分解式唯一1）是直和

3）4）4、(定理10)设U是线性空间V的一个子空间，称这样的W为U的一个余子空间.则必存在一个子空间W，使11/24/2022数学与计算科学学院总之，设为线性空间V的子空间，则下面四个条件等价:2）39证：取U的一组基把它扩充为V的一组基则余子空间一般不是唯一的(除非U是平凡子空间).注意：如，在R3中，设则但11/24/2022数学与计算科学学院证：取U的一组基把它扩充为V的一组基则余子空间一般不是唯405、设分别是线性子空间的一组基，则是直和线性无关.证：由题设，若线性无关，则它是的一组基.从而有11/24/2022数学与计算科学学院5、设分别是线性子空间的一组基，则是直41反之,若直和，则从而的秩为r＋s.所以线性无关.是直和.11/24/2022数学与计算科学学院反之,若直和，则从而的秩为r421、定义中每个向量的分解式三、推广多个子空间的直和都是线性空间V的子空间，若和是唯一的，则和就称为直和，记作11/24/2022数学与计算科学学院1、定义中每个向量的分解式三、推广多个子空间的直和43四个条件等价:2）零向量分解式唯一，即3）4）2、判定设都是线性空间V的子空间，则下面1）是直和

11/24/2022数学与计算科学学院四个条件等价:2）零向量分解式唯一，即3）4）2、判定设44例1、每一个n

维线性空间都可以表示成

n

个一维子空间的直和.证：设是

n

维线性空间V的一组基,则

而

故得证.11/24/2022数学与计算科学学院例1、每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直45例2、已知，设2）当时，证：1）任取有是的子空间.证明：1）是的子空间.11/24/2022数学与计算科学学院例2、已知，设2）当时，证：1）任取有是46又对有从而有

故是的子空间.下证是的子空间.11/24/2022数学与计算科学学院又对有从而有故是的子空间.下证是的子空间47又2）先证任取