高数同济六版课件D8-1向量及运算

数量关系

—第八章第一部分向量代数第二部分空间解析几何

在三维空间中:空间形式

—点,

线,

面基本方法

—坐标法;向量法坐标,方程（组）空间解析几何与向量代数数量关系—第八章第一部分向量代数第二部分空间解析几何1四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影向量及其线性运算第八章四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的2表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量自由向量:与起点无关的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1

M2,或a,记作e

或e.或a.表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢3规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,4二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则5高数同济六版课件D8_1向量及运算62.向量的减法三角不等式2.向量的减法三角不等式7可见3.向量与数的乘法

是一个数,规定:总之:运算律:结合律分配律因此与a

的乘积是一个新向量,记作可见3.向量与数的乘法是一个数,规定:总之:运算律8定理1.

设a为非零向量,则(为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数的唯一性.则a∥b设a∥b反向时取负号,,a,b

同向时取正号则b与

a同向,设又有b＝

a,定理1.设a为非零向量,则(为唯一实数)证:9“”则例1.设M为解:ABCD对角线的交点,已知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b“”则例1.设M为解:ABCD对角10ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点O,

坐标面

卦限(八个)1.空间直角坐标系的基本概念ⅠzOx面ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规11在直角坐标系下向径坐标轴上的点

P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点

M特殊点的坐标:有序数组(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);在直角坐标系下向径坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上12坐标轴:坐标面:坐标轴:坐标面:132.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M

则沿三个坐标轴方向的分向量,的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,任意向量r

可用向径OM

表示.记2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M则沿三个坐14四、利用坐标作向量的线性运算则平行向量对应坐标成比例:设四、利用坐标作向量的线性运算则平行向量对应坐标成比例:设15例2.求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×②,得代入②得例2.求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×16例3.已知两点在AB所在直线上求一点M,使解:设M的坐标为如图所示及实数得即例3.已知两点在AB所在直线上求一点M,使解:设17说明:由得定比分点公式:点

M为AB的中点,于是得中点公式:说明:由得定比分点公式:点M为AB的中点,于是得18五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式19例4.

求证以证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点例4.求证以证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.20例5.

在z轴上求与两点等距解:

设该点为解得故所求点为及思考:(1)如何求在xOy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?离的点.例5.在z轴上求与两点等距解:设该点为解得故所求点为21(1)如何求在xOy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6.已知两点解:求AB的单位向量e.(1)如何求在xOy面上与A,B等距离之点的轨迹222.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤

)为向量

的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.

2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称23方向余弦的性质:方向余弦的性质:24例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向25例8.设点A位于第一卦限,解:已知角依次为求点A的坐标.则因点A在第一卦限,故于是故点A的坐标为向径OA与x轴y轴的夹第二节例8.设点A位于第一卦限,解:已知角依次为求点A263.向量在轴上的投影第二节则

a在轴u上的投影为例如,在坐标轴上的投影分别为设a与u轴正向的夹角为,,即投影的性质2)1)(为实数)3.向量在轴上的投影第二节则a在轴u上的投影为27例9.第二节设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA,且求OA在OM方向上的投影.解:如图所示,记∠MOA=,作业

P123,5,13,14,15,18,19例9.第二节设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA28备用题解:

因1.

设求向量在x轴上的投影及在y轴上的分向量.在y轴上的分向量为故在x轴上的投影为备用题解:因1.设求向量在x轴上的投影及在y轴上292.设求以向量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为对角线的长为解：为边的平2.设求以向量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对30数量关系

—第八章第一部分向量代数第二部分空间解析几何

在三维空间中:空间形式

—点,

线,

面基本方法

—坐标法;向量法坐标,方程（组）空间解析几何与向量代数数量关系—第八章第一部分向量代数第二部分空间解析几何31四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影向量及其线性运算第八章四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的32表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量自由向量:与起点无关的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1

M2,或a,记作e

或e.或a.表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢33规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,34二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则35高数同济六版课件D8_1向量及运算362.向量的减法三角不等式2.向量的减法三角不等式37可见3.向量与数的乘法

是一个数,规定:总之:运算律:结合律分配律因此与a

的乘积是一个新向量,记作可见3.向量与数的乘法是一个数,规定:总之:运算律38定理1.

设a为非零向量,则(为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数的唯一性.则a∥b设a∥b反向时取负号,,a,b

同向时取正号则b与

a同向,设又有b＝

a,定理1.设a为非零向量,则(为唯一实数)证:39“”则例1.设M为解:ABCD对角线的交点,已知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b“”则例1.设M为解:ABCD对角40ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点O,

坐标面

卦限(八个)1.空间直角坐标系的基本概念ⅠzOx面ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规41在直角坐标系下向径坐标轴上的点

P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点

M特殊点的坐标:有序数组(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);在直角坐标系下向径坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上42坐标轴:坐标面:坐标轴:坐标面:432.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M

则沿三个坐标轴方向的分向量,的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,任意向量r

可用向径OM

表示.记2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M则沿三个坐44四、利用坐标作向量的线性运算则平行向量对应坐标成比例:设四、利用坐标作向量的线性运算则平行向量对应坐标成比例:设45例2.求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×②,得代入②得例2.求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×46例3.已知两点在AB所在直线上求一点M,使解:设M的坐标为如图所示及实数得即例3.已知两点在AB所在直线上求一点M,使解:设47说明:由得定比分点公式:点

M为AB的中点,于是得中点公式:说明:由得定比分点公式:点M为AB的中点,于是得48五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式49例4.

求证以证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点例4.求证以证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.50例5.

在z轴上求与两点等距解:

设该点为解得故所求点为及思考:(1)如何求在xOy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?离的点.例5.在z轴上求与两点等距解:设该点为解得故所求点为51(1)如何求在xOy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6.已知两点解:求AB的单位向量e.(1)如何求在xOy面上与A,B等距离之点的轨迹522.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤

)为向量

的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.

2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称53方向余弦的性质:方向余弦的性质:54例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量例7.已知两点和的模、方向余