飞机飞行的基本原理课件

第三章不可压无粘流空气动力学

§3.1伯努利方程及应用

§3.5库塔－儒可夫斯基升力定理

§3.2流动控制方程

§3.3方程的基本解

§3.4基本解叠加

§3.6关于真实流动第三章不可压无粘流空气动力学§3.1伯努利方程1§3.1伯努利方程及应用无旋流中的积分有旋流中的积分流体力学中的动量定理返回第三章目录§3.1伯努利方程及应用无旋流中的积分返回第三章目录2§3.1返回§3.1无旋流中的积分在无旋流中在速度位存在式中U为重力势函数

§3.1返回§3.1无旋流中的积分在无旋流中在速度位存在式3§3.1返回§3.1利用将方程求和得§3.1返回§3.1利用将方程求和得4§3.1返回§3.1积分后得

称为拉格朗日积分，可用于可压缩非定常位流当流体是不可压缩流体时

§3.1返回§3.1积分后得称为拉格朗日积分，可用于可压缩非5§3.1返回§3.1对于不可压定常流，，而任意函数为一常数C

或理想不可压定常流的伯努利方程

§3.1返回§3.1对于不可压定常流，，而任意6§3.1返回§3.1有旋流中的积分有旋流动中欧拉方程可沿流线进行积分利用流线微分方程代入得§3.1返回§3.1有旋流中的积分有旋流动中欧拉方程可沿流线7§3.1返回§3.1将上式作和，得在定常无粘流中，总压在全无旋流场中均为一常数，而在有旋流场中，同一流线上的总压相同，不同流线上的总压是不同的。§3.1返回§3.1将上式作和，得在定常无粘流中，8§3.1返回§3.1流体力学中的动量定理流体力学的动量定理将提供这一关系式。它是以前各节所用的牛顿运动定律的推广并可陈述为：一群固定身分质点的动量对时间的变化率在大小和方向都与作用在这群质点上的力相同。§3.1返回§3.1流体力学中的动量定理流体力学的动9§3.1返回§3.1§3.1返回§3.110§3.2流动控制方程返回第三章目录平面无旋流有位函数存在，这是无旋条件决定的。这位函数在不可压流动中应该满足的方程是拉普拉斯方程：§3.2流动控制方程返回第三章目录平面无旋流有位函数11§3.2返回§3.2在数学上，凡是满足拉普拉斯方程的函数都叫调和函数。要找一个能代表具体的绕流问题的解，就是找一个能符合具体绕流问题的边界条件的调和函数。流动的位函数所应满足的方程只有一个，流体所流过的物体形状各不相同，流动情况当然是不相同的。要解这种问题，在数学上称为边值问题。§3.2返回§3.2在数学上，凡是满足拉普拉斯方程的12§3.2返回§3.2流体动力学中的边值问题，视在边界上所给的条件是对位函数自身值的规定，还是对它的法向导数的规定，而分为三类：(1)第一边值问题，又称狄利里希特问题给定在边界上的值；(2)第二边值问题，又称诺曼问题给定在边界上的值；(3)第三边值问题，即混合边值问题，又称庞卡莱问题在一部分边界上给定值，另一部分边界给定值。§3.2返回§3.2流体动力学中的边值问题，视在边界上所13§3.2返回§3.2在二维问题里除了位函数之外，还有一个流函数，它也是描述整个流场的。流函数存在的条件是二维的连续方程：

§3.2返回§3.2在二维问题里除了位函数之外，还有14§3.2返回§3.2这个式子可以看作是成为全微分的必要和充分条件。现在记这个全微分为：也就是说定义流函数为：

，

§3.2返回§3.2这个式子可以看作是15§3.2返回§3.2极坐标的连续方程是§3.2返回§3.2极坐标的连续方程是16§3.2返回§3.2流线上任何一点的流速必与流线的切线同一方向，当然流线的法线方向的速度分量为零。所以流线是流动所不能穿越的线。流函数的值是有物理意义的，它代表流量。也像位函数一样，其绝对值无关紧要，能表示流量的是两个流函数的值之差。§3.2返回§3.2流线上任何一点的流速必与流线的切17§3.2返回§3.2流函数的存在条件是二维的连续方程。连续方程总是成立的，所以只要是平面流就有流函数存在，不论考虑不考虑粘性都存在。

如果流动又是无旋的，那么把用表达的速度分量代入无旋条件的话，便得所应满足的偏微分方程：§3.2返回§3.2流函数的存在条件是二维的连续方程18§3.2返回§3.2要描述一个具体的平面无旋不可压流动，和找到一个就行了。有了或，流场上各点的速度立即可以从函数的偏导数求得。这两个函数关系很密切，有了一个，另一个也不难找到。在流场上作的曲线是流线；作的曲线称等位线，流线和等位线彼此正交的。§3.2返回§3.2要描述一个具体的平面无旋不可压流19§3.2返回§3.2和两函数之间有如下的关系：这是说二者满足柯西－黎曼方程§3.2返回§3.2和两函数之20§3.3方程的基本解

直匀流点源

点涡

偶极子返回第三章目录§3.3方程的基本解直匀流返回第三章目录213.3拉普拉斯方程

，极坐标的连续方程

返回§3.33.3拉普拉斯方程，极坐标的连续方程返回§3.3223.3直匀流直匀流是一种最简单的平行流动。流速的值和指向都是常数。流向对坐标轴而言可以是斜的。

返回§3.33.3直匀流直匀流是一种最简单的平行流动。流速的值和指向都是233.3流动的位函数

两个分速返回§3.33.3流动的位函数两个分速返回§3.3243.3流动的流函数

流线常数，是平行直线族

常用的是与轴平行，从左边流来的直匀流，其位函数和流函数分别是：

返回§3.33.3流动的流函数流线常数，是平行直线族253.3点源

源可正可负。正源是从流场某点有一定的流量向四面八方流开去的一种流动。负源（又名汇）是一种与正源的流向相反的向心流动。表达这种流动往往采用平面极坐标系。

返回§3.33.3点源源可正可负。正源是从流场某点有一263.3如果把点源放在原点，则流动只有，而无。

记半径处的流速为，则源的总流量返回§3.33.3如果把点源放在原点，则流动只有，记半径273.3由极坐标的连续方程可知

返回§3.33.3由极坐标的连续方程可知返回§3.3283.3等位线是以原点为圆心的圆族

流线是从源所在的那一点起的辐线族返回§3.33.3等位线是以原点为圆心的圆族流线是从源所在的那一点起的293.3如果源的位置不在原点返回§3.33.3如果源的位置不在原点返回§3.3303.3点涡

点涡是涡索的一种极限情况，假设涡核小到趋近于零，这时整个的平面流场上除了涡所在的那一点之外，全是无旋流，流动作绕涡点的循环运动，只有圆周速度，其值与距离涡点的距离成反比。

返回§3.33.3点涡点涡是涡索的一种极限情况，假设涡313.3若把点涡放在坐标原点，则只有，而无，

位函数和流函数恰好和源的这两个函数对调

是个常数，称为点涡的强度。返回§3.33.3若把点涡放在坐标原点，则只有323.3正代表的流动是反时针转动。在这个流场上沿一条封闭围线计算环量时，只要这条围线包有点涡在内，算得的环量都是，而与围线的具体形状无关。这一点是由斯托克斯定理所确定的。凡是不包有点涡的围线，计算环量时，结果都是零。返回§3.33.3正代表的流动是反时针转动。333.3位于的点涡，其位函数和流函数分别是：返回§3.33.3位于的点涡，其位函数和流函数分343.3偶极子

等强度的一个正源和一个负源相距，假设都放在轴线上，负源的原点，正源在处返回§3.33.3偶极子等强度的一个正源和一个负源相距353.3流体从正源出来，从负源进去用叠加原理，位函数和流函数分别是：返回§3.33.3流体从正源出来，从负源进去用叠加原理，位函数和流函363.3现在要考虑的是一种特殊的极限情况：，但同时规定随之增大，使保持不变返回§3.33.3现在要考虑的是一种特殊的极限情况：373.3返回§3.33.3返回§3.3383.3流线是上下两族圆，圆心都在轴上，且各圆都经过原点。两分速是：其对应的流函数是：返回§3.33.3流线是上下两族圆，圆心都在轴上，且各圆都经过原点。393.3要注意的是偶极子是一条直线上一正源和一负源无限趋近的极限情况，它是有轴线的，原来放正源和负源的那条直线就是它的轴线如果偶极子的正指向和负轴夹成角返回§3.33.3要注意的是偶极子是一条直线上一正源和一负源无限403.3如果偶极子位于，其轴与轴成角那么：

返回§3.33.3如果偶极子位于，其轴与413.3基本解就只有这几种。下面一节将举几个例子，用这些基本解叠加以获得有一定实际意义的绕流图。返回§3.33.3基本解就只有这几种。下面一节将举几个例子，用这42§3.4基本解的叠加

直匀流加点源直匀流加轴向顺流的偶极子直匀流加偶极子加点涡返回第三章目录§3.4基本解的叠加直匀流加点源返回第三章目录433.4直匀流平行于轴，来自负轴，点源强度，放在坐标原点上。组合的位函数和流函数分别是:直匀流加点源返回§3.43.4直匀流平行于轴，来自负轴，点源强443.4流速是:返回§3.43.4流速是:返回§3.4453.4在负轴上有个点，流速降为零的这个点是驻点。它的位置在，这个是由直匀流和源强二者所决定的，因为这一点上的恰好被源的流速所抵消。流谱如图所示:

返回§3.43.4返回§3.4463.4其中有一条的零流线，特别值得注意。这条流线的方程是：返回§3.43.4其中有一条的零流线，特别值得返回§3473.4符合这个方程的除轴线外，有一条经过点的曲线。这条流线可以看作是一道围墙，它把流场划分成两部分。返回§3.43.4返回§3.4483.4流场上各点的压强系数用伯努利公式表达：

物面上的压强系数为：

返回§3.43.4返回§3.4493.4直匀流加轴向顺流的偶极子直匀流平行于轴，偶极子的轴线也与轴一致，指向来流。组合的位函数和流函数分别是：返回§3.43.4直匀流加轴向顺流的偶极子直匀流平行于轴，偶极子503.4的零流线除轴线之外，还有一个圆，其半径。用来表达的话，和分别是：返回§3.43.4返回§3.4513.4流谱图压强系数的分布曲线返回§3.43.4返回§3.4523.4两个流速是：用在圆上，则有在圆上，合速度只有：返回§3.43.4返回§3.4533.4圆上的压强分布是：返回§3.43.4返回§3.4543.4直匀流加偶极子加点涡前面直匀流加偶极子得到绕圆柱的流动，现在再在圆心处放一个点涡。加一个（顺时针）的点涡，其位函数和流函数分别是：返回§3.43.4返回§3.4553.4两个分速是：仍是一条流线。在这个圆上，，。现在驻点不在和处，其位置可根据定出来：返回§3.43.4返回§3.456§3.5库塔－儒可夫斯基升力定理返回第三章目录绕圆柱的有环量运动库塔－儒可夫斯基定理§3.5库塔－儒可夫斯基升力定理返回第三章目录绕圆柱的有573.5绕圆柱的有环量流动上一小节中，我们由直匀流和偶极子再加上点涡叠加获得的流动，其实就是绕圆柱的有环量的流动。它的流谱图是：返回§3.53.5绕圆柱的有环量流动上一小节中，我们由直匀流和偶583.5由上节可知，圆柱表面的速度是：返回§3.53.5由上节可知，圆返回§3.5593.5对于绕圆柱的无环量流动，前后驻点位于轴和圆柱的两个交点处，即和。当加上点涡以后，绕圆柱的有环量流动的驻点位置将沿圆柱表面移动。由上节可知，驻点位置由下式决定：返回§3.53.5对于绕圆柱的无环量流动，前后驻点由上节可知，驻点603.5由上式可见，当点涡强度变大时，驻点将向下移动；随点涡的强度继续增大到时，两个驻点在轴上点处重合；点涡强度进一步增大，上式就不再成立了，驻点将离开圆柱表面，位于圆柱之下。下面给出了几种不同点涡强度范围时的驻点位置示意图。返回§3.53.5由上式可见，当点涡强度变大时，驻点将返回§3.5613.5左右对称的，但上下却不再对称了。因此，在垂直于远前方来流速度方向，应该有作用力存在。这个力称之为升力，可以通过沿圆柱表面压强系数的积分而获得。由图可见，对于绕圆柱的有环量流动情况，流谱仍然是3.5左右对称的，但上下却不再对称了。因此，由图可见，对于绕623.5库塔-儒可夫斯基定理可以从动量定理出发，确定绕圆柱体有环量时的流动的升力。返回§3.53.5库塔-儒可夫斯基定理可以从动量定理出发，确定绕633.5以原点为中心，画一个半径为的大控制面，整个控制面还包括圆柱表面及连接和的两条割线，见左图中的虚线。返回§3.53.5以原点为中心，画返回§3.5643.5在连结和的两条割线上的压强和动量的变化都相互抵消了，对整个结果没有影响，可不考虑。上空气动力作用是物体的合力，在所研究的情况下，左右对称，没有阻力。因此，在圆柱表面上作用的只有升力，用表示。返回§3.53.5在连结和的两条割线上的压强和动量返回§653.5最后，的结果为：返回§3.53.5最后，的结果为：返回§3.5663.5上式表明，作用在垂直于纸面单位长度圆柱体上的升力，其大小等于来流的速度乘以流体密度再乘以环量，指向是把来流方向逆着环量的方面旋转。升力等于这个结果称之为库塔-儒可夫斯基定理。返回§3.53.5上式表明，作用在垂直于纸面单位长度返回§3.5673.5这里虽然是通过绕圆柱的流动来证明库塔-儒可夫斯基定理的，但是可以把其结论推广到一般形状的封闭物体中去。因为，只要物体是封闭的不是半无限体，代表物体作用的点源和点汇的强度总和必然相等。返回§3.53.5这里虽然是通过绕圆柱的流动来证明库返回§3.68§3.6关于真实流动

二维通道中的流动绕圆柱的流动绕二维翼型的流动返回第三章目录§3.6关于真实流动二维通道中的流动返回第三章目录693.6考虑平行壁面构成的二维通道中的定常流动，通道进口截面上的流动参数均匀分布，且速度平行于通道中心线。如果流体是理想的且不受外力作用，则这一流动极为简单，即流体的速度和压力在整个通道中到处均匀分布，见下图:二维通道中的流动返回§3.63.6考虑平行壁面构成的二维通道中的定常二维通道中的流703.6返回§3.63.6返回§3.6713.6在这种情况下，流体在流动过程中没有任何机械能的损失，流体以其一开始所具有的惯性即可永远维持定常均匀的流动。现在，考察真实流体通过同一通道的流动。可以发现，与理想流体流动不同的是真实流体附着于通道内壁，因而固壁上流体的速度为零。

返回§3.63.6在这种情况下，流体在流动过程中没有现在，723.6对于真实流体在上述通道中的流动，可以发现两种情况：1.当雷诺数小于某一临界值时，边界层内的流动和完全发展的流动都是层流的;2.当雷诺数大于某一临界值时，边界层内的流动在进口附近是层流的，但向下游

经过一段距离后，就开始过渡为湍流流动；返回§3.63.6对于真实流体在上述通道中的流动，可以1.当雷诺数小于某733.6在上述两种情况中，无论对于哪种情况，流体在流动过程中都受到摩擦阻力，流体所具有的机械能沿流动方向减小，因而压力沿流动方向也不断减小。下面，再来看不平行壁面构成的二维通道——收缩或扩张通道中的流动。在这两种通道中，如果流体是理想流体，则流动可认为是辐射对称的，即二维点源或点汇流动的一部分，见下图：返回§3.63.6在上述两种情况中，无论对于哪种情况，下743.6如果流体是真实流体，则在上述两种通道中都不存在完全发展的流动。返回§3.63.6如果流体是真实流体，则在上述两种通道返回§3.6753.6尤其复杂的是扩张通道中的流动，实验观察表明，在亚音速流动情况下，当通道扩张角大于某一角度值时，流动可能先后与通道两侧的内壁面分离，形成流动方向与主流相反的回流区，同时伴随着大尺度涡旋的产生和流动的整体不稳定性。返回§3.63.6尤其复杂的是扩张通道中的流动，实验返回§3.6763.6绕圆柱的流动考虑不可压缩流体绕圆柱的流动。如果流体是理想流体，位势理论给出了这一流动的精确解，在极坐标中速度分布为：返回§3.63.6绕圆柱的流动考虑不可压缩流体绕圆柱的流动。如773.6这里，、为极坐标系中的速度分量，为圆柱半径。这一流动的流线和压力系数的变化曲线如图所示：返回§3.63.6这里，、为极坐标系中的速度分783.6显然，由于表面压力分布的对称性，圆柱所受的流体阻力和升力皆等于零，这一结果就是有名的达朗贝尔佯谬。下面，考虑真实流体绕圆柱的流动。根据实验观察，可以发现，在不同的雷诺数范畴，有完全不同的流动形态：返回§3.63.6显然，由于表面压力分布的对称性，圆下面793.6返回§3.63.6返回§3.6803.6在真实液体绕流的情况下，圆柱必然受到流体的作用力。流体的阻力由两部分组成：一部分是作用于圆柱表面的切应力在流动方向的分量的积分，称为摩擦阻力；另一部分是作用于圆柱表面的压力在流动方向的分量的积分，称为压差阻力。返回§3.63.6在真实液体绕流的情况下，圆柱必然受到返回§3.6813.6绕二维翼型的流动对于理想不可压缩流体绕二维翼型的定常流动，根据位势理论，可求解翼型周围的速度场，并求出翼型表面的压力分布以及翼型的升力系数。位势流理论的计算，必然得到达朗贝尔佯谬，即翼型的阻力系数为零。返回§3.63.6绕二维翼型的流动对于理想不可压缩流体绕二维翼823.6现在，来考虑大雷诺数情况下真实流体绕二维翼型的流动。如果来流攻角（无穷远处速度与翼弦的夹角）不大（比如小于），流体平滑地绕翼型流动而不发生明显的边界层分离。这时，真实流体效应（粘性）只在紧靠翼型流动而不发生明显的边界层的。返回§3.63.6现在，来考虑大雷诺数情况下真实流体返回§3.833.6由于在上述情况下，边界层和尾迹都是厚度极小的薄层，绕翼型的流场（在边界层和尾迹之外）基本上与理想流体绕同一翼型的流动相同；翼型表面压力分布和翼型升力系数的实测值与理想流体位势理论所得结果非常接近。在这种情况下，翼型所受的阻力主要是摩擦阻力。阻力的实测值虽不为零，但阻力与升力的比值颇小。返回§3.63.6由于在上述情况下，边界层和尾迹都是厚返回§3.6843.6如果来流攻角稍稍增大，在翼型表面将发生分离现象。对于较厚的翼型，通常在后缘先发生分离；对于较薄的翼型，则通常在前缘形成局部的分离区。如图所示：返回§3.63.6如果来流攻角稍稍增大853.6如果来流进一步增大，则无论对于哪种翼型，都会发生从前缘开始的整个翼型表面上的分离。这种分离现象又称为失速。失速发生后，翼型表面的压力分布完全偏离理想流体位势理论所得结果，翼型的升力显著下降，阻力显著增大。返回§3.63.6如果来流进一步增大，则无返回§3.686第三章不可压无粘流空气动力学

§3.1伯努利方程及应用

§3.5库塔－儒可夫斯基升力定理

§3.2流动控制方程

§3.3方程的基本解

§3.4基本解叠加

§3.6关于真实流动第三章不可压无粘流空气动力学§3.1伯努利方程87§3.1伯努利方程及应用无旋流中的积分有旋流中的积分流体力学中的动量定理返回第三章目录§3.1伯努利方程及应用无旋流中的积分返回第三章目录88§3.1返回§3.1无旋流中的积分在无旋流中在速度位存在式中U为重力势函数

§3.1返回§3.1无旋流中的积分在无旋流中在速度位存在式89§3.1返回§3.1利用将方程求和得§3.1返回§3.1利用将方程求和得90§3.1返回§3.1积分后得

称为拉格朗日积分，可用于可压缩非定常位流当流体是不可压缩流体时

§3.1返回§3.1积分后得称为拉格朗日积分，可用于可压缩非91§3.1返回§3.1对于不可压定常流，，而任意函数为一常数C

或理想不可压定常流的伯努利方程

§3.1返回§3.1对于不可压定常流，，而任意92§3.1返回§3.1有旋流中的积分有旋流动中欧拉方程可沿流线进行积分利用流线微分方程代入得§3.1返回§3.1有旋流中的积分有旋流动中欧拉方程可沿流线93§3.1返回§3.1将上式作和，得在定常无粘流中，总压在全无旋流场中均为一常数，而在有旋流场中，同一流线上的总压相同，不同流线上的总压是不同的。§3.1返回§3.1将上式作和，得在定常无粘流中，94§3.1返回§3.1流体力学中的动量定理流体力学的动量定理将提供这一关系式。它是以前各节所用的牛顿运动定律的推广并可陈述为：一群固定身分质点的动量对时间的变化率在大小和方向都与作用在这群质点上的力相同。§3.1返回§3.1流体力学中的动量定理流体力学的动95§3.1返回§3.1§3.1返回§3.196§3.2流动控制方程返回第三章目录平面无旋流有位函数存在，这是无旋条件决定的。这位函数在不可压流动中应该满足的方程是拉普拉斯方程：§3.2流动控制方程返回第三章目录平面无旋流有位函数97§3.2返回§3.2在数学上，凡是满足拉普拉斯方程的函数都叫调和函数。要找一个能代表具体的绕流问题的解，就是找一个能符合具体绕流问题的边界条件的调和函数。流动的位函数所应满足的方程只有一个，流体所流过的物体形状各不相同，流动情况当然是不相同的。要解这种问题，在数学上称为边值问题。§3.2返回§3.2在数学上，凡是满足拉普拉斯方程的98§3.2返回§3.2流体动力学中的边值问题，视在边界上所给的条件是对位函数自身值的规定，还是对它的法向导数的规定，而分为三类：(1)第一边值问题，又称狄利里希特问题给定在边界上的值；(2)第二边值问题，又称诺曼问题给定在边界上的值；(3)第三边值问题，即混合边值问题，又称庞卡莱问题在一部分边界上给定值，另一部分边界给定值。§3.2返回§3.2流体动力学中的边值问题，视在边界上所99§3.2返回§3.2在二维问题里除了位函数之外，还有一个流函数，它也是描述整个流场的。流函数存在的条件是二维的连续方程：

§3.2返回§3.2在二维问题里除了位函数之外，还有100§3.2返回§3.2这个式子可以看作是成为全微分的必要和充分条件。现在记这个全微分为：也就是说定义流函数为：

，

§3.2返回§3.2这个式子可以看作是101§3.2返回§3.2极坐标的连续方程是§3.2返回§3.2极坐标的连续方程是102§3.2返回§3.2流线上任何一点的流速必与流线的切线同一方向，当然流线的法线方向的速度分量为零。所以流线是流动所不能穿越的线。流函数的值是有物理意义的，它代表流量。也像位函数一样，其绝对值无关紧要，能表示流量的是两个流函数的值之差。§3.2返回§3.2流线上任何一点的流速必与流线的切103§3.2返回§3.2流函数的存在条件是二维的连续方程。连续方程总是成立的，所以只要是平面流就有流函数存在，不论考虑不考虑粘性都存在。

如果流动又是无旋的，那么把用表达的速度分量代入无旋条件的话，便得所应满足的偏微分方程：§3.2返回§3.2流函数的存在条件是二维的连续方程104§3.2返回§3.2要描述一个具体的平面无旋不可压流动，和找到一个就行了。有了或，流场上各点的速度立即可以从函数的偏导数求得。这两个函数关系很密切，有了一个，另一个也不难找到。在流场上作的曲线是流线；作的曲线称等位线，流线和等位线彼此正交的。§3.2返回§3.2要描述一个具体的平面无旋不可压流105§3.2返回§3.2和两函数之间有如下的关系：这是说二者满足柯西－黎曼方程§3.2返回§3.2和两函数之106§3.3方程的基本解

直匀流点源

点涡

偶极子返回第三章目录§3.3方程的基本解直匀流返回第三章目录1073.3拉普拉斯方程

，极坐标的连续方程

返回§3.33.3拉普拉斯方程，极坐标的连续方程返回§3.31083.3直匀流直匀流是一种最简单的平行流动。流速的值和指向都是常数。流向对坐标轴而言可以是斜的。

返回§3.33.3直匀流直匀流是一种最简单的平行流动。流速的值和指向都是1093.3流动的位函数

两个分速返回§3.33.3流动的位函数两个分速返回§3.31103.3流动的流函数

流线常数，是平行直线族

常用的是与轴平行，从左边流来的直匀流，其位函数和流函数分别是：

返回§3.33.3流动的流函数流线常数，是平行直线族1113.3点源

源可正可负。正源是从流场某点有一定的流量向四面八方流开去的一种流动。负源（又名汇）是一种与正源的流向相反的向心流动。表达这种流动往往采用平面极坐标系。

返回§3.33.3点源源可正可负。正源是从流场某点有一1123.3如果把点源放在原点，则流动只有，而无。

记半径处的流速为，则源的总流量返回§3.33.3如果把点源放在原点，则流动只有，记半径1133.3由极坐标的连续方程可知

返回§3.33.3由极坐标的连续方程可知返回§3.31143.3等位线是以原点为圆心的圆族

流线是从源所在的那一点起的辐线族返回§3.33.3等位线是以原点为圆心的圆族流线是从源所在的那一点起的1153.3如果源的位置不在原点返回§3.33.3如果源的位置不在原点返回§3.31163.3点涡

点涡是涡索的一种极限情况，假设涡核小到趋近于零，这时整个的平面流场上除了涡所在的那一点之外，全是无旋流，流动作绕涡点的循环运动，只有圆周速度，其值与距离涡点的距离成反比。

返回§3.33.3点涡点涡是涡索的一种极限情况，假设涡1173.3若把点涡放在坐标原点，则只有，而无，

位函数和流函数恰好和源的这两个函数对调

是个常数，称为点涡的强度。返回§3.33.3若把点涡放在坐标原点，则只有1183.3正代表的流动是反时针转动。在这个流场上沿一条封闭围线计算环量时，只要这条围线包有点涡在内，算得的环量都是，而与围线的具体形状无关。这一点是由斯托克斯定理所确定的。凡是不包有点涡的围线，计算环量时，结果都是零。返回§3.33.3正代表的流动是反时针转动。1193.3位于的点涡，其位函数和流函数分别是：返回§3.33.3位于的点涡，其位函数和流函数分1203.3偶极子

等强度的一个正源和一个负源相距，假设都放在轴线上，负源的原点，正源在处返回§3.33.3偶极子等强度的一个正源和一个负源相距1213.3流体从正源出来，从负源进去用叠加原理，位函数和流函数分别是：返回§3.33.3流体从正源出来，从负源进去用叠加原理，位函数和流函1223.3现在要考虑的是一种特殊的极限情况：，但同时规定随之增大，使保持不变返回§3.33.3现在要考虑的是一种特殊的极限情况：1233.3返回§3.33.3返回§3.31243.3流线是上下两族圆，圆心都在轴上，且各圆都经过原点。两分速是：其对应的流函数是：返回§3.33.3流线是上下两族圆，圆心都在轴上，且各圆都经过原点。1253.3要注意的是偶极子是一条直线上一正源和一负源无限趋近的极限情况，它是有轴线的，原来放正源和负源的那条直线就是它的轴线如果偶极子的正指向和负轴夹成角返回§3.33.3要注意的是偶极子是一条直线上一正源和一负源无限1263.3如果偶极子位于，其轴与轴成角那么：

返回§3.33.3如果偶极子位于，其轴与1273.3基本解就只有这几种。下面一节将举几个例子，用这些基本解叠加以获得有一定实际意义的绕流图。返回§3.33.3基本解就只有这几种。下面一节将举几个例子，用这128§3.4基本解的叠加

直匀流加点源直匀流加轴向顺流的偶极子直匀流加偶极子加点涡返回第三章目录§3.4基本解的叠加直匀流加点源返回第三章目录1293.4直匀流平行于轴，来自负轴，点源强度，放在坐标原点上。组合的位函数和流函数分别是:直匀流加点源返回§3.43.4直匀流平行于轴，来自负轴，点源强1303.4流速是:返回§3.43.4流速是:返回§3.41313.4在负轴上有个点，流速降为零的这个点是驻点。它的位置在，这个是由直匀流和源强二者所决定的，因为这一点上的恰好被源的流速所抵消。流谱如图所示:

返回§3.43.4返回§3.41323.4其中有一条的零流线，特别值得注意。这条流线的方程是：返回§3.43.4其中有一条的零流线，特别值得返回§31333.4符合这个方程的除轴线外，有一条经过点的曲线。这条流线可以看作是一道围墙，它把流场划分成两部分。返回§3.43.4返回§3.41343.4流场上各点的压强系数用伯努利公式表达：

物面上的压强系数为：

返回§3.43.4返回§3.41353.4直匀流加轴向顺流的偶极子直匀流平行于轴，偶极子的轴线也与轴一致，指向来流。组合的位函数和流函数分别是：返回§3.43.4直匀流加轴向顺流的偶极子直匀流平行于轴，偶极子1363.4的零流线除轴线之外，还有一个圆，其半径。用来表达的话，和分别是：返回§3.43.4返回§3.41373.4流谱图压强系数的分布曲线返回§3.43.4返回§3.41383.4两个流速是：用在圆上，则有在圆上，合速度只有：返回§3.43.4返回§3.41393.4圆上的压强分布是：返回§3.43.4返回§3.41403.4直匀流加偶极子加点涡前面直匀流加偶极子得到绕圆柱的流动，现在再在圆心处放一个点涡。加一个（顺时针）的点涡，其位函数和流函数分别是：返回§3.43.4返回§3.41413.4两个分速是：仍是一条流线。在这个圆上，，。现在驻点不在和处，其位置可根据定出来：返回§3.43.4返回§3.4142§3.5库塔－儒可夫斯基升力定理返回第三章目录绕圆柱的有环量运动库塔－儒可夫斯基定理§3.5库塔－儒可夫斯基升力定理返回第三章目录绕圆柱的有1433.5绕圆柱的有环量流动上一小节中，我们由直匀流和偶极子再加上点涡叠加获得的流动，其实就是绕圆柱的有环量的流动。它的流谱图是：返回§3.53.5绕圆柱的有环量流动上一小节中，我们由直匀流和偶1443.5由上节可知，圆柱表面的速度是：返回§3.53.5由上节可知，圆返回§3.51453.5对于绕圆柱的无环量流动，前后驻点位于轴和圆柱的两个交点处，即和。当加上点涡以后，绕圆柱的有环量流动的驻点位置将沿圆柱表面移动。由上节可知，驻点位置由下式决定：返回§3.53.5对于绕圆柱的无环量流动，前后驻点由上节可知，驻点1463.5由上式可见，当点涡强度变大时，驻点将向下移动；随点涡的强度继续增大到时，两个驻点在轴上点处重合；点涡强度进一步增大，上式就不再成立了，驻点将离开圆柱表面，位于圆柱之下。下面给出了几种不同点涡强度范围时的驻点位置示意图。返回§3.53.5由上式可见，当点涡强度变大时，驻点将返回§3.51473.5左右对称的，但上下却不再对称了。因此，在垂直于远前方来流速度方向，应该有作用力存在。这个力称之为升力，可以通过沿圆柱表面压强系数的积分而获得。由图可见，对于绕圆柱的有环量流动情况，流谱仍然是3.5左右对称的，但上下却不再对称了。因此，由图可见，对于绕1483.5库塔-儒可夫斯基定理可以从动量定理出发，确定绕圆柱体有环量时的流动的升力。返回§3.53.5库塔-儒可夫斯基定理可以从动量定理出发，确定绕1493.5以原点为中心，画一个半径为的大控制面，整个控制面还包括圆柱表面及连接和的两条割线，见左图中的虚线。返回§3.53.5以原点为中心，画返回§3.51503.5在连结和的两条割线上的压强和动量的变化都相互抵消了，对整个结果没有影响，可不考虑。上空气动力作用是物体的合力，在所研究的情况下，左右对称，没有阻力。因此，在圆柱表面上作用的只有升力，用表示。返回§3.53.5在连结和的两条割线上的压强和动量返回§1513.5最后，的结果为：返回§3.53.5最后，的结果为：返回§3.51523.5上式表明，作用在垂直于纸面单位长度圆柱体上的升力，其大小等于来流的速度乘以流体密度再乘以环量，指向是把来流方向逆着环量的方面旋转。升力等于这个结果称之为库塔-儒可夫斯基定理。返回§3.53.5上式表明，作用在垂直于纸面单位长度返回§3.51533.5这里虽然是通过绕圆柱的流动来证明库塔-儒可夫斯基定理的，但是可以把其结论推广到一般形状的封闭物体中去。因为，只要物体是封闭的不是半无限体，代表物体作用的点源和点汇的强度总和必然相等。返回§3.53.5这里虽然是通过绕圆柱的流动来证明库返回§3.154§3.6关于真实流动

二维通道中的流动绕圆柱的流动绕二维翼型的流动返回第三章目录§3.6关于真实流动二维通道中的流动返回第三章目录1553.6考虑平行壁面构成的二维通道中的定常流动，通道进口截面上的流动参数均匀分布，且速度平行于通道中心线。如果流体是理想的且不受外力作用，则这一流动极为简单，即流体的速度和压力在整个通道中到处均匀分布，见下图:二维通道中的流动返回§3.63.6考虑平行壁面构成的二维通道中的定常二维通道中的流1563.6返回§3.63.6返回§3.61573.6在这种情况下，流体在流动过程中没有任何机械能的损失，流体以其一开始所具有的惯性即可永远维持定常均匀的流动。现在，考察真实流体通过同一通道的流动。可以发现，与理想流体流动不同的是真实流体附着于通道内壁，因而固壁上流体的速度为零。

返回§3.63.6在这种情况下，流体在流动过程中没有现在，1583.6对于真实流体在上述通道中的流动，可以发现两种情况：1.当雷诺数小于某一临界值时，边界层内的流动和完全发展的流动都是层流的;2.当雷诺数大于某一临界值时，边界层内的流动在进口附近是层流的，但向下游