小学数学图形与几何

小学学图与几话题一吴正宪（北京教育科学研究院）王彦伟（北京东城区教师研修中心）张杰北京东城区教育研修学院）2011版课终于要公布了，新课标订后有哪些变化。这一讲主要讲“图形与几何”这个领域的变化。新课标在图形与几何领域有几个核心概念要有空间念、几直观、推能等。空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系述图形的运动和变化据言的描述画出图形等。更直观的理解如下图：几何直观主要是指利用图形的描述和分析问题助几何直观可以把复杂的数学问题得简明形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果，探索思路预测结果。案：打话如你老，件急事要知同，打话方，每钟知1，你分钟的间能多人到知大的测下。下面是学生借助图形研究的例子些学生都能够利用线段点以图形的形式来描述打电话来通知这件事情，设计方案。通过这个数图就把这个复杂的数量关系简明很直观的呈现出来而从这个图本身就能发现一些规律，就是一分钟通知一个人，第二次通知的新的人数，就是第一次的两倍，否则你算是算不出来，看图就看出来了。通过线段、点，以及图形，把通知过程很简捷的表现出来，把它们之间的关系，揭示得非常清楚，这就属于典型的几何直观，就是图形直观。推理能力的发展应贯穿于整个学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式理一般包括合情推理和演绎推理情理是从已有的事实出发借验和直觉归纳和类比等推断某些结果绎推理是从已有的事包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算在决题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。通过对一线教师的访谈，查阅资料，把老师们的困惑集中起来，归结为四个大话题。讨话：．如何在观察、操作中“认识图形”抽出图形特征，发展空间观念？．如何以“图形的测量”为载体，渗透度量意识，体会测量的意义，认识度量单位及其实际意义，了解掌握测量的基本方法，并在具体问题中进行恰当的估测？从而发展学的空间观念与推理能力？平行平行四边形、圆等简单图形。（2）能区分直线、线和射线。．如何通过“图形的运动”探索发现，体会研究图形性质的不同方法，发展学生几何直观能力和空间观念，提高学生研究图形性质的兴趣？．如何通过学习“确定图形位置”的方法，发展学生的空间观念和推理能力？话一图的识—象形征发空观问一新课标在形认方有些化有些的要呢这次新课标修订后图形的认识部分都包括哪些内容？有什么新的变化？课标修订前后立体图形的认识部分内容的对比：修订前

修订后第一

（1通过实物和模型辨认长方体能通过实物和模型辨认长方体正正方体、圆柱和球等立体图形。

方体、圆柱和球等几体。学段

（2）辨认从正面、侧面上面观察到的简单物体的形状。［参见例1］（3）辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。（4）通过观察、操作，用自己

能根据具体事物片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体（参见例11）。能辨认长方形、正方形、三角形、的语言描述长方形、正方形的特征。第二学段

会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。结合生活情境认识角，会辨认直角、锐角和钝角。能对简单几何体和图形进行分类。（1）解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点。体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。知道周角、平角的概念及周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关

通过观察操作，初步认识长方形、正方形的特征。会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角。能对简单几何体和图形进行分类（参见例20）。．结合实例了解线射线和直线。．体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。知道平角与周角解周角角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。系。

5过观察作识平行四边形、通过观察、操作，认识平行形和圆，道扇形，会用圆规画四边形、梯形和圆，会用圆规画圆圆。认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180°。（8）认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。（9）通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的展开图。（10）能辨认从不同方位看的物体的形状和相对位置。［参见例1］

．认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180°。认识等腰三角形等边三角形直角三角形锐角三角形钝角三角形。能辨认从不同方（前面侧面、上面看到的物体的形状图（见例32）。．通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的展开图。从这个表中可以看到表订后在图形的认识部分只有一些细小的变化形几何这一模块原称空间与图形，变“空间与图形”为“图形与几何”；重提几何直观、推理能力、运算能力、逻辑思维能力，用词更加规范，体现了课标的严肃。<标的”形与几何”第一、二学段仍分为四部分，具体表示有所变动1）形的认识，（2）测，（3）形的运动（修改稿：图形与变换），（4）图形与位置。图形的运动调图形的运动研究图形性质的一种有效方法动也是一种基本的数学思想。第二学段的内容标准删除“两点确定一条直线”和“两条直线确定一个点”。“图形与几何领将几何学习的视野拓宽到学生生活的空间强调空间和图形知识的现实背景从第一学段开始使学生触丰富的几何世界标准突出用观察描述制作、从不同的角度观察物体认方制作模型等活动发展学生的空间观念和图形设计与推理（合情推理与演绎推理）的能力。新《标准》在第二学段还增加了知道扇形这一内容。扇形的认识纲（订版）教材作为选学内容，《数学课程标准》中没有认识扇形的要求。认识扇形在《课标修改稿》中确实没有做要求，但在“统与概率”部分却明确提出了通过实例认识扇形统计图的内容标准虑到知识的系统性逻辑性和连贯性以学生认识扇形统计图的需要，《课标修订稿》在认识圆的基础上，增加了初步认识扇形。简单说对图形认识的要求主要包括两个方面：是对图形自身特征的认识。是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。在三个学段中，认识同一个或同一类图形的要求有明显的层次性：从“辨”到“初步认识”，再“认”到探索并证明”。如，对于长方体、正方体、圆柱和球等几何体，第一学段要求辨认”；二学段要求“认”；三学段要求了解其中一些几何体的侧面展开图。又如，对于平行四边形，第一学段要求“认”；二学段要求“认识”；第三学段要求“探索并证明平行四边的性质定理、判定定理”。再如，三角形内角和的例子：关于“视”，一学段要求“能据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体”；二学段要求能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图”第三学段要求“会直棱柱、圆柱锥球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，会根据视图描述简单的几何体”。这种要求的层次性体了从整体到局部的认识过程符合学生的认知特点渐深入、循序渐进。对图形的各元素之间、图形与图形之间的关系的认识，主要包括大小形之间关系的认识。第一学段的“了解角、锐角和钝角”第二学段的“体两点间所有连线中线段最短”；“了解角平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系”；“了三角形两边之和大于三边”；第三学段的“比较线段的长短”，“能较角的大小”等，都是对图形大小系的研究。点与直线的位置关系线与直线的位置关系圆的位置关系线与圆的位置关系等，是义务教育阶段几种主要的图形位置关系对称中心对称平移也反映了图形与图形之间的位置关系。图形的全等相似都是研究研究形之间关系的课程内容等研究的是图形的形状大小关系图形的相似研究的是图形形状之间的关系图的位似则还涉及到了图形的位置关系。在儿童的不同学段上，形象思维的发展是有层次的，荷兰范.希夫妇对学生几何思维水平的研究说明了从直观辨认到探索特征是儿童的对图形的形象思维规律将学生的图形认知水平主要分为五级：水平1直观化；水平2：描述/分析水平3：象关联；水平4：绎/形式推；水平5：严元学。一二三水平在小学体现，四五水平是在中学体现的。这和我们课标的要求也是一致。图形认识的教学先明确两点：是这部分内容属于图形认识的哪个水平，前后继知识各是什么；是多数学生现在的形象思维处于一个什么阶段，要通过你的教学达到什么阶段。问二小学段于图形认”这一容教是循样个排系的第一，现在教材，在图形的识当中，是先讲立体，再讲平面，再回到立体。从历史发展过程上看，实际上我们中国小学的传统教材，最初是按点、线、面、体的逻辑关系讲的。到了上个世纪年代后义大纲出现就发生变化了讲立体以后再讲平面然又回到立体为么当时要改？因当时很多老师都反映高年级孩子对何立体图形，本身的识图的能力比较低，认识起来比较困难。这部分是个难点，分阶段安排可以分散难点。第二实上一个人是生活在三空间当中一个婴儿从出生落地，他所有接触的东西，看到的东西实上都是体他的瓶他的积木都是体的大大楼里有西都是体，在这个过程中儿童积累了很多立体的物体所的几何体有观的实物的模型的。那在这种情况之下，低年级孩子，刚开始初步的认识立体图形是有可能的。所以一是有必要二是有可能再加上儿童的空间观念的形成然是有一个长期的反复的积累的过程能次到位当时的义务大纲就打破了传统的一步到位立图形，要求直观认识后中间一段是平面图形后讲立体图形在教材也一样讲立体，后讲平面再到立体但两讲立体层次不同，第一次要求辨认第二学段要求是认识。也就现在材是“体－－体”的混合螺旋编排结构问三怎样过形认教，养生空观？第、过实的察操认图第一学段要求“能过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”、“通过观察操作初认识长方形正方形的特征”第学段要求“结实例了解线段、射线和直线”、“结合活境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系”等这要求的共同特点是通过观察与操作认识图形观地整体地认识立体图形和平面图形实的观察与操作过中来认识图形的特征和性质合学生认识事物的规律，也符合数学课程的目标要求。这样的过程有助于学生发展能力，初步体会数学的思想方法，发展积极的情感与态度。人们生活在三维的空间中，常见的楼房、积木、各种包装盒、皮球…都给们以长方体、正方体、圆柱体、球体等直观形象。基于这样的生活经验，学生可以从认识立体图形开始，“通实物和模型等辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”。“辨认”是识的低级阶段，但与以往的经验有所不同，它要经历从实物到几何图形的抽象过程。从不同的角度观察长方体、正方体、圆柱体、球的表面，抽象出长方形、正方形、圆等平面图形像样从具体到抽象，从物到图形整到局部的安排，揭示了立体图形与平面图形的关系，也符合学生的认知特点。第二学段要求“结实例了解线段、射线和直线”、“结合活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系”。线和直线涉及到了无限的概念，与长方体、正方体、长方形、正方形等相比，在现实中没有直线的物原型，这就需要学生进行抽象与想象。认识线段要容易一些，因为现实生活中有“线段”的物原型。类似的生解两条直线平行位置关系也比较困难以用两根铁轨作为实物原型来描述两铁轨不相交以及它们间的距离处处相等的事实揭示了平行线的本质但铁轨无法总是笔直的延伸以在从实物到几何图形的抽象过程中还需要想象有于学生发展抽象能力和空间观念。第、于形想和形间转，展间念新教材内容编排上增加了“视图投影、展开与折叠”等内容。视图和投影，过去小学没有，现在小学数学几何和图形当中了察物体，这部分在课标上有两个要求。第一个学段的要求是根据具体事物照片或直观图，辨认从不同角度观察到的简单物体的形状，这是辨认。很多教材里面是这样，有的是拿个实物，有的是拿熊猫玩具等，让孩子们从各种角度去看，看的时候，孩子们就发现，不同角度看到的熊猫不一样。第二个学段的要求能辨认从不同方向向是从前面侧或者上面来观察从不同方向看到物体的形状图个状图实上就是一个平面图是从水平方向对物体所做的一个投影，也就是拍照。例如拍照的结果虽然不是真正意义的视图但它的确实现了把维空间向二维空间的一个转化的过程这过去小学没的，现在有了两个阶段的目标要达到，就为第三学段的正式的视图和投影打下比较好的基础。“折叠”和“展开”，过去教材也有，长方体、正方体、圆柱体的展开图。但是这个做法现在要加强而在进行折叠和展当中操作过程，必须要通过儿童的想象，这个过程本有什么实际意义呢？这是让孩子们认识到体形的结构和展开图之间的这种对应关系么让他来认识这个对应关系呢？例如，“正方体展开图”课例。通过课例可以看到，孩子可以折一折，通过操作找到结果；也可以不折，先想一想，我们提倡先想象，再动手验证，这样有利于发展学生的空间想象力，促进空间观念的形成。让学生操作的时候它是一个单的操作首得想象一下，可能会是什么样子，然后再通过操作，去验证自己的想法，而这个过程，学生参与这个想象，包括动手操作，包括把这个过程表现出来，是非常重要的。让学生的这种想象也好操也实际上进一步理解我们讲三维和两维之间的这样一种关系，就是你讲的对应关系，是经历了下面过程。“认长方体、正方体和圆柱的展开图”体现了三维图形与二维图形之间相互转换的具体要求，目标是在图形转换中引导学生观察、抽象、想象，发展空间观念。教学中应注重展开与折叠的操作过程过象实现图形之间的转换学记忆展开图的数量或类型的做法是不可取的。认识图形过程中大量的操作性活动利于学生积累数学活动经验展生空间观念教学中应当予以充分的重视。话二图形测—渗度意，握量法吴正宪（北京教育科学研究院）王彦伟（北京东城区教师研修中心）张杰北京东城区教育研修学院）一如以图的量为体体测的义认度单位其际义渗度意。（）使生会立一量位重性在教学长度单位的认识时有老师问为什么要讲统一单位？原来的教学中学生就是直接认识长度单位习度量单位有什么价值？下面以人教版教材为例谈一谈年学生第一次学习长度单位教材呈现的例1并有上来就认识厘米是创设了一个活动的情境：让学生测量数学书封面有学用两个硬币或者两个三角形两个曲别针进行测量这个活动使学生感受用不同的测量工具，测量出不同的物体长度。然后例2是始学习厘米的认识。《标准》在第一学段要结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程会立统一度量单位的重要性。”这要求对面积、体积的单位也同样适用。度量单位是度量的核心单的统一是使度量从个别的的测量活动成为一般化的、可以在更大范围内应用和交流的前提此在程的实施过程中应该为学生提供必要的机会鼓学生选择不同的方法行测量在相互交流的过程中发现发现不同的方法不同单位的选择对测量结果的影响，进而体会建立统一度量单位的重要性。例如，海淀中关村三小鲍影老执教的《厘米的认识》一课，学生在活动中充分体会了统一度量单位的重要性。鲍老创设了一个情境鼓学生采用不同的办法去测量相同的长度的生用手量，有的用自己的铅笔量还有可能自己桌上的橡皮去量于采用了不同的测量工具得的结论，当然是不同的了。比如说同学测量的是三扎长，有的同学可能测量的是五根铅笔这么长，还有的同学测量的是15块橡皮那么长。学生通过交流发现当学们你你的结果我我的结果彼此间就无法交流通这个活动让学生深刻地体会到度量单位需要统一，否则它会给生活带来不便。这，学生有一个共同的心里需求即使测量果让大家都接受必须要有一个公认的标准单位生产生了这种需求，然后再来学习长度单位。建立标准度量单位助于学生从知识本身的逻辑体系出发建标准单位的意义有客观地认识。教材这样编排仅突出了统一单位的重要性也体现了一种数学的文化内涵，揭示了度量单位是怎么发生发展，又是怎么推动社会的前进的。《版数课程标准》特别调，要结合生活实际用不同方式测物体长度的过程让生去体会建立统一度单位的重要性所以教师在教学实践中应该坚持把让学生体会了统一度量单位的重要性这个环节设计好学生经历完“量单位的从形成到产生的过程。由看来，关让学生体会建立统一的度量单位的重要性仅要在长度的测量中给予关注，在面积和体积的测量中，仍要让学生去感受。（）学理与握量位实意，测结有好的悟《标准在第一学段要“在实活动中体并认识长度单位千米米厘米知分米、毫米，能进行简单的单位换算，能恰当地选择长度单位”。进行单位之间的换算，不能靠机械地记忆换算公式和反复操练是要能够体会单位之间的实际关系就及到了对单位的理解。长度（类似的，面积、体积）单位不仅仅是一个抽象的概念，对它的体会和认识应当通过实践活动，体验它的实际意义。例如，生活中哪些物体的长度大约为米，1厘米的度可以用什么熟悉的物体来估计，哪些物体的重量大约是千克，些物体的体积大约是1立米等。对单位的实际意义的理解还体现在对测量结果量的大小或关系的感悟关于对度量单位的认识，要结合实际例子体会度量单位的大小，比如，一个成人的身高为175（）应当选择cm而不是mm作为位这是对认识长度单位地深化理解。再如“北京到南京的铁路长约1000（）”，引导学生学会选择合适的度量单位；要用实物感知度量单位的大小，如“一米约相当于（根铅笔长”，强化学生对度量单位地感知；还应关注不同维度度量单位之间的联系，例如，理解1平方米=100平厘米，可以借助图（10×10的格每个方格为平方厘米）可借助等式1平分米=1分×分米=10厘米10厘=100方厘米，避免学生死记硬背单位之间的换算关系。总之体问题情境中恰当选择度量单位和方法进行测量测量是从人类的生产、生活实际需要中产生的学测的目的是为了实际的应用明确实际测量的对象后选择恰当的度量单位测工具及法关系到测量能否方便操作地进行影着测量结果的准确程度比如用尺测量板的长度是不错的选择它测量一栋大楼的长度就不是上策了…学生只有在亲身实践中才能积累选择度量单位、测量工具和具体方法的经验。二如何助生图测过中悟学想，解握量基方，积累数学动验培养生空观。关于规则图形的度量公式，《准》要求探索并掌握长方形、正方形的周长公式；探索并掌握长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式，并能解决简单的实际问题；探索并掌握长方体方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方法能决简单的实际问题。《标准》还要求探索不规则图形的周长、面积、体积。例如，测量简单图形的周长、会用方格纸估计不规则图形的面积、体验某些实物（如土豆等的测量方法等，通过这样的测量，学生不仅能进一步加深对度量意义的理解，而且能在运用所学知识解决问题的过程中，体会学科之间的联系，感悟数学思想（如微积分的思想）。同时课内容要反映数学的特要合学生的认知规律它不仅包括数学的结果也括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。数学思想蕴涵在数学知识形成展和应用的过程中是础知识的灵魂是学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。那么学形测量这部分内时渗数学思想呢？下面结合一些具体案例来阐述。以形量式导载体让生操、践感“化、极”“数和积”数思。在直边图形公式的推导过程中师常让学生利用学具进行操作活动新形转化成学过的已知图形从找到新旧两图形之间的对应关系导出计算公式在个过程中巧妙地渗透了转化的数学思想方法。圆是第一段习的平面图中唯一的一个曲线图形生第一次了解π这个无理数,是学生第一次正式接触并运用极限的数学思想来解决曲线的长度和圆形的面积等问题对圆的周长以及面积的探索具有一定的挑战性，这个过程的学习有助于学生提高分析问题、解决问题的能力，获得基本的数学活动经验，体会”转化”、“限”和“函数”的思想。案1：圆周公的导化为--------转化想我们只需得到圆的周长和直径有什么关系就可以了我又该怎样研究周长与直径的关系呢？老师给每组同学准备了不同的实物：有圆纸片、纸杯或硬币。拿出来，就你们小组的实验材料，谁来说说怎样得到我们所需要的数据（尤其是周长的数据）？（讨论）为什么要绕线？为什么要滚动？（化曲为直）活动二：在圆的周长教学中，学生介绍割圆”，让学生经历正多边形到圆的形成过程，引导学生观察体验，随着边数越来越多，正多边形越来越像圆，感受极限思想。然后又化曲为直：割之补所弥，之割以于可割则圆体而所失。活三测量找长直的系-------函数想在测量圆的周长和直径填写数据的过程中，感受直径变的大小变周也随之变化，而它们的倍数关系不变，从而让学生体会到函数思想。通过课件形象直观的演示周长和直径的关系，体会函数思想。案2：圆面公的导圆积探活活动设计:学利用手中学具，独立探究，小组合作，探索圆面积的计算方法。核心问题：给学生提供几张圆形的纸片，小组合作探究，如何计算圆的面积？这一活动的设计给了学生充分探究空间过对学生情况的把握以及学生所经历的前面一系列认识和周长的教学活动，可以充分相信学生有自主探究的能力。通过圆积的探究活动，使学生在亲身经历中体会转化的研究方法和极限的重要数学思想。圆化学的形--------转化思课件示)通过以上案例地分析，可以看出，数学思想蕴涵在数学知识形成和用的过程中，是基础知识的灵魂，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想同时在度量图形的过程中织学生进行大量的操作性活动利学生积累基本的数学活动经验。掌握规则图形的周长面积和体公式仍然是图形测量内容的重要方面以往我们的教学将主要精力放在套用公式进行计算上于将这部分内容简单地处理为计算问题上对于规则图形周长积和体积公式的探索和应用仅有利于学生灵活运用多种策略和方法解决实际问题且于学生识图形的特征和图形间的相互关系展空间观念也是大有好处的。学生在操作活动中历探索从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法体验解决问题方法多样性的过程中创新意识也得到发展。三如在形量过中培学的测识能，验解问方的样。估测或估计是《标准》突出强调的内容。估测或估计，既是一种意识的体现，也是一种能力的表现；不仅具有现实的意义，而且也有助于学生感受度量单位的大小。估测与精确测量之间有着密切的关系。生活中精确测量的结果有时需要用估计的办法来感受对物进行估计时则需要对度量单位很好的认识与把握图度量知识的掌握以及需要具有一定的空间观念。估测的意识和能力是在实践中发展起来的。《标准》要求“能估测一些物体的长度，并进行测量”，并给出具体的实践务“量并计算一张给定正方形纸的面积利用结果估计课桌面的面积；测量步长，利用步长估计教室的面积”。这样，把测量与面积计算有机地结合起来，有利于学生体会估测的作用以及估测的方法。《标准》还要求探索不规则图形的周长、面积、体积。例如，测量简单图形的周长、会用方格纸估计不规则图形的面积、体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法等。教材在学生积累了足够的实际测量经验后学生提供了先估测再实测的练习学比较估测与实际测量所得结果的差别，从而修正自己的估测策略。案:量不规则图形的面积图中每个小方格为个面单，试估计曲线所围成的面积。如图一:教师们对此题目并不陌生解决这个问题通常的做法是数方格数一数有多少个整格再