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文档简介

无穷限的广义积分定义1

设函数f

(x)在区间[a,)上连续,如果极限bab发散.aabf

(

x)dxlim

(又称为无穷积分,下同),

记为a存在,

则称此极限为

f

(

x)

在[a,)上的广义积分f

(

x)dx即f

(

x)dx;babf

(

x)dx

lim

a此时,

就说广义积分f

(

x)dx收敛,

若极限af

(

x)dx

不存在,

则称广义积分blim

f

(

x)dxb发散.aa无穷限的广义积分f

(

x)dx

不存在,

则称广义积分blim

f

(

x)dx称广义积分f

(x)dx

是收敛的,否则,称其是发散的.bablim

f

(

x)dxa无穷限的广义积分f

(

x)dx

不存在,

则称广义积分发散.类似地,

可定义广义积分b

af

(

x)dx.baf

(

x)dx

lim

定义2

函数f

(x)在区间(,)上广义积分定义为

a

af

(

x)dx

f

(

x)dxf

(

x)dx

其中a为任意实数,当上式右端两个积分都收敛时,称广义积分f

(x)dx

是收敛的,否则,称其是发散的.无穷限的广义积分无穷限的广义积分称广义积分f

(

x)dx是收敛的,

否则,

称其是发散的.若F

(

x)是

f

(

x)的一个原函数,

记F

()

lim

F

(

x),

F

()

lim

F

(

x)x

x则广义积分可表示为(如果极限存在)

F

()

F

(a)f

(

x)dx

F

(

x)aab

F

(b)

F

().

F

()

F

().f

(

x)dx

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