高等数学第2章D2-5函数的微分课件

二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用*四、微分在估计误差中的应用第五节一、微分的概念函数的微分第二章二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用*四、微分在估计误1一、微分的概念

引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x

的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x

在取得增量时,变到边长由其一、微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化2的微分,定义:

若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x

的常数)则称函数而称为记作即定理:函数在点可微的充要条件是即在点可微,的微分,定义:若函数在点的增量可表示为(A3定理:函数证:

“必要性”

已知在点可微,则故在点可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即定理:函数证:“必要性”已知在点可微,则4定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可导,则定理:函数在点可微的充要条件是在点处5说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故6微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切7例如,基本初等函数的微分公式(见P116表)又如,例如,基本初等函数的微分公式(见P116表)又如,8二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C

为常数)分别可微,的微分为微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,9例1.求解:例1.求解:10例2.设求解:利用一阶微分形式不变性,有例3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意数学中的反问题往往出现多值性.注意:例2.设求解:利用一阶微分形式不变性,有例3.11注数学中的反问题往往出现多值性,例如注数学中的反问题往往出现多值性,例如12三、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:三、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:13特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得14的近似值.解:设取则例4.求的近似值.解:设取则例4.求15的近似值.解:例5.计算的近似值.解:例5.计算16例6.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为镀铜体积为V在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,例6.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,17*四、微分在估计误差中的应用某量的精确值为A,其近似值为a,称为a

的绝对误差称为a

的相对误差若称为测量

A

的绝对误差限称为测量

A

的相对误差限*四、微分在估计误差中的应用某量的精确值为A,其近似18误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算y值时的误差故y的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得x,误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算y值时的误差故19例7.

设测得圆钢截面的直径

测量D的

绝对误差限欲利用公式圆钢截面积,解:计算A

的绝对误差限约为

A

的相对误差限约为试估计面积的误差.计算(mm2)例7.设测得圆钢截面的直径测量D的绝对误差限欲利用公20内容小结1.微分概念微分的定义及几何意义可微可导2.微分运算法则微分形式不变性:(u是自变量或中间变量)3.微分的应用近似计算估计误差内容小结1.微分概念微分的定义及几何意义可微可导2.21思考与练习1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并说明其正负.思考与练习1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并222.2.235.

设由方程确定,解:方程两边求微分,得当时由上式得求6.设且则5.设由方程确定,解:方程两边求微分,得当时由上式得求6.24作业P1231;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1);

9(2);

*12习题课作业P1231;习题课251.已知求解：因为所以备用题1.已知求解：因为所以备用题26已知求解:方程两边求微分,得2.习题课已知求解:方程两边求微分,得2.习题课27二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用*四、微分在估计误差中的应用第五节一、微分的概念函数的微分第二章二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用*四、微分在估计误28一、微分的概念

引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x

的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x

在取得增量时,变到边长由其一、微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化29的微分,定义:

若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x

的常数)则称函数而称为记作即定理:函数在点可微的充要条件是即在点可微,的微分,定义:若函数在点的增量可表示为(A30定理:函数证:

“必要性”

已知在点可微,则故在点可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即定理:函数证:“必要性”已知在点可微,则31定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可导,则定理:函数在点可微的充要条件是在点处32说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故33微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切34例如,基本初等函数的微分公式(见P116表)又如,例如,基本初等函数的微分公式(见P116表)又如,35二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C

为常数)分别可微,的微分为微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,36例1.求解:例1.求解:37例2.设求解:利用一阶微分形式不变性,有例3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意数学中的反问题往往出现多值性.注意:例2.设求解:利用一阶微分形式不变性,有例3.38注数学中的反问题往往出现多值性,例如注数学中的反问题往往出现多值性,例如39三、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:三、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:40特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得41的近似值.解:设取则例4.求的近似值.解:设取则例4.求42的近似值.解:例5.计算的近似值.解:例5.计算43例6.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为镀铜体积为V在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,例6.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,44*四、微分在估计误差中的应用某量的精确值为A,其近似值为a,称为a

的绝对误差称为a

的相对误差若称为测量

A

的绝对误差限称为测量

A

的相对误差限*四、微分在估计误差中的应用某量的精确值为A,其近似45误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算y值时的误差故y的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得x,误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算y值时的误差故46例7.

设测得圆钢截面的直径

测量D的

绝对误差限欲利用公式圆钢截面积,解:计算A

的绝对误差限约为

A

的相对误差限约为试估计面积的误差.计算(mm2)例7.设测得圆钢截面的直径测量D的绝对误差限欲利用公47内容小结1.微分概念微分的定义及几何意义可微可导2.微分运算法则微分形式不变性:(u是自变量或中间变量)3.微分的应用近似计算估计误差内容小结1.微分概念微分的定义及几何意义可微可导2.48思考与练习1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并说明其正负.思考与练习1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并492.2.505.

设由方程确定,解:方程两边求微分,得当时由上式得求6.设且则5.设由方程确定,解:方程两边求微分,得当时由上式得求6.51作业P1231