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角动量算符的矩阵元角动量算符的矩阵元

取|j,m>为归一化的，则因而故取c±为实数，有：类似地J±的矩阵元为而由Jx=(J++J-)/2,Jy=(J+-J-)/2i可定出Jx和Jy的矩阵元对绕转Φ角的转动R，转动算符的矩阵元为

(D在不同j之间的矩阵元为零)这些矩阵元有时称Wigner函数。由形成的(2j+1)x(2j+1)矩阵称为D(R)的(2j+1)维的不可约表示。即对一般的转动，D可按不同j而成分块对角化形式,且每一块不可用任何基而进一步划分为更小的块对角化形式，即D(R)=,1.由任一确定j所表征的转动矩阵形成一个群

a)有单位矩阵（无转动），b)逆（绕同轴转-Φ角），c)乘积也是成员，其中乘积R1R2表示单一转动；d)结合律也满足。2.幺正性：3.是|jm>经R转动后在|jm’>态中找到的几率振幅：对用Euler角表征的转动，有可见只要求出则可得到例如对j=1/2,对j=1，d(1)是3x3矩阵.利用Jy=(J+-J-)/2i及J±的矩阵元可知：可以验证：利用级数展开，可知从而得到类似方法可给出d(j>1)(β),只是过程比较复杂.以后将介绍简便获得d(j)的方法。1.CG系数组成正交矩阵：2.CG系数有递推关系:除符号约定外，上述关系完全确定了CG系数由递推关系联系的CG系数j1=l,j2=S=1/2;j=l±1/2(l>0)或j=1/2(l=0).讨论j=l+1/2情形。由递推关系:即结合得耦合态的展开：选相位约定定义：该函数是L2，S2，J2和Jz的本征函数由L•S=(1/2)(J2-L2-S2),知自旋球谐函数也是L•S的本征函数，本征值为：考虑由角动量本征值为j1的本征矢为基的转动算符D(j1)(R)和相应定义的D(j2)(R)，其直积是可约的，在合适基矢下有如下矩阵表示:采用群论的记号，即由于得两转动矩阵元的乘积与直积矩阵矩阵元的联系：由于，Jx、Jy是厄米算符，其任意态的期待值为实数，故a-b2≥0对给定a,b有上限bmax和下限bmin,且J+|a,bmax>=0,J-|a,bmin>=0.由得,类似有bmin=-bmax由bmin和bmax的唯一性知，J+作用于|a,bmin>有限次数应能达到|a,bmax>，故记Jz的最大本征值为,则j=n/2为整数或半整数，而J2的本征值为。Jz的本征值一般为，其中-j≤m≤j,共有2j+1个可能值

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